1、1不等式選講【2019 年咼考考綱解讀】 本部分主要考查絕對值不等式的解法.求含絕對值的函數的值域及求含參數的絕對值不等式中參數的取值 范圍、不等式的證明等，結合集合的運算、函數的圖象和性質、恒成立問題及基本不等式、絕對值不等式的應用成為命題的熱點，主要考查基本運算能力與推理論證能力及數形結合思想、分類討論思想.【重點、難點剖析】1 含有絕對值的不等式的解法(1) |f(x)|a(a0)?f(x)a或f(x) -a；(2) |f(x)|0) ? -af(x)c的不等式，可利用絕對值不等式的幾何意義求解.2 .含有絕對值的不等式的性質|a| - |b|1ab|2ab.當且僅當a=b時，等號成立.

2、a+bt定理 2:如果a,b為正數，則 ab,當且僅當a=b時，等號成立.定理 3:如果a,b,c為正數，則a+；+C導ObC,當且僅當a=b=c時，等號成立.ai+a2+ann._定理4:(一般形式的算術一幾何平均不等式)如果ai、a2、an為n個正數，則_ aia2an當且僅當ai=a2=an時，等號成立.所以 f x -1 的解集為:x x一1?.(2)由得必 k+l|十-2|d+x,而.F + 工牛|+1+卜卜+岸田冷玄：3且當x時,2(I )在答題卡第(24)題圖中畫出y二f x的圖像;(II)求不等式f (x j1的解集yl*G；-x/；U!b3)U(5?+ac)【答案】(I)見解

3、析(II)一幻【解析】如圖所示:x-4x W _1f(x)=3x-2,-lx1,當 x 1 ,解得x5或 x -, 4x1,解得 x5 或 x 52 2綜上,x：-或 1：x : 3 或 x 5 , fx 1 ,解集為3【變式探究】解不等式x+ |2x+引2.心上解原不等式可化為，或2,-x-2l3x+弓三2一解得xW - 3或入土一 |綜上，原不等式的解集是k W亦刁一審【變式探究】若函數f(x) = |x+ 1| + 2|xa|的最小值為 5，則實數a=_.3解析 由絕對值的性質知f(x)的最小值在x= 1 或x=a時取得，若f( 1) = 2| 1 a| = 5,a= ?或a= 2，經檢

4、驗均不合適；若f(a) = 5,則|x+ 1| = 5,a= 4 或a= 6，經檢驗合題意，因此a= 4 或a= 6.答案 4 或61【變式探究】設函數f(x) =x+ - + |xa|(a0).a(1)證明：f(x) 2;若f(3)2.1(2)f(3) = 3 +舌+13 a|.t丄1當a3 時，f(3) =a+ ,【解(1)證明：由a0,有f(x)=+ |xa| xa4a5亠m5 +、/21由f(3)5，得 3a2.1當 0aW3時，f(3) = 6 a+ ,a由f(3)5，得12/5af(x)恒成立，則af(x)max，awf(x)恒成立，則awf(x)min”求字母參數的取值范圍.【舉

5、一反三】已知關于x的不等式|x+a|Vb的解集為x|2vxV4.(1) 求實數a，b的值；求，at+ 12 +.bt的最大值.解 (1)由 |x+a|vb，得一bavxvba，ba= 2，則*解得a= 3，b= 1.ba=4，(2) 3t+ 12 +t=3 4t+tw(3)2+12(4t)2+(t)2=2 4 t+t= 4，當且僅當即t= 1 時等號成立，故(寸3t+ 12 +)max= 4.6【舉一反三】 已知函數f(x) = |x+ 1| 2|xa|，a0.(1)當a= 1 時，求不等式f(x)1 的解集；7若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于 6，求a的取值范圍.解當a= 1 時，

6、f(x)1 化為 |x+1| 2|x 1| 10.當XW1 時，不等式化為x 40,無解；2當一 1x0,解得3x1時，不等式化為x+ 20,解得 Kx1 的解集為(2)由題設可得,x 1 2a,x 1,f(x) = 3x+1 2a, 1xa.所以函數f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為AO，0，B(2a+ 1, 0) ,Q a, a+ 1),22ABC的面積為3(a+ 1)2.22由題設得3(a+ 1) 6,故a2.3所以a的取值范圍為(2,+R).題型二不等式的證明【例2】已知函數f(x) = |x 1| +|x 3|.(1)解不等式f(x)Wx+ 1 ；【解析】(1)解f(x

7、)Wx+ 1,即 |x1| +|x 3|Wx+ 1.1當x1 時，不等式可化為 4 2x 1.又x 1.又 1WxW3,.1WxW3;3當x3 時，不等式可化為 2x 43,. 3x0,b0,a+b=c,求證:an+b2b+ 1* .8綜上所得，1WxW3或 3 為+1=町 貝寸期應=期一1b=nlf用+丹=4a1 2, b(用一1)：,in-IV ,1,1,44*r + r7=- +-=酬+耳+ 斗一一斗二一R 丄-二匚a+&+1mn附旳用”巾 2 )當且僅當腳=2時，等號成立，二原不等式得證+【感悟提升】(1)作差法是證明不等式的常用方法作差法證明不等式的一般步驟：作差；分解因式;與 0

8、比較；結論.關鍵是代數式的變形能力.在不等式的證明中，適當“放” “縮”是常用的推證技巧.【變式探究】已知函數f(x) = |3x+ 1| + |3x 1| ,M為不等式f(x)|a+b|.(1)解f(x) = |3x+1| + |3x 1|6.t1丄當x 3時，f(x) = 3x 1 3x+ 1 = 6x,31由6x 1 , 1x3;1由 6x6，解得x1 , 3x1.3綜上，f(x)6 的解集M=x| 1x1.證明(ab+ 1) (a+b) =a b+ 2ab+ 1 (a+b+ 2ab)22222八=a bab+1 = (a 1)(b 1).由a,bM得 |a|1 , |b|1 ,a 10

9、,b 10,911當3Wxw3時，f(x) = 3x+ 1 3x+ 1 = 2,33又 23時，f(x) = 3x+ 1 + 3x 1 = 6x,210(a2 1)( b2 1)0 , | ab+ 1| | a+ b|.【變式探究】【2017 課標 II】已知abU+b2。證明:(1)一-；(2)a b 乞 2。【答案】(1)證明略；(2)證明略。【解析】(1)(a+b)(as+ b5) = a6+abs+ a5b + b6*(aJ+ aba4+ b)s 4 + ab(a2-b?)2(2)因為(a + b/ = a3+ ia2b + 3ab7+ b3=2 + 3ab(a + b)3(a + b

10、)23( (a + b)ia + b) = 2 +4所以:，因此 a+bw 2.【變式探究】已知函數(I)求 M;(n)證明：當a,b M時，I + 1卜釧【答案】(I)丄- ； (n)詳見解析1當 x時，由f (x)：2得-2x : 2,解得 x -1；M 為不等式f (x)：2的解集.【解析】(I)2xx-?1111當x時，f (x) : 2；221當x_時，由f(x)：2得2x：2,解得x：1.2所以f(x)：2的解集暫 圍-】疋氫cd,則a+bc+d；寸a+目b Jc + 是|ab|v|cd|的充要條件.證明 因為(a+b)3=a+b+ 2ab, (c+d)2=c+d+ 2cd,由題設

11、a+b=c+d,abcd得(a+b)2 (=Jc+d)2.因此：.;a+bJc+d.若 |ab|v|cd| ,32即(a+b) 4abv(c+d) 4cd.因為a+b=c+d,所以abcd.由(1)得a+bc+d.若a+寸bJc+d,則(a+Jb)2(寸c+d)2，即a+b+ 2abc+d+ 2cd.因為a+b=c+d,所以abcd,于是2 2 2 2(ab)=(a+b)4abv(c+d)4cd=(cd).因此 |ab|v|cd|.綜上，a+“Jbc+d是|ab|v|cd|的充要條件.【變式探究】已知q和n均為給定的大于 1 的自然數.設集合M=0 , 1, 2,，q 1，集合A=x|x=X1

12、+X2q+xnqn1,XiM, i= 1 , 2,n.(1) 當q= 2 ,n= 3 時，用列舉法表示集合A;(2) 設s,tA,s=a1+a2q+anqn1,t=b+b?q+bnqn1,其中ai,biM i= 1 , 2,n.證明:1222則(ab)v(cd),13若anbn，貝Ust.2(1)解 當q= 2,n= 3 時，M= 0 , 1,A= x|x=Xi+X2 2+X32,XiM,i= 1, 2, 3.1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7._n1n1證明 由s,tA,s=a1+a2q+anq,t= b+b?q+bnq,ai,biM i= 1, 2 ,14可得st= (a1bj+ (

13、a2b2)q+ + (an1bn1)q+(&bn)qw(q 1)+ (q 1)q+n1q=n1(q 1)( 1q)1 qn1q=10.所以，s 100.a b c【命題意圖】本題主要考查利用均值不等式證明不等式的成立問題意在考查考生的邏輯推理與論證能力解題過程中要注意標明等號成立的條件，以保證過程的完整性.【證明】（1）證法一：a,b均為正數，由均值不等式，得a2+b22 ab,A+ a2+b2+b卜2ab+babab=4 2.當且僅當a=b=42 時，等號成立.證法二：盛，占均為正數，由均值不等式，得111+ + T2ab+ 三一a- “ab1A.+員+ ；丄+豈“2砂a b）as當且僅當近

14、時,等號成1941a+b+c可得，A= 0 ,n及anbn,n2-(q-1) q1 1ab4ab,=(a+ 4b+ 9c)15=9 + 睪+a+ 型 + 16+4b+ 竺 + 警 + 9b c acab=34 + 24 + 18+ 24 = 100.311當且僅當a= 3b= 9c,且a+ 4b+ 9c= 1 時，等號成立，即當且僅當a= ,b= ,c= 時，原式取101030【感悟提升】不等式證明的基本方法是比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法和數學歸納法，其中以 比較法和綜合法最為基礎，使用綜合法證明不等式的關鍵就是通過適當的變換后使用重要不等式或柯西不 等式，證明過程注意從重要不等式的

15、形式入手達到證明的目的.115【變式探究】已知實 數x,y滿足：|x+y| , |2xy|，求證：|y|36181【證明】因為 3|y| =|3y| = |2（x+y） （2xy）| 2|x+y|+ |2xy|，由題設知|x+y| 3, |2xy|215從而3|y|3+6=6，5所以 |y|18.題型三絕對值不等式恒成立（存在）問題 例 3、（2018 年全國 I 卷）已知訕總！.（1）當口時，求不等式迪刮的解集;（2）若匡亜時不等式壓三I成立，求R的取值范圍【解析】-2,x - 1,31 x L（2）當匡回時卜馭1| r成立等價于當時匡j|G|成立.=34 +4a36ba81c4bb+a+c

16、+a+c+4a36b34+2b a+口號.16,【答81c一 +a故不等式回也的解集為16若池 0,則當時應-i|hT| ；若戶L際】|V|的解集為f Xd所以匸1|,故pVEL蘭2.綜上，L的取值范圍為L.【變式探究】設函數f(x) = |2x+ 1| + |xa|(a0).當a= 2 時，求不等式f(x)8 的解集；3若？x R,使得f(x)W2 成立，求實數a的取值范圍.解當a= 2 時，由f(x)8 ,得|2x+ 1| + |x 2|8 ,13所以 2+aW2，所以aW1.又a0，所以實數a的取值范圍是(0, 1.x 2, 即什3x 18或-2x8或x8,得x3 或x ?或x3 或xa

17、,因為1x+a+1，小xf(x)或awf(x)的形式.轉化最值：f(x)a恒成立？f(x)mina；f(x)a恒成立？f(x)maxa有解？f(x)maa；f(x)a有解 ?f(x)mina無解?f(x)maxa；f(x)a.(3)求最值：利用基本不等式或絕對值不等式求最值.得結論.【變式探究】已知函數f(x) =|2x+b|+|2x-b|.(1) 若b= 1，解不等式f(x)4 ；若不等式f(a)|b+ 1|對任意的實數a恒成立，求b的取值范圍.解 (1)當b= 1 時，f(x) = |2x+ 1| + |2x- 1|4 ,x1-4x41 1亠-2x2，?x4所以不等式的解集為(一a,1)U

18、(1 ,+).(2)f(a) = |2a+b| +12a-b| = |2a+b| + |b-2a| |(2a+b) + (b-2a)| = |2b| ,當且僅當(2a+b)(b-2a)0時，f(a)min= |2b| ,所以 |2b|b+ 1|，所以(2b)2(b+ 1)2,即(3b+ 1)(b- 1)0 ,所以 b 的取值范圍為 i a,3U(1,+a).題型四不等式的綜合應用例 4、(2018 年全國川卷)選修 45:不等式選講設函數二以+I+ %-1| .(1)畫出的圖像；(2 )當忙5 曲，求的最小值.1xw-2,【答案】418101【答案】（1）見解析(2) 5【解n疋:的圖像如圖所

19、示.yjk（2）由（1）知，的圖像與軸交點的縱坐標 為，且各部分所在直線斜率的最大值為，故當且僅當且 時，燙,去徑 2 總在成立，因此護池的最小值為 5。【舉一反三】（2018 年江蘇卷）選修 45:不等式選講若x,y,z為實數，且x+2y+2z=6,求的最小值.f(x)(1)119x y z當且僅當Ig(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1，求a的取值范圍 葉土亜【答案】(1)-； (2M-1,1.【解析】(1 )當a=1時，不等式7等價于.當X ” -1時，式化為- - .，無解； 當-1乞X乞1時，式化為一.-，從而-1乞X乞1；x 1時，式化為呎上蘭巾，從而的解

20、集為(2)當1-1,1 時，g x =2.所以 的解集包含11,1,等價于當x壬1,1】時f(x)K2.又f x在1-1,11的最小值必為f -1與f 1之一，所以f -1 - 2且f 1-2，得-1乞a乞1.所以 a 的取值范圍為1-1,11.【變式探究】已知a,b都是實數，a 0,f(x) = |x 1| + |x 2|.(1)若f(x)2，求實數x的取值范圍；若|a+b| + |ab| |a|f(x)對滿足條件的所有a,b都成立，求實數x的取值范圍.【命題意圖】本題主要考查絕對值不等式的解法，及帶絕對值符號的最值問題.【解析】證明：由柯西不等式，得?Xl:+22+ 2 (x + 2y +

21、所以2032x,xw1,【解析】(1)f(x) = 1, 12.Xw1,由f(x)2，得什3 2x2解得x2.所求實數x的取值范圍為(2)由 |a+b| + |ab| |a|f(x)且a* 0,得或 f2,2x32,21|a+b| + |ab|a|f(x) 又|a+b|+|ab|a+b+ab|A|a|a|f(x)w2.15 f (x)2 的解為x215f(x)W2的解為 2wxw271 5所求實數x的取值范圍為 2 2【感悟提升】不等式f(a)Ag(x)恒成立時，要看是對哪一個變量恒成立如果對于?a R 恒成立,的最小值大于等于g(x)，再解關于x的不等式求x的取值范圍；如果對于？x R 不等式恒成立，則 的最大值小于等于f(a)，再解關于a的不等式求a的取值范圍.f(a)g(x)【舉一反三】已知函數f(x) = |x+a| + |2x 1|(a R) (1) 當a=