1、代數結構一、選擇或填空1、 設 A=2,4,6， A上的二元運算*定義為： a*b=maxa,b ， 則在獨異點<A,*>中，單位元是()，零元是()。答： 2， 62、 設 A=3,6,9， A上的二元運算*定義為：a*b=mina,b ， 則在獨異點<A,*>中，單位元是()，零元是()；答： 9， 33、設G,*是一個群，則(1) 若 a,b,x G， a x=b ，則 x=()；(2) 若 a,b,x G， a x=a b，則 x=()。答：( 1 ) a 1 b( 2)b4、設 a 是 12 階群的生成元，則a2是 ()階元素，a3是 ()階元素。答： 6,4

2、5、代數系統<G,*>是一個群，則G 的等冪元是()。答：單位元6、設 a 是 10 階群的生成元，則a4是 ()階元素，a3是 ()階元素。答：5， 107、群<G,*>的等冪元是()，有(8、素數階群一定是()群 , 它的生成元是()。答：循環群，任一非單位元9、設G ,*是一個群，a,b,c G，則(1) 若 c a=b，則 c=()； (2) 若 c a=b a，則c=()。答： ( 1 ) b a 1(2) b10 、 <H, > 是 <G, >的子群的充分必要條件是()。答：<H,>是群 或a， b G， a b H，a-

3、1H 或 a,b G， a b-1H11 、群<A,*>的等冪元有()個，是()，零元有()個。答：1 ，單位元，012 、在一個群G,*中，若G 中的元素a 的階是 k，則 a-1 的階是 ()答： k13 、在自然數集N 上，下列哪種運算是可結合的？()(1) a*b=a-b (2) a*b=maxa,b (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b|答： (2)14 、任意一個具有2 個或以上元的半群，它() 。(1) 不可能是群(2) 不一定是群(3) 一定是群(4) 是交換群答： (1)15、 6 階有限群的任何子群一定不是(1) 2 階 (2) 3 階 (3) 4

4、 階 (4) 6 階答： (3)16 、下列哪個偏序集構成有界格()(1) ( N, )(2) ( Z, )(3) ( 2,3,4,6,12,| (整除關系)(4) (P(A), )答： (4)18 、有限布爾代數的元素的個數一定等于() 。(1) 偶數 (2) 奇數 (3) 4 的倍數(4) 2 的正整數次冪答： (4)五、證明或解答：1 、求循環群C12=e,a,a 2, ,a11中H=e,a 4,a8的所有右陪集。解：H，因 為 |C12|=12 ，|H|=3 ， 所 以 H 的 不 同 右 陪 集 有 4 個a,a5,a9,a2,a6,a10,a3,a7,a11。2、求下列置換的運算：

5、解：11)2341314234321123413422)235245633 6114345263611422345652631123456452631234561351241234523453、 I 上的二元運算*定義為：a,b I， a*b=a+b-2 。試問 <I,*>是循環群嗎？解：<I,*>是循環群。因為<I,*>是無限階的循環群，則它只有兩個生成元。1 和 3 是它的 兩 個 生 成 元 。 因 為 an=na-2(n-1) ， 故 1n=n-2(n-1)=2-n 。 從 而 對 任 一 個k I,k=2-(2-k)=1 2-k， 故 1 是的生成

6、元。又因為 1 和 3 關于*互為逆元，故 3 也是 <I,*>的生成元。4、設 <G, ·>是群，a G。令 H=x G|a ·x=x·a。試證：H 是 G 的子群。證明：c ， d H ， 則 對 c ， d HK ，c · a=a · c,d · a=a · d 。 故(c· d) ·a=c ·(d ·a)=c·(a · d)=(c ·a) · d=(a ·c) ·d=a ·(c

7、3;d)。從而 c·d H。由于c·a=a ·c,且·滿足消去律，所以a ·c-1=c-1·a。故c-1 H。從而 H 是 G 的子群。5、證明：偶數階群中階為2 的元素的個數一定是奇數。證明：設 <G, ·>是偶數階群，則由于群的元素中階為1 的只有一個單位元，階大于2的元素是偶數個，剩下的元素中都是階為2 的元素。故偶數階群中階為2 的元素一定是奇數個。6、證明：有限群中階大于2 的元素的個數一定是偶數。證明：設 <G, · >是有限群，則a G，有|a|=|a-1|。且當a 階大于 2

8、 時， a a-1。故階數大于 2 的元素成對出現，從而其個數必為偶數。7、設 <G, ·>是群，a,b G， a e，且a4· b=b ·a5。試證a·b b·a。證明：用反證法證明。假設a·b=b·a。則a4· b= a3(· a·b) = a3·(b·a)=(a5·b)·a=(a2·(a·b)·a= ( a2·( b ·a) ) ·a=(a2·b) ·a) &

9、#183;a=(a ·(a·b) ·(a ·a)=(a·(b·a)·a2=(a·b)·a)·a2 =(b ·a)·a)·a2=(b·a2)·a2=b·(a2·a2)=b ·a4。因為a4·b= b·a5，所以b·a5= b·a4。由消去律得，a=e。這與已知矛盾。8、 I 上的二元運算*定義為：a,b I， a*b=a+b-2 。試證：<I,*>為群。證明：( 1)

10、 a,b,c I， (a*b)*c=(a*b)+c-2=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4, a*(b*c)=a+(b*c)-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4 。故 (a*b)*c= a*(b*c) ，從而*滿足結合律。( 2)記e=2 。對 a I ， a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a. 。故 e=2 是 I 關于運算*的單位元。( 3)對a I ，因為a*( 4-a) =a+4-a-2=2=e=4-a+a-2=(4-a)*a 。故 4-a 是 a關于運算 *的逆元。綜上所述，<I,*>為群。9、單位元有惟一逆元。證明：設 <G, >是一個群，

11、e 是關于運算的單位元。若 e1,e2都是e 的逆元，即e1*e=e 且 e2*e=e。因為 e 是關于運算的單位元，所以e1=e1*e=e=e2*e=e2。即單位元有惟一逆元。10、設e 和 0 是關于 A 上二元運算*的單位元和零元，如果 |A|>1 ，則 e 0。證明：用反證法證明。假設e=0 。對 A 的任一元素a，因為e 和 0 是 A 上關于二元運算*的單位元和零元，則 a=a*e=a*0=0 。即 A的所有元素都等于0,這與已知條件|A|>1 矛盾。從而假設錯誤。即e 0 。11 、證明在元素不少于兩個的群中不存在零元。證明： （用反證法證明）設在素不少于兩個的群&l

12、t;G, >中存在零元。對 a G, 由零元的定義有a* = 。<G, >是群，關于*消去律成立。a=e。 即 G 中只有一個元素，這與 |G| 2矛盾。故在元素不少于兩個的群中不存在零元。12 、證明在一個群中單位元是惟一的。證明：設 e1,e2都是群G,*的單位元。則 e1=e1*e2=e2。所以單位元是惟一的。13 、設a 是一個群G， *的生成元，則a-1 也是它的生成元。證明：x G，因為a 是G， *的生成元，所以存在整數k，使得x=a故 x=(a k ) 1 ) 1 =(a 1 ) k ) 1 =(a 1 ) k 。從而 a-1 也是G， *的生成元。14、設

13、<G, >是一個群，則對于a,b G，必有唯一的x G，使得 a x=b。證明：因為a-1*b G，且a*(a-1*b)=(a*a -1)*b=e*b=b ，所以對于a,b G，必有x G，使得 a x=b 。若 x1,x2都滿足要求。即a x1=b 且 a x2=b。故a x1=a x2。由于*滿足消去律，故x1=x2。從而對于a,b G，必有唯一的x G，使得a x=b。15、設半群<S,·>中消去律成立，則<S, · >是可交換半群當且僅當a,b S，( a·b) 2=a2·b2。證明：a,b S， ( a

14、83;b) 2=(a·b)·(a·b)=(a ·b) ·a) ·b=(a·(a·b)·b=(a ·a)·b)·b=(a·a)·(b·b)=a2·b2;a,b S， 因 為 (a · b) 2=a2·b2， 所 以 (a· b) · (a· b)=(a ·a) · (b· b)。 故a·(b·a)·b)=a ·(a &#

15、183;(b·b)。 由于·滿足消去律， 所以(b·a)·b=a·(b·b)， 即 (b·a)·b=(a·b)·b。從而a·b=b ·a。故·滿足交換律。16、設G (a)， e H G， am是H 中 a 的最小正冪，則( 1 )H(am)；( 2) 若G 為無限群，則H 也是無限群；證明：（ 1 ） b H, k I, 使得b=ak。令k=mq+r, 0 r<m 。則 ar=ak-mq=ak a-mq=b （am）-q。因為b,a m H,且H G，所以ar H。由于0 r<m，且am 是 H 中a的最小正冪，故r=0,即 k=mq。從而b=（