1、反常積分斂散性的判定方法作 者陳志強學 院一統計與數學學院專 業數學與應用數學年 級 2012級學 號，指導教師魏運導師職稱教授 最終成績 75分摘要關鍵詞2一、預備知識. 21 .無窮限反常積分. 22 .瑕積分 .33 .反常積分的性質 .3二、反常積分的收斂判別法.41無窮積分的收斂判別 .4(1) .定義判另U法 . 4-4(2) .比較判別法(4)阿貝爾判別法.-5(3) .柯西判別法(5) .狄利克雷判別法2瑕積分的收斂判別(1) . 定義判另U 法 .8(2) . 定理判另U法 . 9(3) .比較判別法 .9(4) .柯西判別法 .9法. 10(6). 狄 利 克 雷 判 別法

2、. 1011參考文獻摘要在很多實際問題中，要突破積分區間的有窮性和被積函數的有界性，由 此得到了定積分的兩種形式的推廣：無窮限反常積分和瑕積分。我們將這兩種積 分統稱為反常積分。因為反常積分涉及到一個收斂問題，所以反常積分的斂散性 判定就顯得非常重要了。本文將對反常積分的斂散性判定進行歸納總結，并給出 了相關定理的證明，舉例說明其應用，這樣將有助于我們靈活的運用各種等價定 理判斷反常積分的斂散性。關鍵詞：反常積分 瑕積分 極限 斂散性引言近些年以來，一些數學工作者對反常積分斂散性的判別方法做了研究并取得 了許多重要的進展。如華東師范大學數學系編，數學分析(上冊)，對反常積分 積分的定義，性質的

3、運用及講義其判別收斂性的方法。華中科技大學出版的數學 分析理論方法與技巧，也對反常積分斂散性判別做了詳細的講解，還用圖形的方 法說明其意義。引申出反常積分斂散性的等價定義，并通過例題說明其應用。眾多學者研究的內容全而廣，實用性很高，尤其是在研究斂散性的判別很明 顯，這對我現所研究的論文題目提供了大量的理論依據和參考文獻，對我完成此 次論文有很大的幫助，但絕大多數文獻只是對其一種方法進行研究，而本文將對 其進行歸納總結，舉例說明其應用。一、預備知識1 .無窮限反常積分定義設函數/(X)在a, +8)有定義，若f(x)在a, A上可積(A>a)且當A- + 8時，lim I f(xyJx存在

4、，稱反常積分收斂，否則稱八一>8" aJ a反常積分與匚/*岫發散。對反常積分匚入x)dx與£/(A>/X可類似的給出斂散性定義。注意：只有當匚和匚/世都收斂時，才認為匚是收斂的。2 .原斯定義1：設f(x)在a的任何鄰域內均無界，貝麻a為f(x)的一個瑕點定義2：設f(x)在出人內有定義，且b為唯一瑕點，若!/(x)dx存r方在，稱瑕積分J /(xWx收斂定義3：設c£(4,b)且為f(x)的一個瑕點，若】/(X0X和于(x)dx 均收斂，則稱瑕積分J3 .反常積分的性質 Cauchy 收斂原理：/(x)dx 收斂 O 對 Vex), mA 0 福當

5、 > A? > A。時，有 |j：/(x)dx <£,8嚴線性性質：若L /(x)dx與g(x)dx都收斂，則對任意常數占k2,k"(x) + &g(x)Kx 也 收 斂， 且 有f(x)dx g(x)dxk"(x) + Z2g妙=%：積分區間可加性，若J/(xWx收斂，則Vbef-Ko), £ /(x)dx = J：/(xMx +f.若 J：|/(X)四收斂，貝，w|/(x)Hx。二、反常積分的斂散性判別法1.無弼扮幽撒性判別 (1)定期捌法設函數/定義在無窮區間4,23)上，且在任何有限區間4/上可積如果存在極限lim fx

6、dx = J , I/-WOC則稱收斂，否則發散，即相應定積分的極限存在廣義積分收斂，定積分的極限不 存在廣義積分發散例計算無窮積分xe-pxdx (是常數，且 >0)解：f+<c -PA rX -p.V +<c1 f+x -p.V >1 -PA I+<X1Jo & dx = 一 e 0 +J。e dx = -7e 0 =PPP- 1 P-x1式中 limx/P' = limy = lim=0A-KCA->X g" X->X pg".比較判別法的普通形式：，(x)，g(x)在凡+8)有定義，且0<f(x)<

7、;g(x)(x>a)(a) f0/(xWx<+8J aJ a(b)產I f (x)dx=+oo =>J Ct產g(x)dx =+oo例討論8 sinxJo 1 + 2八的收斂性sin x解：由于匚下X I 人1-1 + X2xe0,+oo)8 dx 7T因為Jo +2 = 5為收斂，所以根據比較判別法次為絕對收斂。.比較判別法的極限形式：/(x)，g(x)在a，+8)有定義，且非負，且r f(x) _ z hm = I 則.X” g(x)(a)當 / = 0時，g(xWx<+QO今 f /X)dx <4-00J aJu廣8廣00(b) I = +8時，g(x)dx

8、 =H-CO=>/(x)dx = + 8JuJ a(c) 0 </<+00 時,J：g(xWx, J：/(x)dx具有相同點斂散性。證：若螞緇V+8,由極限的性質，存在常數A(A>a)使Ju得當X，A時成立fMg(x)</+1即/(%)<(/4-l)g(x)于是由比較判別法，當J°°g(x)dx收斂時 J QJuf (x)dx也收斂若lim也XT + 8 g(X)=，>°,由極限的性質，存在常數A(A之a),使得當工之A時成立其中 0</ V，f(x)>fg(x)于是由比較判別法，當J8 g(xWx發散時J /

9、(x)dx也發散，aJ a討論/xx/x4+3x3+5x2+2x-1的斂散性所以11 3/ 4324收斂Ji 3+3/+5x2+2*-1總結：使用比較判別法，需要一個斂散性判別結論明確，同時又形成簡單的函數作為比較對象，在上面的例子中我們都是取7為比較對象的，因為它們正 X好能滿足這倆個條件(4) .柯西判別法：設/(x)在a,+oo)有定義，在任何有限區間a,“上可積，且limxp當 /? > X,0 < 2 < +oo 時，|/(1)依收斂C 8當 <1,時，|/。)心發散(5) .阿貝爾判別法：1*/(x)g(xWx滿足：(a) /(X)單調有界(b) f收斂J

10、Cl則f fMg(xylx收斂 J a證：由于存在M>0 ,使(X。)再由(2)可知，八2對/2>0,三人。>。，當人,>4>人。時，有 L f(x)g(x)dx 八1又J；"(x)g(x)jx = /(A)J： g(xW元+ /(4)& g(x>7x(£ + £ ) =2 M £再次由柯西準則知Abel定理成立。Joo sin x-7-arctanx心(oKl)收斂1 x利用阿貝爾判別法，因為收斂，又arctanx在L+oo)上sin x單調有界，故Ji 丁紂出口心是收斂的產(6) . Dirichlet判別

11、法：I /(工)且(工世 滿足(1) f(x)單調且趨于0(X -0)r a(2) I <?(入心有界(a>A) a產則 J /(x)g(xWx 收斂。J4A jrA證：由于存在M>0,g(xMx有界，所以有 g(x)x <M又由于f(X ) - 0 (x-8)故對對 Ve >0, 3A0 > a，當 A2>AX > A0 時，有|/(a2)-/(a)|< £ 即 |/(A2)|< 6 , |/(A)|< 2 ,所以77afxydx <g(x)八一 f g(x)dx <2M 同 理 有J A2J aJ a&

12、lt; 2M ,故當 上，4>4 時，有g(x)dx +|/(A)|J； g(x)dx<證:證積分JlsmxX收斂，但不絕對收斂|£ sin xdx = |cosA-ssl£2,而:單調且當一8時趨于。,oc由 Dirichlet 判別法知sin xdx 收斂故sin x sin x2 z .、>(sin x < 1)x x1 cos 2x2x2xIfcos 2xdx = sin 2A sin 1|-I ，3T單調趨于I sin xdx發散8 COS 2x ,r00 1 , M八收斂而工汗發散故 例積分的斂散性當之。時是可積的；當 V。時，它是不可積

13、的，因為這時被積函數在0,1上無界。但作為反常積分，當 >一1時收斂；當 W1時 ril-3p+i發散；因為當”-1時有盤L dx = lim=檄售g而當 p = 1 時有 lim J xxdx = lim (In 1 In J) = 4-qo 例 積分作為反常積分，當 V1時它收斂；當之一1時它這 是 因 為 當1 時 有lim C xpdx = lim 3>0 Jo3->0若p.l叫若PT而當P=T時有:5工工一1公=|吧(lnd_lnl) = s 2. 般判別(1)定義判別法設函數/定義在無窮區間3,句上，在點a的任一右鄰域上無界，但在任何內閉區間有限區間mb u(出以

14、上有界且可積如果存在極限lim blt f(x)dx = J ,則稱反常積分,f0)dx收斂，否則發散 例計算瑕積分J；,戊的值Y解：被積函數f(x) = =在0,1)上連續，從而在任何0,u0,l)上可積, VI -X2x = 0為其瑕點.依定義求得P 1dx- inl'=dx= lim(l-Vl-w2 ) = l定理判別法(柯西收斂原理)瑕積分J f(X)dx (瑕點為a)收斂的充要條件是：任給£>0,存 V Cl在 合0, 只 要 12£(4。+ 3) 總 有J： /(xWx J： /(x詞=J： fxdx=0<£(3) . 法則設f(x

15、)定義于a,b , a為其瑕點，且在任何,bu(a,z?)上可積,如果 lim(x_a)/(x)| 二 2x>0+當 >l,0«2 v+8 時，,|/0)依收斂當夕<1, Ov2<y 時，1/。)內發散(4) .柯西判別法設x=a是f(x)的瑕點，如果|/(x)| <-一那么 ()acI fOWx絕對收斂；如果|/(x)|之:3(c>0)，之1那么axa)發散r dx例討論J； F一的斂散性(七A-)J。x1 1nx解：x=0是其唯一奇點。當 0<<1 時，取夕=二£(,1),則. X， ,、r_ dx物下麗二°，由

16、柯西判別法知，收斂類似的， 當>1時，取q = £(i，)，則WPF = +s由柯西判別法知，J； 不一發散io x1 |lnx|J()x| In%當 p = l 時，可以直接用Newton-leibniz公式得到-dx e )Inx=lim Inllnxo+ 1r dx因此，當0<Pl時，反常積分J；、,收當斂；當上1時，反常積分人 111人r dxJo 71一發散(5) .阿貝爾判別法eb設f(x)在x=a有奇點，I /(xWx收斂，g(x)單調有界，那么積分 arh/(x)g(x)4x 收斂J a.狄利克雷判別法設f (x)在x=a有奇點，J“+ f (x)dx是的有界函數,rbg(x)單調且當XT a時趨于零，那么積分J. /(x)g(xWxsin 例討論積分Jor4x(0一工2)的收斂情形XIsinll當 Ovrvl時，,積分絕對收斂，又f -