1、矩陣函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 Matrix function Calculus and its application 彭雪嬌 歐傅群 嶺南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湛江524048摘 要：矩陣函數(shù)理論是矩陣?yán)碚撝械囊粋€重要組成部分。矩陣函數(shù)把對矩陣的研究帶入了分析領(lǐng)域，同時也解決了數(shù)學(xué)領(lǐng)域及工程技術(shù)等其他領(lǐng)域的計算難題。本文從多項式和冪級數(shù)兩個方面給出了矩陣函數(shù)的兩種定義方式，從定義出發(fā)推導(dǎo)了若干性質(zhì)及其矩陣函數(shù)的求法，在計算中根據(jù)適當(dāng)?shù)那闆r進行選擇，起到事倍功半的作用。在文章的末尾會簡述矩陣函數(shù)的應(yīng)用。 Abstract: Matrix function to the field of res

2、earch into the analysis of the matrix,but also solved the calculation in the field of mathematics and engineering technology,and other problems.In this paper,from two aspects of polynomial and exponential matrix function to two types of definitions are given,starting from the definition to some prop

3、erties and several cases of matrix function,the application of minimal polynomial to undertake choosing according to appropriate in the calculation,have the effect of the wasted effort.At the end of the article will briefly describes the application of matrix function.關(guān)鍵詞：矩陣函數(shù);微分方程;標(biāo)準(zhǔn)型Keywords:matri

4、x function;the differential equation; Jordan canonical form1 引言矩陣函數(shù)定義的引出把矩陣?yán)碚撗由斓椒治龅念I(lǐng)域，從而使得對矩陣的研究又提升了一個新的層次，增加了新的手段，同時也使矩陣?yán)碚撛跀?shù)學(xué)，物理，工程技術(shù)等許多領(lǐng)域有了新的應(yīng)用。為了討論方便，給出以下定義和引理：定義1.1設(shè)的最小多項式為，則稱集合為的譜，記為.定義1.2 設(shè)的最小多項式為，稱為函數(shù)在上的的譜值。記為.定義1.3 設(shè)是一個矩陣序列，如果由它的部分和矩陣構(gòu)成的矩陣序列收斂，則稱矩陣級數(shù)收斂，否則成發(fā)散。定義1.4 設(shè)，稱為矩陣A的冪級數(shù)，記為.引理1 設(shè)和是

5、兩個復(fù)系數(shù)的多項式，則的充要條件是和在的譜上有相同的值.引理2 設(shè)是s個互不相同的復(fù)數(shù)，是s個正整數(shù)，那么對任意給定的m個復(fù)數(shù)必存在唯一的次數(shù)不超過m-1的多項式，使得2 矩陣函數(shù)的相關(guān)概念及其性質(zhì)2.1 矩陣函數(shù)的定義正如微積分學(xué)的冪級數(shù)理論一樣，在矩陣分析中通常用矩陣冪級數(shù)表示矩陣函數(shù)。下面給出的是利用冪級數(shù)定義矩陣函數(shù)。定義2.1.1設(shè)是復(fù)變量的解析函數(shù)， 的收斂半徑為R，如果矩陣的譜半徑，則稱為的矩陣函數(shù)。利用前言給出的兩個引理，現(xiàn)在我們可以給出矩陣函數(shù)的多項式定義。定義2.1.2 設(shè)在的譜上有定義，我們定義，其中是一個在的譜上與有相同取值的復(fù)系數(shù)多項式。2.2 矩陣函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1

6、設(shè)，證明 設(shè)矩陣多項式為于是 證畢。性質(zhì)2 函數(shù)和（或差）的矩陣等于矩陣函數(shù)的和（或差），即。性質(zhì)3 函數(shù)積的矩陣函數(shù)等于矩陣函數(shù)的積，即。性質(zhì)4 若有可逆矩陣T,使,則。性質(zhì)5 設(shè)A是對稱矩陣，函數(shù)在上有定義，則是對稱矩陣。性質(zhì)6 設(shè)A是實對稱矩陣，實函數(shù)在上有定義，且對A的任一特征值，有，則是正定矩陣。證明 由是實函數(shù)，是實對稱矩陣，又因為的特征值為，其中是A的特征值，所以是正定矩陣。證畢。 下面給出一些常用的矩陣函數(shù)的基本性質(zhì)： 2.3 常用矩陣函數(shù)的性質(zhì)在這里主要是介紹以下幾種常用的矩陣函數(shù)， 分別稱為矩陣的指數(shù)函數(shù)，矩陣的正弦函數(shù)，矩陣的余弦函數(shù)。 定理2.3.1 對任意，證明 （1

7、）按照和的定義直接驗證即可。（2）根據(jù)的定義，可得 同理，可得.從而有成立。證畢。這個性質(zhì)和普通的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)性質(zhì)相同。但由于矩陣的乘法不滿足交換律，因此有一些一般函數(shù)滿足的性質(zhì)，對于矩陣函數(shù)不一定滿足。例如：若，則上述公式可能不成立。如(3),(4)在此不作證明。定理2.3.2 設(shè),若,則有證明 （1）根據(jù)的定義，有（2）由定理2.3.1，可得 同理，可以證明（3）。證畢。 根據(jù)定理2.3.2，很容易得到下面結(jié)論：推論2.3.1 由于很多矩陣函數(shù)都是利用級數(shù)的形式來定義的，在實際應(yīng)用時非常不方便，因此更希望將所表示的矩陣具體計算出來，下面主要介紹矩陣函數(shù)的中常用的計算方法。3 矩陣函數(shù)

8、的計算3.利用Hamilton-Cayley 定理計算矩陣函數(shù)利用Hamilton-Cayley 定理計算矩陣函數(shù)基本思想是：利用Hamilton-Cayley 定理找出矩陣方冪之間的關(guān)系，然后化簡矩陣冪級數(shù)，從而求出矩陣函數(shù)。定理（Hamilton-Cayley 定理）設(shè)，則例3.1 已知四階矩陣的特征值分別為、0、0，求、.解： 由于,根據(jù)Hamilton-Cayley 定理可得,從而有 因此， 3.2 利用相似對角化計算矩陣函數(shù)設(shè)與對角矩陣相似，即存在矩陣，使得則有同理，可得。例3.2 已知，求、.解： 由于，容易求得存在使得 因此有 . 這種方法的前提是矩陣A能對角化，但事實上有許多矩

9、陣是不能對角化的。由于任意矩陣一定可以通過相似變換成一個Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，因此下面介紹利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)型來計算矩陣函數(shù)的方法。3.3 利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)型來計算矩陣函數(shù)定義3.3.1 形如 （1.1）的方陣稱為階塊，。定義3.3.2 設(shè)為形如（1.1）的塊，則稱塊對角矩陣 (1,.2)為標(biāo)準(zhǔn)型。利用Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型可得到式中其中 .例3.3 已知求、.解： 可以求得存在使得因此 從而有 這種方法需要計算矩陣A的Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型及相似變換矩陣P，計算量是比較大的。下面介紹一種計算量比較小的待定系數(shù)法。3.4 利用待定系數(shù)法求矩陣函數(shù)設(shè)n階方陣其特征多項式為式中：為A的s個互異特征

10、值;為特征值的重數(shù)，且有。 為計算矩陣函數(shù)，記 ，則可表示為式中：為一個含參數(shù)t的的冪級數(shù)；為含參數(shù)t的關(guān)于的次數(shù)不超過n-1的多項式，即可表示為 由Hamilton-Cayley 定理可知，因此可見，只需要計算出系數(shù)即可得到.對于A的重特征值，有從而這樣共得到個方程，從中求解得到系數(shù)。例3.4 已知，求、。解：由于.假設(shè)由求解得到因此由求解得到因此。 這一章主要介紹了四種求矩陣函數(shù)的方法，對不同的矩陣可以選擇一種方法使得計算更簡。一般來說，當(dāng)一個矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)型分解容易計算時用第三種方法求矩陣函數(shù)往往方便些，當(dāng)一個矩陣可以對角化時用第二種方法簡便些。否則用其他兩種方法好些。4 矩陣函數(shù)

11、的應(yīng)用4.1 矩陣函數(shù)在微分方程組中的應(yīng)用在線性控制系統(tǒng)中，常常涉及求解線性方程組的問題。矩陣函數(shù)在其中有著重要的應(yīng)用。4.1.1 應(yīng)用矩陣函數(shù)討論一階線性常系數(shù)齊次微分方程組的定解問題定理4.1.1 一階線性常系數(shù)微分方程組的定解問題有唯一解證明 設(shè)是方程（1）的解。將在處展開成冪級數(shù)。 則有,其中， 但由 ，逐步求導(dǎo)可得 因而 所以由此可見，微分方程組（1）在給定初始條件（2）下的解必定具有的形式。下面我們來證明它確實是解問題（1）和(2)的解。事實上，又當(dāng)t=0時， 因此這個解是滿足初始條件的。推論4.1.1 定解問題 的唯一解是.例4.1.1 解初值問題 其中. 解A的初等因子是 則A

12、的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型是可以求出滿秩矩陣使得 .4.1.2 應(yīng)用矩陣函數(shù)討論一階線性常系數(shù)非齊次微分方程組的定解問題現(xiàn)在我們考慮一階線性常系數(shù)非齊次微分方程組的定解問題 這里是已知向量函數(shù) 。這個問題理論上的詳細推導(dǎo)是很繁瑣且前面有很多相似之處，所以不詳細寫出。只就問題的解，做形式上的推導(dǎo)，目的是為了讓讀者知道此問題解的到處過程。改寫方程為并以左乘方程兩邊，即得即在上進行積分，可得 即.例4.1.2 求初值問題其中解 已經(jīng)在例4.3.1中計算出，故于是 . 4.2 矩陣函數(shù)在求解矩陣方程中時的應(yīng)用 我們無論是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的理論推導(dǎo)中，還是在工程技術(shù)領(lǐng)域中，經(jīng)常會遇到求解矩陣方程非問題。在這里我們討

13、論了一下矩陣函數(shù)在矩陣方程的應(yīng)用。 矩陣代數(shù)方程 形如AX=BX=C(1)的矩陣代數(shù)方程的求解。其中與是已知數(shù)字矩陣，是未知數(shù)字矩陣。 定理4.2.1 方程（1）有唯一解的充分必要條件是A與B滿足 其中表示A的第i個特征值，表示第j個特征值。 推論4.2.1 矩陣代數(shù)方程AX=BX=0(3)有非零解的充分必要條件是對某一個i與j有. 推論4.2.1 若 ,則AX=BX=C有唯一解。 證明 因為A的所有特征值的實部全小于零，所以A的任何兩個特征值之和不會等于零，根據(jù)定理4.2.1 可知方程（1）有唯一解。通過上面的討論，我們已經(jīng)知道方程（3） 及其特例的解的存在，唯一性的判別方法，下面我們來具體

14、討論它的解。定理4.2.2 若表達式 存在，則它是方程AX=BX=C的唯一解。證明 考慮方程它的解為 設(shè) ,對AX=BX=C兩邊從0到 的積分，便得 即,令,上式變?yōu)锳X=BX=C，這表明是滿足方程AX=BX=C的唯一解。4.3 矩陣函數(shù)在現(xiàn)代控制理論中的應(yīng)用 在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的眾多領(lǐng)域中，自動控制技術(shù)起著越來越重要的作用。隨著科技的發(fā)展，自動控制理論跨入了一個新的階段-現(xiàn)代控制理論。它主要研究具有高性能、高精度的多變量便參數(shù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題，而研究多變量系統(tǒng)的主要工具是矩陣?yán)碚摗Ｒ虼耍仃嚴(yán)碚摷捌渚仃嚭瘮?shù)理論在現(xiàn)代控制理論中有著廣泛而重要的應(yīng)用。 我們這里只討論矩陣函數(shù)在線性系統(tǒng)的可控性的應(yīng)

15、用。 一般來說，如果系統(tǒng)所有狀態(tài)變量的運動都可以由輸入來影響和控制而由任意初態(tài)達到原點，則系統(tǒng)是可控的。反之，為不可控。下面我們只就連續(xù)型的線性定常系統(tǒng)進行討論。這系統(tǒng)其中A,B,C,D均為常數(shù)矩陣。系統(tǒng)矩陣A是n×n矩陣，輸入矩陣B是n×md的矩陣，輸出矩陣C是p×n的，又矩陣D是 p×m的。狀態(tài)向量x(t)是n維列向量，輸入向量u(t)輸出向量y(t)分別是m維，P維列向量。這個系統(tǒng)簡稱為系統(tǒng)（A,B,C）. 定義4.3.1 對于一個線性定常系統(tǒng)，若在某個有限時間區(qū) 內(nèi)存在著輸入 ,能使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到,則稱此狀態(tài)是可控的；若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是可控的，則稱此系統(tǒng)是完全可控的。定理4.3.1 系統(tǒng)（A,B,C）完全能控的充要條件是n階對稱矩陣 為非奇異矩陣。參考文獻1張躍輝.矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用M.北京：科學(xué)出版社.20112劉慧，袁文燕。姜冬青.矩陣論及應(yīng)用M.北京：化學(xué)工業(yè)出版社.20033蘇育才，姜翠波，張躍輝.矩陣?yán)碚揗.北京：科學(xué)出版社.20064Horn R A,Johnson C R.矩陣分析M.楊奇譯.北京：機械工業(yè)出版社.20055朱元國，饒玲，嚴(yán)濤，