1、平面向量一、平面向量的基本概念：1.向量：既有大小又有方向的量叫做_.我們這里的向量是自由向量，即不改變大小和方向可以平行移動。向量可以用_來表示.向量的符號表示_.2.向量的長度：向量的大小也是向量的長度（或_），記作_.3.零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作_.4.單位向量：_.5.平行向量和共線向量：如果向量的基線平行或重合，則向量平行或共線；兩個非零向量方向相同或相反.記作_規定：_.注意：理解好共線（平行）向量。6. 相等向量：_.例：下列說法正確的是_有向線段就是向量，向量就是有向線段；則；若，則A，B，C，D四點是平行四邊形的四個頂點；所有的單位向量都相等；二、向量的線性運算

2、：（一）向量的加法：1.向量的加法的運算法則：_、_和_.（1）向量求和的三角形法則：適用于任何兩個向量的加法，不共線向量或共線向量；模長之間的不等式關系_；“首是首，尾是尾，首尾相連”例1.已知AB=8，AC=5，則BC的取值范圍_例2.化簡下列向量（1） （2）（2）平行四邊形法則：適用不共線的兩個向量，當兩個向量是同一始點時，用平行四邊形法則；是以，為鄰邊的平行四邊形的一條對角線，如圖：例1.（09 山東）設P是三角形ABC所在平面內一點，則A. B. C. D.例2.（13四川）在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O， ，則.（3）多邊形法則2.向量的加法運算律：交換律與結合

3、律（二）向量的減法：減法是加法的逆運算，A. （終點向量減始點向量）在平行四邊形中，已知以、為鄰邊的平行四邊形中，分別為平行四邊形的兩條對角線，當時，此時平行四邊形是矩形。例1.已知，且，則=_例2.設點M是BC的中點，點A在線段BC外，BC=16，則向量的加減運算：例1.（08遼寧）已知、是平面內的三個點，直線上有一點，滿足+2=0，則=_A.2- B.+2 C. D.+例2.(15課標全國I）設D是三角形ABC所在平面內一點，則_A. B.C. D.例3.（12全國）在中，邊上的高為,=a,=b,ab=0,則=_例4.（10全國）在中，點在邊上，平分，若=a,=b,，則=_例5.在中，設為

4、邊的中點,為邊的中點,若=+，則+=_例6.（15北京理）在中，點滿足，若，則例7.（13江蘇）設、分別是的邊、上的點，若，若=+(,為實數)，則+=_例8.（12東北四市一摸）在中，設為邊的中點，內角的對邊，若+=0，則的形狀為_(三）實數與向量的積：1.定義：實數與非零向量的乘積是一個向量，它的長度是_.它的方向是_.當時，_2.數乘向量的幾何意義是把向量同方向或反方向擴大或縮小。3.運算律：設、是任意向量，是實數，則實數與向量的積適合以下運算：4.向量共線的判斷：（平行向量的基本定理）如果，則；若，則存在唯一的實數，使得.若、是兩個不共線的非零向量，則它們共線的充要條件是存在兩個均不是零

5、的實數，使_.若，不共線，則在有意義的前提下，例1.（15課標全國II）設向量若、是兩個不平行的向量，向量與平行，則例2.（09湖南）對于非零向量“”是“”的_A充分不必要條件 B. 必要不充分條件C充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件例3.（12四川）設a，b都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是Aab BabCa2bDab且|a|b|5. 單位向量給定一個向量，與同方向且長度為1的向量叫做的單位向量，即_重要結論：已知，為定點，為平面內任意一點.+=0_.若=+，則為_若=+（+），則點的軌跡_.若=+_,則點的軌跡通過的內心若_,則點的軌跡是的外心若_,則點的軌跡是的垂心例

6、1.（10湖北）在中，點滿足+=0，若存在實數，使得+=，則=_.例2.在中，重心為G，若，則例3.在中，重心為G，若，則三、平面向量的基本定理(一）平面向量基本定理內容：如果、是同一平面內的兩個不共線的向量，那么對這一平面內的任一向量，有且只有一對實數，使_,其中、是一組基底，記作_._叫做向量關于基底的分解式。平面向量基本定理是向量正交分解的依據，是向量坐標運算的基礎。注意：只要是不共線的兩個向量都可以作為基底，因為零向量與任一向量都平行，所以零向量一定不能作為基底；基底不唯一；任一向量可以由一組基底來表示，但表示方法是唯一的。例1.（14福建）在下列向量組中，可以把向量表示出來的是_A.

7、 B.C. D.例2.（09安徽）在平行四邊形ABCD中，E，F分別是CD，BC的中點，若 ，則（2） 平面向量基本定理與向量共線條件的綜合應用設是直線上兩點，是直線外一點，對于直線上任意一點，存在，使_成立.反之，滿足上式的點在直線上.特別地，當為的中點時，則_.例1.已知、是平面內的三個點，線段的延長線上有一點，滿足3+=0則=_A.3-2 B.2+3 C. D.+例2.數列是等差數列，其前項和為，若平面上的三個不共線的向量、滿足=+，且三點共線，則例3.已知向量不共線，且=，若三點共線，則實數應滿足的條件_A. B. C. D.例4.（07江西）如圖，在中，設為邊的中點，過點的直線交直線

8、、于不同兩點.若=，=，則+=_的最大值為_例5.在中，設為邊的任意點，為中點，=+，則+=_.例6.在中，設為邊的中點，為中點，=+，則+=_.NMOCBAABMDGNCA例7.如圖，在中，設為邊的中點，為中點，過任作一條直線分別交、于兩點，若=，=，試問是否為定值？四、平面向量的正交分解與向量的直角坐標運算：（一）向量的正交分解與向量的直角坐標1.向量的垂直：如果兩個向量的基線互相垂直，那么這兩個向量互相垂直；2.向量的正交分解：如果基底的兩個基向量互相垂直，則稱這個基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解。3.在平面直角坐標系下，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量作為基底

9、，對于平面內任一向量，有且只有一對實數x,y，使得.有序數對叫做的坐標，記作注意：（1）每一個向量都可以用一對有序實數對來表示，向量有代數法和幾何法兩種表示。（2）符號有了雙重的意義，既可以表示固定的點，又可以表示向量；平面向量的坐標只與始點和終點坐標有關，只有點始點在原點時，向量的坐標才與終點的坐標相等。（二）向量的坐標運算1.若，則.2.若，則=_|=_3.若，則4.若，,則有_.5.三角形ABC的重心坐標公式為_五、平面向量的數量積：1.平面向量數量積的定義向量的夾角已知兩個非零向量，過點作，則_),叫作向量的夾角.當_時，與垂直，記作_.當_時，與平行或共線.注意：理解什么是兩向量的夾

10、角？以及兩向量夾角的范圍。向量的數量積已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則把_叫做向量的數量積（內積），記作_.規定=0向量數量積的幾何意義_.2.向量數量積的性質設是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則_當同向時，.當反向時，特別地，3.向量的數量積的運算律：注意：向量的數量積無_律，無_律.4.數量積的坐標運算若，則若，則若，則的充要條件為_，則的充要條件為_求角問題：若非零向量，是的夾角，則注意：向量有幾何法和坐標法兩種表示，它的運算也有兩種方式即基于幾何表示的幾何法和基于坐標表示的代數法.典型例題（一）向量數量積的幾何運算，注意兩個向量的夾角，利用平面向量的基本定理選好基底

11、例1.對任意向量，下列關系式中不恒成立的是_A. B. C. D.例2.已知向量，滿足，則向量的夾角為_例3.（11江西）已知，則的夾角為_例4.（13全國）已知兩個單位向量，的夾角為，若則例5.（13江西）設、為單位向量，與的夾角為，若，則向量在方向的射影為_例6.已知向量，滿足，則例7.(14課標全國）已知A，B，C為圓O上的三點，若，則與的夾角為_例8.（10湖南）在直角三角形中，則=_例9.（15湖北）已知向量，則例10.如圖，在平行四邊形ABCD中，APBD，垂足為P，且AP 3，則例11.在三角形中，為邊的三等分點，則=_例12.（12天津）已知三角形為等邊三角形，點滿足=，=（1

12、-），若=，則例13.（13山東）已知向量與夾角，=+，且=0則實數的值_例14.（13天津）在平行四邊形中，為邊的中點，若=1，則的長為_例15.已知夾角為，在三角形中，為邊的中點，則例16. AD與BE分別是的中線，若AD=BE=1，的夾角為，則=_例17.(15四川）設四邊形ABCD為平行四邊形，AB=6，AD=4，若M，N滿足，則例18.（12浙江）在三角形中，點為的中點，則=_例19.（09陜西）設為邊的中點，點在上，滿足=2,則（+）=_例20. 設是三角形的外心，則（-）=_例21.在三角形中，已知，點是的垂直平分線上任一點，則=_例22.已知是三角形的外心，若，則=_例23.若

13、三角形內接于以為圓心，1為半徑的圓，3+4+5=0,則=_例24.已知非零向量，在上有極值，則的取值范圍為_例25.（10全國）已知圓的半徑為1，為該圓的兩條切線，為切點，則的最小值為_典型例題（二）：對于有明顯的直角關系的向量問題-建立平面直角坐標系(與線性規劃問題聯系),向量的幾何法與代數法的轉化例1.（13湖北）已知點A（1，1），B（1,2）C（2，1），D（3,4），則向量在方向上的投影為_例2.（12重慶）設，向量，則例3.已知點，是坐標原點，點的坐標滿足，設為在上的投影，則的取值范圍_例4.（13福建）在四邊形中，=（1,2）， =（-4,2），則四邊形的面積為_例5.（09湖南

14、）如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板在一起，若=+，則=_,=_例6.已知，點在內，=0,若=+，則例7.（09天津）若等邊三角形的邊長為，平面上一點，滿足=+,則=_.例8.（11天津）已知直角梯形中，是腰上的動點，則|+3|的最小值為_例9.(12江蘇)如圖，在矩形中，點為的中點，點在邊上，若，則=_例10.在直角三角形中，點是斜邊的中點，點是線段的中點，則例11.（13全國）已知正方形的邊長為2，為的中點，則=_例12.（13重慶）在平面上，若，則的取值范圍是_例13.（12北京）已知正方形的邊長為1，點為邊上的動點，則=_的最大值為_例14.平面上三個向量、，滿足=0則的最大值為_例15

15、.已知三角形中，點是內部或邊界上一動點，是邊的中點，則的最大值為_例16.（15福建）已知，若點P是三角形所在平面內一點，且，則的最大值為_例17.（09全國）設是a,b,c單位向量，ab=0,則(a-c) (b-c)的最小值為_例18.（13湖南）已知a,b是單位向量，ab=0，若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍_例19.（11遼寧）若a,b,c單位向量，ab=0, (a-c) (b-c)，則|a+b-c|的最大值為_例20.（11全國）設向量a,b,c，滿足|a|=|b|=1, ab=,則|c|的最大值為_例21.（14安徽）在平面直角坐標系xOy中，已知a,b是單位向量，ab=0，若Q點滿足,曲線，區域，若為兩段分離的曲線，則_A. B. C. D.典型例題（三）：注意數量積與三角形面積、余弦定理、正弦定理的聯系與三角函數的聯系，與均值不等式的聯系例1.（10遼寧）平面上三點不共線，設，則的面積等于_A. B.C. D.例2.在中，則例3.（11浙江）若平面向量，以向量為鄰邊