天津市西青區(qū)張窩中學(xué)2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共15小題）1．下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．設(shè)，是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量不能作為一組基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和3．已知，則和同向的單位向量是（

）A． B． C． D．4．在中，已知，則等于（

）A．1 B． C．2 D．45．設(shè)，向量且，則（

）A． B． C． D．106．在中，內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別是，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．47．已知向量且向量方向相反，則可以是（

）A． B． C． D．8．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．9．如圖，在一條河上有兩座橋和，已知，又測(cè)得，則河寬為（

）A． B． C． D．10．在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．11．已知向量不共線，，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線12．設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，，則（

）A．8 B．4 C．2 D．113．若點(diǎn)E是的中線上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且，則的最小值為（

）A．4 B．8 C．6 D．1214．已知在中，，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形15．在中，，，，點(diǎn)滿足，則（

）A．0 B．2 C． D．4二、填空題（本大題共6小題）16．已知在上的投影向量為，則的值為.17．已知的內(nèi)角為所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且．則角的大小為.18．設(shè)向量，且的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．19．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，b=2，A=60°，則sinB=，c=．20．在中，若，則角等于．21．如圖梯形，且，，在線段上，，則的最小值為.三、解答題（本大題共4小題）22．已知，（1）求；（2）設(shè)與的夾角為，求的值；（3）若向量與互相垂直，求k的值.23．已知中是直角，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，為上一點(diǎn).(1)設(shè)，，當(dāng)，請(qǐng)用，來表示，.(2)當(dāng)時(shí)，求證：.24．在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知,,且.(1)求角的大小;(2)若,的面積為,求的周長(zhǎng)25．已知在中，的對(duì)邊分別為，滿足．(1)若，求的面積；(2)已知向量，且，求的值．

參考答案1．【答案】A【詳解】模為零的向量是零向量，所以A項(xiàng)正確；時(shí)，只說明向的長(zhǎng)度相等，無法確定方向，所以B，C均錯(cuò)；時(shí)，只說明方向相同或相反，沒有長(zhǎng)度關(guān)系，不能確定相等，所以D錯(cuò).故選A.2．【答案】B【詳解】依題意，，不共線，A選項(xiàng)，不存在，使得，所以和可以作為基底.B選項(xiàng)，由，得，解得，所以和共線，不能作為基底.C選項(xiàng)，由，得，方程組無解，所以和可以作為基底.D選項(xiàng)，不存在，，所以和可以作為基底.故選B.3．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以和同向的單位向量?故選A.4．【答案】C【解析】根據(jù)余弦定理化角為邊即可求解.【詳解】由余弦定理可得：故選C.5．【答案】C【詳解】由于，所以，解得，所以，所以.故選C.6．【答案】D【詳解】由余弦定理可知，即，整理得，解得或（舍去）.故選D.7．【答案】D【詳解】因?yàn)橄蛄壳蚁蛄糠较蛳喾?，?dāng)時(shí)，，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，，解得，且，所以，，且，經(jīng)檢驗(yàn)只有滿足題意，故選D.8．【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋?所以與的夾角為.故選A.9．【答案】C【詳解】設(shè)，根據(jù)海倫公式有,解得.故選C.10．【答案】A【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.11．【答案】B【詳解】對(duì)于A，令，即，則有，無解，因此不存在t，使得，即三點(diǎn)不共線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，又直線MN，NQ有公共點(diǎn)N，因此，，三點(diǎn)共線，B正確；對(duì)于C，，令，即，則有，無解，因此不存在m，使得，即三點(diǎn)不共線，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，即，則有，無解，因此不存在n，使得，即三點(diǎn)不共線，D錯(cuò)誤.故選B.12．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所?又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以,故選C.13．【答案】B【詳解】解：因?yàn)闉槿切蔚闹芯€，所以，所以，又，，三點(diǎn)共線，所以且，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為8．故選B．14．【答案】D【詳解】由正弦定理有，因?yàn)?，故，故，即，又，故或，即或，故的形狀為等腰三角形或直角三角形故選D.15．【答案】A【詳解】由題可得：，，所以由于，，，則，，所以，故選A.16．【答案】【詳解】設(shè)與的夾角為，.17．【答案】【詳解】由正弦定理得，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋裕?18．【答案】且【詳解】因?yàn)榈膴A角為銳角，所以解得，又當(dāng)時(shí)，不符合題意，所以且.19．【答案】3【詳解】分析:根據(jù)正弦定理得sinB,根據(jù)余弦定理解出c.詳解：由正弦定理得,所以由余弦定理得（負(fù)值舍去）.點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化為邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.20．【答案】【詳解】因?yàn)椋裕?由余弦定理可得：，又為三角形內(nèi)角，所以.21．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以向量與的夾角和向量與的夾角相等，設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)椋?，即，整理得，解得，，如圖，過點(diǎn)作垂線，垂足為，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，易知，，，，則，，，，，，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取最小值，最小值為.22．【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】解：；故；因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，所以，即，因?yàn)?，，所?3．【答案】(1)，(2)證明見解析【詳解】（1）∵，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∵.（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，為，軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，另設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，又∵，∴，∴，，所以，，所以，∴.24．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由向量垂直關(guān)系得到數(shù)量積為零的等式，利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差公式、誘導(dǎo)公式可化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而求得；（2）根