1、2017年安徽省淮南市高考數學一模試卷（理科）（解析版）一、選擇題（共12題，每題5分，共60分）1已知集合A=x|x21，B=x|xa，若AB=B，則實數a的取值范圍是（）A（，1）B（，1C（1，+）D1，+）2若復數z滿足iz=（1+i），則z的虛部是（）AiB iCD3九章算術是我國古代數學名著，也是古代東方數學的代表作書中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為8步和15步，問其內切圓的直徑為多少步？”現若向此三角形內投豆子，則落在其內切圓內的概率是（）ABCD4閱讀如圖所示的程序框圖，則該算法的功能是（）A計算數列2n1

2、前5項的和B計算數列2n1前5項的和C計算數列2n1前6項的和D計算數列2n1前6項的和5已知函數f（x）=sin（x+）（0，0），直線x=是它的一條對稱軸，且（，0）是離該軸最近的一個對稱中心，則=（）ABCD6函數y=的圖象大致是（）ABCD7函數y=f（x）在0，2上單調遞增，且函數f（x+2）是偶函數，則下列結論成立的是（）Af（1）f（）f（）Bf（）f（1）f（）Cf（）f（）f（1）Df（）f（1）f（）8已知等差數列an，bn的前n項和分別為Sn，Tn，若對于任意的自然數n，都有=，則+=（）ABCD9設e是自然對數的底，a0且a1，b0且b1，則“loga2logbe”是“

3、0ab1”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件10已知點F1、F2是雙曲線C：=1（a0，b0）的左、右焦點，O為坐標原點，點P在雙曲線C的右支上，且滿足|F1F2|=2|OP|，|PF1|3|PF2|，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（）A（1，+）B，+）C（1，D（1，11設函數f（x）=，則滿足f（f（a）=2f（a）的a取值范圍是（）A，+）B，1C1，+）D0，112如果定義在R上的函數f（x）滿足：對于任意x1x2，都有xlf（xl）+x2f（x2）xlf（x2）+x2f（xl），則稱f（x）為“H函數”，給出下列函數：y=x3+x+l；y=3

4、x2（sinxcosx）；y=lex；f（x）=；y=其中“H函數”的個數有（）A3個B2個Cl個D0個二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13已知兩個單位向量，的夾角為60°，則|+2|=14實數x，y滿足，則的取值范圍是15若（x2a）（x+）10的展開式中x6的系數為30，則（3x2+1）dx=16已知函數f（x）=，其中m0，若存在實數b，使得關于x的方程f（x）=b有三個不同的根，則m的取值范圍是三、解答題17在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且acosC=（2bc）cosA（1）求角A的大小；（2）求cos（B）2sin2的取值范圍18數列an滿足a

5、1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），nN*（）證明：數列是等差數列；（）設bn=3n，求數列bn的前n項和Sn19某中學舉行了一次“環保知識競賽”活動為了了解本次競賽學生成績情況，從中抽取了部分學生的分數（得分取正整數，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為n）進行統計按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數的莖葉圖（圖中僅列出了得分在50，60），90，100的數據）（）求樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y的值；（）在選取的樣本中，從競賽成績是80分以上（含80分）的同學中隨機抽取3名同學到市政廣場參加環保知

6、識宣傳的志愿者活動，設表示所抽取的3名同學中得分在80，90）的學生個數，求的分布列及其數學期望20設橢圓E的方程為+y2=1（a1），O為坐標原點，直線l與橢圓E交于點A，B，M為線段AB的中點（1）若A，B分別為E的左頂點和上頂點，且OM的斜率為，求E的標準方程；（2）若a=2，且|OM|=1，求AOB面積的最大值21已知函數f（x）=xe2xlnxax（1）當a=0時，求函數f（x）在，1上的最小值；（2）若x0，不等式f（x）1恒成立，求a的取值范圍；（3）若x0，不等式f（）1e+恒成立，求a的取值范圍選修4-4：坐標系與參數方程22在平面直角坐標中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為

7、極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為sin2=2acos（a0），直線l的參數方程為（t為參數），直線l與曲線C相交于A，B兩點（1）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；（2）若|AB|=2，求a的值選修4-5：不等式選講23設函數f（x）=|xa|+5x（1）當a=1時，求不等式f（x）5x+3的解集；（2）若x1時有f（x）0，求a的取值范圍2017年安徽省淮南市高考數學一模試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12題，每題5分，共60分）1已知集合A=x|x21，B=x|xa，若AB=B，則實數a的取值范圍是（）A（，1）B（，1C（1，+）D1，+）【考點】并集及其

8、運算【分析】若AB=B可得 AB，由此求得實數a的取值范圍【解答】解：A=x|x21=1，1，B=x|xa=（，a），若AB=B，AB，a1，故選：C2若復數z滿足iz=（1+i），則z的虛部是（）AiB iCD【考點】復數代數形式的乘除運算【分析】把已知等式變形，然后利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案【解答】解：由iz=（1+i），得，z的虛部為故選：C3九章算術是我國古代數學名著，也是古代東方數學的代表作書中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為8步和15步，問其內切圓的直徑為多少步？”現若向此三角形內投豆子，則落在其內切圓

9、內的概率是（）ABCD【考點】模擬方法估計概率【分析】利用直角三角形三邊與內切圓半徑的關系求出半徑，然后分別求出三角形和內切圓的面積，根據幾何概型的概率公式即可求出所求【解答】解：由題意，直角三角形，斜邊長為17，由等面積，可得內切圓半徑r=3，向此三角形內投豆子，則落在其內切圓內的概率是=，故選C4閱讀如圖所示的程序框圖，則該算法的功能是（）A計算數列2n1前5項的和B計算數列2n1前5項的和C計算數列2n1前6項的和D計算數列2n1前6項的和【考點】程序框圖【分析】根據算法流程，依次計算運行結果，由等比數列的前n項和公式，判斷程序的功能【解答】解：由算法的流程知，第一次運行，A=2

10、5;0+1=1，i=1+1=2；第二次運行，A=2×1+1=3，i=2+1=3；第三次運行，A=2×3+1=7，i=3+1=4；第四次運行，A=2×7+1=15，i=5；第五次運行，A=2×15+1=31，i=6；第六次運行，A=2×31+1=63，i=7；滿足條件i6，終止運行，輸出A=63，A=1+2+22+25=261=641=63故選：C5已知函數f（x）=sin（x+）（0，0），直線x=是它的一條對稱軸，且（，0）是離該軸最近的一個對稱中心，則=（）ABCD【考點】正弦函數的圖象【分析】根據題意，利用求出的值，再根據函數f（x）圖象

11、過點（，0）求出的值【解答】解：根據題意， =，T=2，=1；又函數f（x）=sin（x+）（0，0）圖象過點（，0），sin（+）=0，+=k，kZ；解得=k，kZ；當k=1時，=滿足題意故選：B6函數y=的圖象大致是（）ABCD【考點】函數的圖象【分析】根據掌握函數的奇偶性和函數的單調性即可判斷【解答】解：當x0時，y=xlnx，y=1+lnx，即0x時，函數y單調遞減，當x，函數y單調遞增，因為函數y為偶函數，故選：D7函數y=f（x）在0，2上單調遞增，且函數f（x+2）是偶函數，則下列結論成立的是（）Af（1）f（）f（）Bf（）f（1）f（）Cf（）f（）f（1）Df（）f（1）f

12、（）【考點】奇偶性與單調性的綜合【分析】由已知中函數y=f（x）在0，2上單調遞增，且函數f（x+2）是偶函數，我們可得函數y=f（x）在2，4上單調遞減，且在0，4上函數y=f（x）滿足f（2x）=f（2+x），由此要比較f（），f（1），f（）的大小，可以比較f（），f（3），f（）【解答】解：函數y=f（x）在0，2上單調遞增，且函數f（x+2）是偶函數，函數y=f（x）在2，4上單調遞減且在0，4上函數y=f（x）滿足f（2x）=f（2+x）即f（1）=f（3）f（）f（3）f（）f（）f（1）f（）故選B8已知等差數列an，bn的前n項和分別為Sn，Tn，若對于任意的自然數n，都有=

13、，則+=（）ABCD【考點】等差數列的前n項和【分析】利用等差數列的通項公式性質可得： =，可得+=+，再進行轉化利用求和公式及其性質即可得出【解答】解：等差數列中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq；等差數列的前n項和為：Sn=+=+=+=故選：A9設e是自然對數的底，a0且a1，b0且b1，則“loga2logbe”是“0ab1”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】根據對數函數的性質結合充分必要條件的定義判斷即可【解答】解：a1，0b1時，“loga20，logbe0，推不出0ab1，不是充分條

14、件，0ab1時，loga2logb2logbe，是必要條件，故選：B10已知點F1、F2是雙曲線C：=1（a0，b0）的左、右焦點，O為坐標原點，點P在雙曲線C的右支上，且滿足|F1F2|=2|OP|，|PF1|3|PF2|，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（）A（1，+）B，+）C（1，D（1，【考點】雙曲線的簡單性質【分析】由直角三角形的判定定理可得PF1F2為直角三角形，且PF1PF2，運用雙曲線的定義，可得|PF1|PF2|=2a，又|PF1|3|PF2|，可得|PF2|a，再由勾股定理，即可得到ca，運用離心率公式，即可得到所求范圍【解答】解：由|F1F2|=2|OP|，可得|OP|=

15、c，即有PF1F2為直角三角形，且PF1PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，由雙曲線定義可得|PF1|PF2|=2a，又|PF1|3|PF2|，可得|PF2|a，即有（|PF2|+2a）2+|PF2|2=4c2，化為（|PF2|+a）2=2c2a2，即有2c2a24a2，可得ca，由e=可得1e，故選：C11設函數f（x）=，則滿足f（f（a）=2f（a）的a取值范圍是（）A，+）B，1C1，+）D0，1【考點】分段函數的應用【分析】令f（a）=t，則f（t）=2t，討論t1，運用導數判斷單調性，進而得到方程無解，討論t1時，以及a1，a1，由分段函數的解析式，解不等式即可

16、得到所求范圍【解答】解：令f（a）=t，則f（t）=2t，當t1時，3t1=2t，由g（t）=3t12t的導數為g（t）=32tln2，在t1時，g（t）0，g（t）在（，1）遞增，即有g（t）g（1）=0，則方程3t1=2t無解；當t1時，2t=2t成立，由f（a）1，即3a11，解得a，且a1；或a1，2a1解得a0，即為a1綜上可得a的范圍是a故選：A12如果定義在R上的函數f（x）滿足：對于任意x1x2，都有xlf（xl）+x2f（x2）xlf（x2）+x2f（xl），則稱f（x）為“H函數”，給出下列函數：y=x3+x+l；y=3x2（sinxcosx）；y=lex；f（x）=；y=

17、其中“H函數”的個數有（）A3個B2個Cl個D0個【考點】函數單調性的判斷與證明【分析】根據題意，將x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1）變形可得f（x1）f（x2）（x1x2）0，進而分析可得若函數f（x）為“H函數”，則函數f（x）為增函數或常數函數；據此依次分析所給函數的單調性，綜合可得答案【解答】解：根據題意，對于x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1），則有f（x1）（x1x2）f（x2）（x1x2）0，即f（x1）f（x2）（x1x2）0，分析可得：若函數f（x）為“H函數”，則函數f（x）為增函數或常數函數；對于、y=x3+x+l，有y=

18、3x2+l，不是增函數也不是常數函數，則其不是“H函數”，對于、y=3x2（sinxcosx）；有y=32（sinx+cosx）=32sin（x+），有y0，y=3x2（sinxcosx）為增函數，則其是“H函數”，對于、y=lex=ex+1，是減函數，則其不是“H函數”，對于、f（x）=，當x1時是常數函數，當x1時是增函數，則其是“H函數”，對于、y=，當x0時，y=，當x1和x1時，函數為減函數，故其不是增函數也不是常數函數，則其不是“H函數”，綜合可得：有2個是“H函數”，故選：B二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13已知兩個單位向量，的夾角為60°，則|+2|=【

19、考點】平面向量數量積的運算【分析】根據平面向量數量積的定義與模長公式，求出結果即可【解答】解：兩個單位向量，的夾角為60°，=1×1×cos60°=，=+4+4=1+4×+4×1=7，|+2|=故答案為：14實數x，y滿足，則的取值范圍是【考點】簡單線性規劃【分析】作出不等式組對應的平面區域，設k=，利用目標函數的幾何意義，求k的最值即可【解答】解：設k=，則k的幾何意義為過原點的直線的斜率：作出不等式組對應的平面區域如圖（陰影部分ABC）：則由圖象可知，過原點的直線y=kx，當直線y=kx，經過點A時，直線的斜率k最小，當經過點A時

20、，直線的斜率k最大，由，解得A（2，2），此時k=1由，解得B（3，1），此時k=，直線y=kx的斜率k的取值范圍是k1，故答案為：15若（x2a）（x+）10的展開式中x6的系數為30，則（3x2+1）dx=10【考點】二項式定理的應用；定積分【分析】根據題意求出（x+）10展開式中含x4項、x6項的系數，得出（x2a）（x+）10的展開式中x6的系數，再列出方程求出a的值，利用定積分求出結論【解答】解：（x+）10展開式的通項公式為：Tr+1=x10rxr=x102r；令102r=4，解得r=3，所以x4項的系數為；令102r=6，解得r=2，所以x6項的系數為；所以（x2a）（x+）10

21、的展開式中x6的系數為：a=30，解得a=2（3x2+1）dx=10故答案為1016已知函數f（x）=，其中m0，若存在實數b，使得關于x的方程f（x）=b有三個不同的根，則m的取值范圍是（3，+）【考點】根的存在性及根的個數判斷【分析】作出函數f（x）=的圖象，依題意，可得4mm2m（m0），解之即可【解答】解：當m0時，函數f（x）=的圖象如下：xm時，f（x）=x22mx+4m=（xm）2+4mm24mm2，y要使得關于x的方程f（x）=b有三個不同的根，必須4mm2m（m0），即m23m（m0），解得m3，m的取值范圍是（3，+），故答案為：（3，+）三、解答題17在ABC中，角A，B

22、，C的對邊分別是a，b，c，且acosC=（2bc）cosA（1）求角A的大小；（2）求cos（B）2sin2的取值范圍【考點】正弦定理【分析】（）由正弦定理化簡等式整理可得sinB=2sinBcosA，又sinB0，可求，結合A為內角即可求得A的值（）由三角函數恒等變換化簡已知可得sin（B）1，由可求B的范圍，從而可求，即可得解【解答】解：（）由正弦定理可得，從而可得，即sinB=2sinBcosA，又B為三角形的內角，所以sinB0，于是，又A亦為三角形內角，因此，（），=，=，由可知，所以，從而，因此，故的取值范圍為18數列an滿足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n

23、N*（）證明：數列是等差數列；（）設bn=3n，求數列bn的前n項和Sn【考點】數列的求和；等比關系的確定【分析】（）將nan+1=（n+1）an+n（n+1）的兩邊同除以n（n+1）得，由等差數列的定義得證（）由（）求出bn=3n=n3n，利用錯位相減求出數列bn的前n項和Sn【解答】證明（）nan+1=（n+1）an+n（n+1），數列是以1為首項，以1為公差的等差數列；（）由（）知，bn=3n=n3n，3n1+n3n3n+n3n+1得3nn3n+1=19某中學舉行了一次“環保知識競賽”活動為了了解本次競賽學生成績情況，從中抽取了部分學生的分數（得分取正整數，滿分為100分）作為樣本（樣本

24、容量為n）進行統計按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數的莖葉圖（圖中僅列出了得分在50，60），90，100的數據）（）求樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y的值；（）在選取的樣本中，從競賽成績是80分以上（含80分）的同學中隨機抽取3名同學到市政廣場參加環保知識宣傳的志愿者活動，設表示所抽取的3名同學中得分在80，90）的學生個數，求的分布列及其數學期望【考點】離散型隨機變量的期望與方差；頻率分布直方圖【分析】（）根據莖葉圖可得50，60），總共有8人，結合頻率分布直方圖，可求樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y的值；（

25、）由題意可知，分數在80，90）有5人，分數在90，100）有2人，共7人抽取的3名同學中得分在80，90）的學生個數的可能取值為1，2，3，求出相應的概率，即可求的分布列及其數學期望【解答】解：（）由題意可知，樣本容量，x=0.10.0040.0100.0160.04=0.030（）由題意可知，分數在80，90）有5人，分數在90，100）有2人，共7人抽取的3名同學中得分在80，90）的學生個數的可能取值為1，2，3，則，所以，的分布列為123P所以，20設橢圓E的方程為+y2=1（a1），O為坐標原點，直線l與橢圓E交于點A，B，M為線段AB的中點（1）若A，B分別為E的左頂點和上頂點，

26、且OM的斜率為，求E的標準方程；（2）若a=2，且|OM|=1，求AOB面積的最大值【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題【分析】（1）將A和B代入橢圓方程，做差求得，由斜率公式可知kAB=，即可求得a的值，求得E的標準方程；（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理及中點坐標公式，即可求得M點坐標，由|OM|=1，可得n2=，由三角形面積公式可知：，t=m2+4（t4），代入由基本不等式的性質即可求得AOB面積的最大值【解答】解：（1）設M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），則，兩式相減，得，即，又，代入化簡，解得a=2，故E的標準方程為；（2）設直線l：x=my+n，A（x1，y1

27、），B（x2，y2），整理得：（4+m2）y2+3mny+n24=0y1+y2=，y1y2=，x1+x2=，由中點坐標公式可知：M（，），即M（，）|OM|=1，n2=，設直線l與x軸的交點為D（n，0），則，令，設t=m2+4（t4），則，當t=12時，即時，AOB的面積取得最大值121已知函數f（x）=xe2xlnxax（1）當a=0時，求函數f（x）在，1上的最小值；（2）若x0，不等式f（x）1恒成立，求a的取值范圍；（3）若x0，不等式f（）1e+恒成立，求a的取值范圍【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性【分析】（1）a=0時，由此利用導數性質能求出函數f（

28、x）在，1上的最小值（2），函數f（x）在區間（0，x0）上遞減，在（x0，+）上遞增，由x0，不等式f（x）1恒成立，得lnx0+2x020，由此能求出a的取值范圍（3）由f（）1，得a對任意x0成立，令函數g（x）=xlnxx，則，由此利用導數性質能求出a的取值范圍【解答】解：（1）a=0時，f（x）=xe2xlnx，函數f（x）在（0，+）上是增函數，又函數f（x）的值域為R，故x00，使得f（x0）=（2x0+1）e=0，又，所以當x時，f（x）0，即函數f（x）在區間，1上遞增，所以（2），由（1）知函數f（x）在（0，+）上是增函數，且x00，使得f（x0）=0，進而函數f（x）在區間（0，x0）上遞減，在（x0，+）上遞增，lnx0ax0，由f（x0）=0，得：（2x0+1）ea=0，f（x0）=1lnx02x02，x0，不等式f（x）1恒成立，1lnx02x02e1，lnx0+2x020，