1、專題質(zhì)量評(píng)估(五) (時(shí)間:120分鐘,滿分:160分)一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分) 1.(2012屆廣東珠海高三摸底)已知雙曲線的中心在原點(diǎn),離心率為若它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合,則該雙曲線的方程是 . 【解析】設(shè)雙曲線方程為b>0), 則 解得 【答案】 2.(2011遼寧高考改編)已知圓C經(jīng)過(guò)A(5,1),B(1,3)兩點(diǎn),圓心在x軸上,則C的方程為 . 【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0),易知解得a=2, 圓心為(2,0),半徑為. 圓的方程為. 【答案】 3.設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),且求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 . 【解析】由題意半

2、焦距又為此點(diǎn)P在以為半徑,以原點(diǎn)為圓心的圓上, 由 解得. 【答案】 4.已知雙曲線(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=則雙曲線的離心率為 . 【解析】依題意. 【答案】 5.AB是拋物線的一條焦點(diǎn)弦,AB=4,則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是 . 【解析】 所以. 【答案】 6.已知分別是雙曲線0)的兩個(gè)焦點(diǎn),A和B是以O(shè)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為圓心為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn),且是等邊三角形,則雙曲線的離心率為 . 【解析】如圖,設(shè)由于是等邊三角形, 所以,所以. 【答案】 7.(2012屆江蘇南通第一次調(diào)研)以橢圓0)的左焦點(diǎn)F(-c,0)為圓心,c為半徑的圓與橢圓的左準(zhǔn)線交于不同

3、的兩點(diǎn),則該橢圓的離心率的取值范圍是 . 【解析】由題意知(-c 即. 【答案】 8.過(guò)點(diǎn)A(4,1)的圓C與直線x-y=0相切于點(diǎn)B(2,1),則圓C的方程為 . 【解析】 設(shè)圓的方程為 則根據(jù)已知條件得 【答案】 9.(2011北京朝陽(yáng)區(qū)第二學(xué)期統(tǒng)一考試)已知橢圓b>0),A是橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn),B是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn),F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),若則該橢圓的離心率為 . 【解析】 因?yàn)樗?即即 所以兩邊同除以得所以舍負(fù)). 【答案】 10.如圖拋物線:和圓:其中p>0,直線l經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn),依次交、于A,B,C,D四點(diǎn),則的值為 . 【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為 則 同理又. 【答案】 1

4、1.(2012屆江蘇鹽城摸底)與直線x=3相切,且與圓相內(nèi)切的半徑最小的圓的方程為 . 【解析】如下圖所示.由圖可知符合條件的圓的圓心在過(guò)點(diǎn)C且與l垂直的直線上,則圓心坐標(biāo)為-1),半徑為. 所以圓的方程為. 【答案】 12.設(shè)圓C的圓心在雙曲線(a>0)的右焦點(diǎn)處且與此雙曲線的漸近線相切,若圓C被直線l:截得的弦長(zhǎng)等于2,則a的值為 . 【解析】 圓C的圓心為雙曲線的漸近線方程為到漸近線的距離為故圓C方程為. 由l被圓C截得的弦長(zhǎng)是2及圓C的半徑為可知圓心C到直線l的距離為1,即. 【答案】 13.已知點(diǎn)P是以、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線(a>0,b>0)左支上一點(diǎn),且滿足tan

5、則此雙曲線的離心率為 . 【解析】因?yàn)閠an 所以并且|. 又|-|=2,即|=4a,|=6a, 又在三角形中,|即 所以. 【答案】 14.(2011北京海淀一模)已知有公共點(diǎn)的橢圓與雙曲線中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,左右焦點(diǎn)分別為且它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為P,是以為底邊的等腰三角形.若雙曲線的離心率的取值范圍為(1,2),則該橢圓的離心率的取值范圍是 . 【解析】如圖,設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng),半焦距分別為 雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng),半焦距分別為則 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知求的取值范圍. 設(shè)則. 1<x<2, 即. 【答案】 二、解答題(本大題共6小題,共90分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 1

6、5.(本小題滿分14分)(2011安徽高考,文17)設(shè)直線:其中實(shí)數(shù)滿足. (1)證明與相交; (2)證明與的交點(diǎn)在橢圓上. 【證明】(1)反證法.假設(shè)與不相交,則與平行,有代入得 此與為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾. 從而即與相交. (2)(方法一)由方程組 解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)為 而 . 此即表明交點(diǎn)P(x,y)在橢圓上. (方法二)交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足 故.從而 代入得. 整理后,得. 所以交點(diǎn)P在橢圓上. 16.(本小題滿分14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓12x+32=0的圓心為Q,過(guò)點(diǎn)P(0,2)且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點(diǎn)A、B. (1)求k的取值范圍. (2)是

7、否存在常數(shù)k,使得向量+與共線?如果存在,求k的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解】(1)圓的方程可寫成 所以圓心為Q(6,0). 過(guò)P(0,2)且斜率為k的直線方程為y=kx+2,代入圓的方程得32=0,整理得x+36=0. 直線與圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B等價(jià)于 解得即k的取值范圍為. (2)設(shè) 則+. 由方程 又 而P(0,2),Q(6,0), =(6,-2), 所以+與共線等價(jià)于 將代入上式,解得. 由(1)知故沒(méi)有符合題意的常數(shù)k. 17.(本小題滿分14分)(2011湖南師大附中第二次月考)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,P(2,0)為定點(diǎn). (1)若點(diǎn)P為拋物線的焦點(diǎn),

8、求拋物線C的方程; (2)若動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)P,且圓心M在拋物線C上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)A、B是圓M與y軸的兩交點(diǎn),試推斷是否存在一條拋物線C,使AB為定值?若存在,求這個(gè)定值;若不存在,說(shuō)明理由. 【解】(1)設(shè)拋物線方程為 則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為. 由已知即p=4, 故拋物線C的方程是. (2)設(shè)圓心M點(diǎn). 因?yàn)閳AM過(guò)點(diǎn)P(2,0),則可設(shè)圓M的方程為. 令x=0,得0,則. 所以 . 設(shè)拋物線C的方程為 因?yàn)閳A心M在拋物線C上,則. 所以. 由此可得,當(dāng)m=4時(shí),AB=4為定值. 故存在一條拋物線使|AB|為定值4. 18.(本小題滿分16分)已知橢圓C:(a>b>0)的離心率左、右焦點(diǎn)分別為、

9、點(diǎn)點(diǎn)在線段的中垂線上. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),直線與的傾斜角分別為且,求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo). 【解】(1)由橢圓C的離心率得 其中 橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為、.又點(diǎn)在線段的中垂線上, |=|. 解得. 橢圓的方程為. (2)證明:由 消去y,得. 設(shè) 則且. 由已知,得得. 化簡(jiǎn),得. 整理得m=-2k. 直線MN的方程為y=k(x-2),因此直線MN過(guò)定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0). 19.(本小題滿分16分)設(shè)是橢圓1(a>b>0)上的兩點(diǎn),已知mn若=0,橢圓的離心率短軸長(zhǎng)為2,O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求橢圓

10、的方程; (2)若直線AB過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F(0,c)(c為半焦距),求直線AB的斜率k的值; (3)試問(wèn):AOB的面積是否為定值?如果是,請(qǐng)給予證明;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解】(1)由a=2,. 所以橢圓的方程為. (2)由題意,設(shè)AB的方程為 由. . 由已知=0, 得 解得. (3)是,證明如下: 當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí), 即. 由=0得. 又在橢圓上, 所以|. 所以| |=1. 當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí), 設(shè)AB的方程為y=kx+b. .得到. 代入整理,得 |AB| |b| 所以三角形的面積為定值. 20.(本小題滿分16分)已知?jiǎng)訄AP過(guò)點(diǎn)N(2,0)并且與圓M:相外切,動(dòng)圓圓心P

11、的軌跡為W,過(guò)點(diǎn)N的直線l與軌跡W交于A、B兩點(diǎn). (1)求軌跡W的方程; (2)若2=,求直線l的方程; (3)對(duì)于l的任意一確定的位置,在直線上是否存在一點(diǎn)Q,使得=0,并說(shuō)明理由. 【解】(1)依題意可知PM=PN+2, PM-PN=2<MN=4. 點(diǎn)P的軌跡W是以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支, 設(shè)其方程為b>0), 則a=1,c=2. . 軌跡W的方程為. (2)當(dāng)l的斜率不存在時(shí),顯然不滿足2=,故l的斜率存在, 設(shè)l的方程為y=k(x-2), 由 得. 又設(shè) 則 由解得 2=,. . 代入,得 消去得即. 故所求直線l的方程為. (3)問(wèn)題等價(jià)于判斷以AB為直徑的圓是否與直線x=有公共點(diǎn), 若直線l的斜率不存在,則以AB為直徑的圓為可