1、冒新課標(HK)數學九年級下冊雰密:食拓第二章二次函數4二次函數的應用第1課時最大面積是多少備課素材助力課堂 1影顯您的令性，給課堂添彰!匚情景導入 匚置疑導入 匚歸納導入復習導入 匚類比導入匚懸念激趣情景導入 隨著經濟和人口的發展， 城市用地已經越來越少了， 黃金地段更是寸土寸 金，所以有效利用土地資源極具研究價值，某開發商計劃開發一塊三角形土地，它的底邊長 100米，高80米開發商要沿著底邊修一座底面是矩形的大樓，這座大樓地基的最大面積是 多少？has I IM圖 2- 4- 1要解決這些實際問題，實際上就是求面積最大的問題，在數學中也就是求最大值的問 題.我們看能否用已學過的數學知識來解

2、決以上問題，因此本節課我們將繼續利用二次函數 解決實際問題最大面積問題.說明與建議說明：通過實際情景設置懸念，引入新課學習本節課所用的基本知識點 是求二次函數的最值， 讓學生親身實踐探究， 培養學生思維的縝密性， 滲透函數思想.建議： 在學生操作時，教師要引導學生進行思考、分析，為進一步學習積累數學活動經驗.復習導入 師：二次函數圖象的頂點坐標有幾種求法？生：1配方法；2公式法.師：對于二次函數 y= x2 + 4x.(1) 圖象形狀：拋物線_,開口方向: 向下.(2) 頂點坐標：_(2, 4)_，對稱軸： 直線x = 2_ .(3) 當x = _2時，y有最大值，是_4_. 生：口答.說明與

3、建議說明：引導學生復習前面所學過的內容，由于學習本節課所用的基本知識 點是求二次函數的最值，因此師生共同復習二次函數最值的求法以及二次函數的性質，為本 節課的學習做好準備.建議：讓學生理解完全平方式，并能熟練將一個二次三項式配方成完 全平方式.素材二教材母題挖掘教材母題 教材第46頁例1例 某建筑物的窗戶如圖 2 42所示，它的上半部分是半圓，下半部分是矩形，制造 窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和)為15 m.當x等于多少時，窗戶通過的光線最多？(結版權均屬于北京全品文化發展有限公司，未經本公司授權不得轉載、摘編或利用其他方式1使用上述作品。否則，追究轉載人及轉載媒體的法律責任。冒新課標(

4、HK)數學九年級下冊果精確到0.01 m)此時，窗戶的面積是多少？(結果精確到0.01 m版權均屬于北京全品文化發展有限公司，未經本公司授權不得轉載、摘編或利用其他方式 使用上述作品。否則，追究轉載人及轉載媒體的法律責任。)人642A.25 m2.如圖CD，DA 上,的最大面積為_,2_B圖 2 4 3圖 2 4 43 課外植物小組準備利用學校倉庫旁的一塊空地開辟花圃 用長為17米的倉庫墻面，三面利用長為32米的舊圍欄，設寬為(1) 當花圃面積為120平方米時，求花圃的長和寬；(2) 當寬x為多少時，面積最大？解：(1)y = x(32 2x) = 120,解得 X1= 6, X2= 10.又

5、當 X1= 6 時，32 2x = 20>17(舍去),當 x2= 10 時，32 2x = 12V 17 , x = 10.即當花圃面積為120平方米時，花圃的長為12米，寬為10 米.(2)y = x(32 2x) = 2x2+ 32x = 2(x 8)2+ 128,當寬為8米時，面積最大，最大面積為4.如圖 2 4 6,CF, CE在兩直角邊上，最大是多少？圖 2 4 5(如圖2 4 5)，打算一面利 x，面積為y.128平方米.在 Rt ABC 中，AC = 3 cm, BC = 4 cm,四邊形 CFDE 設矩形的一邊 CF= x cm.當x取何值時，矩形 ECFD為矩形，其中

6、的面積最大？B【模型建立】用二次函數解決與面積有關的實際問題，圖形的面積公式常作為得到函數表達式的依 據利用函數解決面積問題要理解題意，把握用到的相應面積公式，列出函數關系式，通過 配方成頂點式，在取值范圍內得到最值.【變式變形】1用長8 m的鋁合金條制成如圖 2 43所示形狀的矩形窗框，使窗戶的透光面積最 大，那么這個窗戶的最大透光面積是(C)42- 822B.§ m C.3 m D. 4 m 2- 4 4，矩形 ABCD 中，AB = 3, BC = 1，點 E, F, G , H 分別在 AB , BC, 設 EB = BF = GD = DH = x，則四邊形 EFGH解：由

7、題意易知AED ACB , AC = DC，即晉=4,解得 AE = x. EC = 3 設矩形的面積為 y cm2,則y= EC-CF，即y = 3x2+ 3x.當x= 2時，y最大=3 cm24冒新課標(HK)數學九年級下冊素材三考情考向分析命題角度1利用二次函數的性質解決圖形面積最值問題用二次函數解決幾何圖形的最大面積問題，先利用幾何圖形的面積公式得到關于面積(或體積)的二次函數關系式，再由二次函數的最大值或者二次函數的性質確定二次函數的最大，從而確定二次函數實際問題的最大值. ABC為等邊三角形，邊長為 a，DF丄AB，EF丄AC.例湘潭中考如圖2 - 4- 7，求證： BDF CEF

8、 ;(2)若a= 4,設BF = m,四邊形 究當m為何值時S取得最大值.解：/ B = Z C= 60 BDF CEF.ADFE的面積為S,求出S與m之間的函數關系，并探，/BDF = Z CEF = 90°,m， DF =m，FC= 4 m，,e1(2)由 BF = m，得 BD = ?1 J3CE = 2(4- m)，EF =(4- m).43m23m+ 23.- S= Sabc Sbdf Sefc = 4肩申m2-¥(4 m)2 =8 8當 m =-2 X一 =2時，S取得最大值.-灼ABCD的長AB為5，寬BC為4，E是BC邊 設BE = x，FC= y，則點E從

9、點B運動到點 C(A)£B圖 2- 4-8命題角度2在幾何圖形運動過程中，判斷函數圖象此類問題一般作為中考選擇題的最后一題命題，難度較大注意把幾何圖形的性質轉化 為函數關系式條件，然后再判斷圖象.例濰坊中考如圖2 4- 8，已知矩形 上的一個動點， AE丄EF，EF交CD于點F， 時，能表示y關于x的函數關系的大致圖象是圖 2- 4-9命題角度3二次函數與周長、面積、線段等最值存在性問題此類問題一般作為中考的壓軸題，常與三角形或四邊形知識緊密結合，常考查二次函數冒新課標(HK)數學九年級下冊圖象的基本性質，最值問題及相似三角形性質等知識點，體現了初中數學知識的靈活掌握和 綜合運用能力

10、.例 自貢中考如圖2 4 10,已知拋物線 y= ax2 3x+ c與x軸相交于A , B兩點,、 、 1并與直線y=尹2交于B , C兩點,AC.(1) 求拋物線的表達式；(2) 證明： ABC為直角三角形；(3) ABC內部能否截出面積最大的矩形 若能，求出最大面積；若不能，請說明理由.DEFG ?(頂點 D, E, F,G在厶ABC各邊上)1解：(1) t直線y= gx 2交x軸、y軸于B, C兩點, B(4 , 0), C(0，- 2).I2 3)0 = 16a 6+ c,y = ax 2x + c 過 B，C 兩點，I 2= c,解得、c= 2, y = 7>x2|x 2.12

11、3證明：/ y =尹2只2與x負半軸交于 A點， A( 1 , 0).在 Rt AOC 中，T AO = 1 , OC= 2,二 AC = .5.在 Rt BOC 中，T BO = 4, OC = 2, BC = 2 5./ AB = AO + BO = 1+ 4= 5, AB 2= AC 2+ BC2, ABC 為直角三角形.圖 2 4 11一點為 C, AB , AC , BC邊上各有一點，如圖2 4 11,此時 AGFACB FEB.設 GC= x,貝V AG = p-. x.V=喬GF=2 52x，.AG = GF .躬-x GF S= GC" GF = x(2 5 2x)

12、= - 2x2 + 2 5x =- 2=-2(x 爭+號，即'AC=CB，當x =,S最大，為I2 - 4 - 12,AB邊上有兩點，AC , BC邊上各有一點，如圖版權均屬于北京全品文化發展有限公司，未經本公司授權不得轉載、摘編或利用其他方式 使用上述作品。否則，追究轉載人及轉載媒體的法律責任。新課標(HK)數學九年級下冊此時 CDEs CAB s GAD.圖 2-4- 12設 GD = x,.AD GD . AD x5=，=，AD = xAB CB 52j52，J5 - CD = CA AD = 5 2 x.%/5疤.CD DE .52 DE5=，=，DE = 5 一xCA AB

13、''552x，(5 5 25252 5S= GD- DE = x - 5尹=qx + 5x = (x 1) 1=尹1) + ，即x= 1時，S最大，為5.5綜上所述， ABC內部可截出面積最大的矩形DEFG，面積為|.點評本題考查了二次函數圖象的基本性質，最值問題及相似三角形性質等知識點，難 度適中，適合學生鞏固知識.素材四數學素養提升體育活動與二次函數二次函數是刻畫現實世界變量之間關系的一種常見的數學模型，許多實際問題，可以通 過分析題目中變量之間的關系，建立二次函數模型，從而利用二次函數的圖像和性質加以解 決下面介紹幾個利用二次函數來解決的與體育運動有關的問題，相信你一定會

14、感興趣！一、羽毛球與二次函數例1甲、乙兩人進行羽毛球比賽，甲發出一顆十分關鍵的球，出手點為P,羽毛球飛出的水平距離s (米)與其距地面高度 h (米)之間的關系式為 h- s2 -s -.如圖，已知球12329網AB距原點5米，乙(用線段 CD表示)扣球的最大高度為 -米，設乙的起跳點 C的橫坐4標為m,若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導致接球失敗，則m的取值范解析：此題是以羽毛球為背景的二次函數的應用問題，解此題的關鍵是根據“球的高于乙版權均屬于北京全品文化發展有限公司，未經本公司授權不得轉載、摘編或利用其他方式5使用上述作品。否則，追究轉載人及轉載媒體的法律責任。冒新課標（H

15、K）數學九年級下冊扣球的最大高度”列不等式，即丄S2 +?s+3 A?.化簡得：m2 _8m+9Y0.配方得（m_4） <712324'解得：4 _.、7 m 4 .-7.同時要考慮到乙必須在球網AB的右側，所以m -5.所以m的取值范圍為：5 m 4 .7.本題還可以列方程，利用二次函數的性質來求解，先求出剛好接到球的m的值.列方程一丄s212二次函數h1 s2122 39s,解得：m1 = 4 - i. 7, mt = 4 亠 i 7.因為 m - 5,所以 m = 4 7.在3 242 3s的對稱軸m=4的右側,h隨m的增大而減小，所以m的取值范圍為3 25 m 4、7.如

16、圖3所 丁分別站 已知）二、跳繩與二次函數例2你知道嗎？平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線.示，正在甩繩的甲、乙兩名學生拿繩的手間距為4m，手距地面均為Im，學生丙、在距甲拿繩的手水平距離 lm、2.5m處繩子在甩到最高處時剛好通過丙、丁的頭頂. 學生丙的身高是1.5m，則學生丁的身高為（建立的平面直角坐標系如圖所示）（A.1.5mB.1.625mC.1.66mD.1.67mIlHL"*乙乂-4ni -分析：由圖中的坐標系可知，甲拿繩的手處點的坐標為（-1,1）,乙拿繩的手處點的坐標為（3，1），丙頭頂處點的坐標為（0,1.5） 設拋物線解析式為：y =ax2

17、+bx +c,把（ -1，1），（3,1a =611 ），（ 0,1.5）三點代入得9a+3b+1.5=1解得:b =,所以3c =1.5a b 1.5 =1c =1.51 2 1y x -x 1.5,當 x=2.5-1=1.56311時，y1.52 1.5 1.5 =1.625.所以學生丁的身高為 1.625 m,故選B.63三、鉛球與二次函數例3 一男生在校運會的比賽中推鉛球，鉛球的行進高度y （m）與水平距離x （m）之間的關系用如圖所示的二次函數圖象表示.（鉛球從A點被推出，實線部分表示鉛球所經過的路線）由已知圖象上的三點，求 y與x之間的函數關系式.求出鉛球被推出的距離.若鉛球到達的

18、最大高度的位置為點B，落地點為C，求四邊形OABC的面積.版權均屬于北京全品文化發展有限公司，未經本公司授權不得轉載、摘編或利用其他方式 使用上述作品。否則，追究轉載人及轉載媒體的法律責任。冒新課標（HK）數學九年級下冊iBA/ /12 02E X585 ）, （2,-）三點，由此可求331得 A=，122 5B= , C= 一，所以 y=3 312 25令 y=0 ,即卩一一 x + X+ _ =0,312 25X + X+.12332一 X + 123推出的距離是10米.解得 xi=10 , X2= 2（不合題意，舍去）所以鉛球被作BD丄OC, D為垂足.因為y(X2 8X 20)123）

19、；由得C（ 10，0）.所以S 四邊形 OABC= S 梯形 OABD +SaBDC =X21 2(X 4) +3，所以 B (4,125+3)311X4+ X6 X3=18 .23分析：本題考查從圖象中獲取信息能力觀察圖象可得到拋物線上的三個點的坐標，從 而求出函數表達式；在此基礎上，利用二次函數與一元二次方程的關系可求出拋物線與 的交點坐標，得鉛球被推出的距離；最后通過配方法將函數式化成頂點式，得到頂點坐標， 用分割法求得四邊形的面積.解：設y=Ax2+Bx+C，已知圖象經過（一2, 0） , （ 0,四、籃球與二次函數例4 某學校初三年級的一場籃球比賽中，如圖3，隊員甲正在投籃，已知球出

20、手時離20地面高 米，與籃圈中心的水平距離為 7米，當球出手后水平距離為 4米時到達最大高度 49米，設籃球運行軌跡為拋物線，籃圈距地面3米.建立如圖的平面直角坐標系，問此球能否準確投中？此時，若對方隊員乙在甲面前1米處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1米，那么他能否獲得成功？03m1分析：這是一個有趣的、 貼近學生日常生活的應用題，由條件可得到出手點、 最高點（頂點）、和籃圈的坐標，再由出手點、頂點的坐標可求出函數表達式；判斷此球能否準確投中的問題就是判斷代表籃圈的點是否在拋物線上；判斷蓋帽攔截能否獲得成功，就是比較當x=1版權均屬于北京全品文化發展有限公司，未經本公司授權不得轉載、摘編或利用其他方式 使用上述作品。否則，追究轉載人及轉載媒體的法律責任。冒 新課標(HK)數學 九年級下冊:甲甲$曲辛二時函數y的值與最大摸高3.1米的大小.20解：由條件可得到球出手點、最高點、和籃圈的坐標分別為A ( 0, ), B (4, 4),9C (7, 3),其中B是拋物線的頂點.1設二次函數解析式為 y=A (x h) 2+k,將點A、B的坐標代入，可得y= ( x 4) 2+4.9將點C的坐標代入上