福建省莆田市仙游縣郊尾中學2025屆高三下學期第一次調研考試數學試題試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數z，則復數z的虛部為（）A． B． C．i D．i2．如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積為（）A． B． C． D．3．（）A． B． C． D．4．在展開式中的常數項為A．1 B．2 C．3 D．75．設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點，點與點關于軸對稱，為坐標原點，若，且，則點的軌跡方程是（）A． B．C． D．6．如圖，在正方體中，已知、、分別是線段上的點，且.則下列直線與平面平行的是（）A． B． C． D．7．設為拋物線的焦點，，，為拋物線上三點，若，則（）.A．9 B．6 C． D．8．若函數在時取得最小值，則（）A． B． C． D．9．已知，，，則（）A． B．C． D．10．如圖在直角坐標系中，過原點作曲線的切線，切點為，過點分別作、軸的垂線，垂足分別為、，在矩形中隨機選取一點，則它在陰影部分的概率為（）A． B． C． D．11．以下四個命題：①兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近1；②在回歸分析中，可用相關指數的值判斷擬合效果，越小，模型的擬合效果越好；③若數據的方差為1，則的方差為4；④已知一組具有線性相關關系的數據，其線性回歸方程，則“滿足線性回歸方程”是“，”的充要條件；其中真命題的個數為()A．4 B．3 C．2 D．112．已知在平面直角坐標系中，圓：與圓：交于，兩點，若，則實數的值為（）A．1 B．2 C．-1 D．-2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．給出下列四個命題，其中正確命題的序號是_____．（寫出所有正確命題的序號）因為所以不是函數的周期；對于定義在上的函數若則函數不是偶函數；“”是“”成立的充分必要條件；若實數滿足則．14．數列的前項和為，則數列的前項和_____．15．四面體中，底面，，，則四面體的外接球的表面積為______16．已知拋物線的焦點為，斜率為的直線過且與拋物線交于兩點，為坐標原點，若在第一象限，那么_______________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓過點且橢圓的左、右焦點與短軸的端點構成的四邊形的面積為.（1）求橢圓C的標準方程：（2）設A是橢圓的左頂點，過右焦點F的直線，與橢圓交于P，Q，直線AP，AQ與直線交于M，N，線段MN的中點為E.①求證：；②記，，的面積分別為、、，求證：為定值.18．（12分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）設直線交橢圓于兩點，線段的中點在直線上，求證：線段的中垂線恒過定點.19．（12分）如圖，已知三棱柱中，與是全等的等邊三角形.（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值．20．（12分）市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張提供了兩種貸款方式.①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每個月的還款額均相同.銀行規定，在貸款到賬日的次月當天開始首次還款（若2019年7月7日貸款到賬，則2019年8月7日首次還款）.已知小張該筆貸款年限為20年，月利率為0.004.（1）若小張采取等額本金的還款方式，現已得知第一個還款月應還4900元，最后一個還款月應還2510元，試計算小張該筆貸款的總利息；（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半，已知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張該筆貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）；（3）對比兩種還款方式，從經濟利益的角度來考慮，小張應選擇哪種還款方式.參考數據：.21．（12分）超級病菌是一種耐藥性細菌，產生超級細菌的主要原因是用于抵抗細菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現象不斷的發生，很多致病菌也對相應的抗生素產生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒、痙攣、昏迷直到最后死亡.某藥物研究所為篩查某種超級細菌，需要檢驗血液是否為陽性，現有n（）份血液樣本，每個樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗n次；（2）混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為次，假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（）.（1）假設有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；（2）現取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為.（i）試運用概率統計的知識，若，試求p關于k的函數關系式；（ii）若，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數期望值更少，求k的最大值.參考數據：，，，，22．（10分）已知函數，.（1）求證：在區間上有且僅有一個零點，且；（2）若當時，不等式恒成立，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

利用復數的運算法則、虛部的定義即可得出【詳解】，則復數z的虛部為.故選：B.本題考查了復數的運算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.2．A【解析】

由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1，圓柱的底面半徑為1，高為1．再由球與圓柱體積公式求解．【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1，圓柱的底面半徑為1，高為1．則幾何體的體積為．故選：．本題主要考查由三視圖求面積、體積，關鍵是由三視圖還原原幾何體，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．3．D【解析】

利用，根據誘導公式進行化簡，可得，然后利用兩角差的正弦定理，可得結果.【詳解】由所以，所以原式所以原式故故選：D本題考查誘導公式以及兩角差的正弦公式，關鍵在于掌握公式，屬基礎題.4．D【解析】

求出展開項中的常數項及含的項，問題得解。【詳解】展開項中的常數項及含的項分別為：,，所以展開式中的常數項為：.故選：D本題主要考查了二項式定理中展開式的通項公式及轉化思想，考查計算能力，屬于基礎題。5．A【解析】

設坐標，根據向量坐標運算表示出，從而可利用表示出；由坐標運算表示出，代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設，，其中，，即關于軸對稱故選：本題考查動點軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標運算、數量積運算；關鍵是利用動點坐標表示出變量，根據平面向量數量積的坐標運算可整理得軌跡方程.6．B【解析】

連接，使交于點，連接、，可證四邊形為平行四邊形，可得，利用線面平行的判定定理即可得解．【詳解】如圖，連接，使交于點，連接、，則為的中點，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，且，、分別為、的中點，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，因此，平面.故選：B.本題主要考查了線面平行的判定，考查了推理論證能力和空間想象能力，屬于中檔題．7．C【解析】

設，，，由可得，利用定義將用表示即可.【詳解】設，，，由及，得，故，所以.故選：C.本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問題，考查學生等價轉化的能力，是一道容易題.8．D【解析】

利用輔助角公式化簡的解析式，再根據正弦函數的最值，求得在函數取得最小值時的值．【詳解】解：，其中，，，故當，即時，函數取最小值，所以，故選：D本題主要考查輔助角公式，正弦函數的最值的應用，屬于基礎題．9．C【解析】

利用二倍角公式,和同角三角函數的商數關系式,化簡可得,即可求得結果.【詳解】，所以，即.故選:C.本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應用和弦化切化簡三角函數,難度較易.10．A【解析】

設所求切線的方程為，聯立，消去得出關于的方程，可得出，求出的值，進而求得切點的坐標，利用定積分求出陰影部分區域的面積，然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設所求切線的方程為，則，聯立，消去得①，由，解得，方程①為，解得，則點，所以，陰影部分區域的面積為，矩形的面積為，因此，所求概率為.故選：A.本題考查定積分的計算以及幾何概型，同時也涉及了二次函數的切線方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.11．C【解析】

①根據線性相關性與r的關系進行判斷,

②根據相關指數的值的性質進行判斷,

③根據方差關系進行判斷,

④根據點滿足回歸直線方程，但點不一定就是這一組數據的中心點，而回歸直線必過樣本中心點，可進行判斷.【詳解】①若兩個隨機變量的線性相關性越強,則相關系數r的絕對值越接近于1,故①正確;

②用相關指數的值判斷模型的擬合效果,越大,模型的擬合效果越好,故②錯誤;

③若統計數據的方差為1,則的方差為,故③正確;

④因為點滿足回歸直線方程，但點不一定就是這一組數據的中心點，即，不一定成立，而回歸直線必過樣本中心點，所以當，時，點必滿足線性回歸方程；因此“滿足線性回歸方程”是“，”必要不充分條件.故④錯誤;

所以正確的命題有①③.

故選：C.本題考查兩個隨機變量的相關性，擬合性檢驗，兩個線性相關的變量間的方差的關系，以及兩個變量的線性回歸方程，注意理解每一個量的定義，屬于基礎題.12．D【解析】

由可得，O在AB的中垂線上，結合圓的性質可知O在兩個圓心的連線上，從而可求.【詳解】因為，所以O在AB的中垂線上，即O在兩個圓心的連線上，，，三點共線，所以，得，故選D.本題主要考查圓的性質應用，幾何性質的轉化是求解的捷徑.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

對①,根據周期的定義判定即可.對②,根據偶函數滿足的性質判定即可.對③,舉出反例判定即可.對④,求解不等式再判定即可.【詳解】解：因為當時,所以由周期函數的定義知不是函數的周期,故正確；對于定義在上的函數,若,由偶函數的定義知函數不是偶函數,故正確；當時不滿足則“”不是“”成立的充分不必要條件,故錯誤；若實數滿足則所以成立,故正確．正確命題的序號是．故答案為：．本題主要考查了命題真假的判定,屬于基礎題.14．【解析】

解：兩式作差，得，經過檢驗得出數列的通項公式，進而求得的通項公式，裂項相消求和即可．【詳解】解：兩式作差，得化簡得，檢驗：當n=1時，，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列；，，令故填：．本題考查求數列的通項公式，裂項相消求數列的前n項和，解題過程中需要注意n的范圍以及對特殊項的討論，側重考查運算能力．15．【解析】

由題意畫出圖形，補形為長方體，求其對角線長，可得四面體外接球的半徑，則表面積可求．【詳解】解：如圖，在四面體中，底面，，，可得，補形為長方體，則過一個頂點的三條棱長分別為1，1，，則長方體的對角線長為，則三棱錐的外接球的半徑為1．其表面積為．故答案為：．本題考查多面體外接球表面積的求法，補形是關鍵，屬于中檔題．16．2【解析】

如圖所示，先證明，再利用拋物線的定義和相似得到.【詳解】由題得,.因為.所以,過點A、B分別作準線的垂線，垂足分別為M，N，過點B作于點E,設|BF|=m，|AF|=n，則|BN|=m，|AM|=n，所以|AE|=n-m，因為,所以|AB|=3(n-m)，所以3(n-m)=n+m，所以.所以.故答案為：2本題主要考查直線和拋物線的位置關系，考查拋物線的定義，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）①證明見解析；②證明見解析【解析】

（1）解方程即可；（2）①設直線，，，將點的坐標用表示，證明即可；②分別用表示，，的面積即可.【詳解】（1）解之得：的標準方程為：（2）①，，設直線代入橢圓方程：設，，，直線，直線，，，，，.②，所以.本題考查了直接法求橢圓的標準方程、直線與橢圓位置關系中的定值問題，在處理此類問題一般要涉及根與系數的關系，本題思路簡單，但計算量比較大，是一道有一定難度的題.18．（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）把點代入橢圓方程，結合離心率得到關于的方程，解方程即可；（Ⅱ）聯立直線與橢圓方程得到關于的一元二次方程，利用韋達定理和中垂線的定義求出線段的中垂線方程即可證明.【詳解】（Ⅰ）由已知橢圓過點得，，又，得，所以，即橢圓方程為.（Ⅱ）證明：由，得，由，得，由韋達定理可得，，設的中點為，得，即，，的中垂線方程為，即，故得中垂線恒過點.本題考查橢圓的標準方程及其幾何性質、直線與橢圓的位置關系及橢圓中的定值問題；考查運算求解能力和知識的綜合運用能力；正確求出橢圓方程和利用中垂線的定義正確表示出中垂線方程是求解本題的關鍵;屬于中檔題.19．（1）證明見解析；（2）．【解析】

（1）取BC的中點O，則，由是等邊三角形，得，從而得到平面，由此能證明（2）以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到結果.【詳解】（1）取BC的中點O，連接，，由于與是等邊三角形，所以有，，且，所以平面，平面，所以．（2）設，是全等的等邊三角形，所以，又，由余弦定理可得，在中，有，所以以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，設平面的一個法向量為，則，令，則，又平面的一個法向量為，所以二面角的余弦值為,即二面角的余弦值為．該題考查的是有關立體幾何的問題，涉及到的知識點有利用線面垂直證明線性垂直，利用向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題目.20．（1）289200元；（2）能夠獲批；（3）應選擇等額本金還款方式【解析】

（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構成一個等差數列，即可由等差數列的前n項和公式求得其還款總額，減去本金即為還款的利息；（2）根據題意，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數列，設小張每月還款額為元，由等比數列求和公式及參考數據，即可求得其還款額，與收入的一半比較即可判斷；（3）計算出等額本息還款方式時所付出的總利息，兩個利息比較即可判斷.【詳解】（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構成一個等差數列，記為，表示數列的前項和，則，，則，故小張該筆貸款的總利息為元.（2）設小張每月還款額為元，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數列，則，所以，即，因為，所以小張該筆貸款能夠獲批.（3）小張采取等額本息貸款方式的總利息為：，因為，所以從經濟利益的角度來考慮，小張應選擇等額本金還款方式.本題考查了等差數列與等比數列求和公式的綜合應用，數列在實際問題中的應用，理解題意是解決問題的關鍵，屬于中檔題.21．（1）（2）（i）（，且）.（ii）最