1、2021-2021學年河南省洛陽市高二上期末數學試卷理科一、選擇題：本大題共 12小題,每題5分,共60分,在每個小題給出的四個選項中, 只有一個符合題目要求的.1,集合 A=x|x2v1,集合 B=x|-t< 1,那么 AAB=A. -1, 0B. 0, 1C. 1, +xD. ?2.實數x, y滿足不等式組1 y>l ,那么X的最大值為K+收 3KA. 0 B. C. 1 D. 222 一3 .拋物線y=4x的準線萬程為A . x= - 1 B , y= - 1 C, x= - - D , y=-16164 . ABC內角A, B, C的對邊分別為 a, b, c, B=60&

2、#176;, b2=ac,那么A=A. 30° B, 45° C. 60° D, 90°225 .方程-3=1表示雙曲線是n>- 1的2+n n+1A,充分不必要條件 B.必要且不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6 .等差數列an中,前n項和為Sn, a1>0,a1007+a1008=0,那么當Sn取最大值時,n=A. 1007 B . 1008 C. 2021 D , 2021線-0, b>0與直線/ b2y=x交于不同的兩點,那么雙曲線C的離心率的取值范圍是A. (1, a) U (+°°)B.(亞,

3、+8)8, ABCD - A1B1C1D1為正方體,那么二面角C. (1,&) D .(五,2)BA1C1 A的余弦值為()A.四bC埠D.32329,假設命題？ xC ( 1, +8), x魚2-(2+a) x+2+a>0為真命題,那么實數a的取值范圍是A.(一巴2 B. ( 8, 2C. - 2, 2 D .(一巴-2 U 2, +8)222210 .橢圓 為+2二二1與雙曲線工-弓=1有共同的焦點F1, F2,兩曲線的一個交點為25 16m 5P,那么PF?PFz的值為A. 3 B, 7C, 11 D. 2111 . ABC內角A, B, C的對邊分別是a, b, c,以下

4、說法：2 ：2 J . 在4ABC中,a, b, c成等差數列是acos節+ccos節hb的充要條件; 命題 在銳角三角形 ABC中,sinA >cosB的逆命題和逆否命題均為真命題；命題 對任意三角形 ABC, sinA+sinB>sinC為假命題.正確的個數為()A. 0 B, 1C, 2 D, 32212.如圖,橢圓工不+4=1 (a>b>0)的左右頂點分別為 Ai, A2,上頂點為B,從橢圓上a2 b*一點P向x軸作垂線,垂足恰為左焦點F,且A2B / OP, | FA2| =V1C+V5,過A2作x軸的垂線I,點M是l上任意一點,A 1M交橢圓于點N ,那么贏

5、?不=()A. 10B. 5C. 15D .隨點M在直線I上的位置變化而變化二、填空題：本大題共 4個小題,每題 5分.、共20分.13 .數列an的前n項和為Sn=2n- 3n,那么a6+ay+a8=.14 .實數x, y滿足工+y2=1,那么x+2y的最大值為15 .四棱柱 ABCD -A1B1C1D1 各棱長均為 1, / AAB= / AAD= / BAD=60 °,貝U點 B 與點 D1兩點間的距離為.16 . p： -<0", q： x2 - 2x+1 - m2< 0 (m<0) ,命題 假設p,那么q為假命題,x+2假設q,那么p"

6、為真命題,那么實數 m的取值范圍是 .三、解做題：本大題共 6小題,共70分,解容許寫出文字說明、證實過程或演算步驟.17 . f (x) =ax2- (a+2) x+2.(1)假設實數av 0,求關于x的不等式f (x) >0的解集；1 q(2)假設 Wwxw?'是f (x) +2xv0的充分條件,求正實數 a的取值范圍.2 418,等比數列an的前n項和為Sn,公比q>1,S2=6,且a2是電與電-2的等差中項.(1)求 an 和 Sn；(2)設 bn=log2an,求 Tn=k u +u l +- + u V .19 . ABC內角A, B, C的對邊分別為a, b,

7、 c.(1)假設b是a與c的等比中項,求B的取值范圍；_ _ TT (2)右B=-,求sinA+sinC的取值范圍.O20 .點A (-加,0)和圓B： (x-班)2+y2=16,點Q在圓B上,線段AQ的垂直平 分線角BQ于點P.(1)求點P的軌跡C的方程；(2)軌跡C上是否存在直線2x+y+1=0對稱的兩點,假設存在,設這兩個點分別為S, T,求直線ST的方程,假設不存在,請說明理由.21 .如圖,ABCD是邊長為a的正方形,PAL平面ABCD .(1)假設PA=AB,點E是PC的中點,求直線 AE與平面PCD所成角的正弦值；(2)假設BE, PC且交點為E, BE=2a, G為CD的中點,

8、線段AB上是否存在點F,使得3EF/平面PAG?假設存在,求 AF的長；假設不存在,請說明理由.22,斜率為1的直線l經過拋物線E： y2=2px (p>0)的焦點,且被拋物線所截得弦AB的長為4.(1)求實數p的值；(2)點P是拋物線E上一點,線段 CD在y軸上, PCD的內切方程為(x- 1) 2+y2=1 , 求 PCD面積的最小值.942021-2021學年河南省洛陽市高二(上)期末數學試卷(理 科)參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 12小題,每題5分,共60分,在每個小題給出的四個選項中, 只有一個符合題目要求的.1,集合 A=x|x2v1,集合 B=x|i< 1,

9、那么 A AB=()XA. (-1, 0)B, (0, 1) C, (1, +8)D. ?【考點】交集及其運算.【分析】求出A與B中不等式的解集,分別確定出 A與B,找出兩集合的交集即可.【解答】 解：由A中不等式解得：-1vxv1,即A= (- 1, 1),當xv 0時,B中不等式變形得：x<1,此時xv 0;當x>0時,B中不等式變形得：x>1,此時x>1,1 , B= ( - °°, 0) u ( 1 , +°°),那么 a ab=(- 1, 0),應選：A.2 .實數x, y滿足不等式組,y>!,那么工的最大值為()

10、K+y<3A. 0B. C C. 1 D. 2【考點】簡單線性規劃.【分析】作出可行域,目標函數表示可行域內的點與原點連線的斜率,數形結合可得.【解答】 解：作出不等式組,y>l 所對應的可行域(如圖 ABC及內部),目標函數¥表示可行域內的點與原點連線的斜率,數形結合可知當直線經過點 A (1, 2)時,工取最大值2,應選：D.2 一3.拋物線y=4x的準線萬程為A . x= - 1 B . y= - 1 C. x= D . y= y16y 16【考點】拋物線的簡單性質.【分析】由拋物線的準線方程的定義可求得.【解答】 解：由于拋物線y=4x2,可化為：X2y,那么拋物

11、線的準線方程為 y=-.16應選：D.4. ABC內角A, B, C的對邊分別為 a, b, c, B=60°, b2=ac,那么A=A. 30° B, 45° C. 60° D, 90°【考點】 余弦定理；正弦定理.【分析】利用余弦定理、等邊三角形的判定方法即可得出.【解答】 解：由余弦定理可得：b2=a2+c2 - 2accosB=a2+c2 - ac=ac,化為a-c 2=0,解得 a=c.又 B=60 °,ABC是等邊三角形,. A=60 °.應選：C.5.方程2+n n+1=1表示雙曲線是n>- 1的A .充

12、分不必要條件B.必要且不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.22【分析】 方程=1表示雙曲線？ 2+n n+1 >0,解得n即可得出.2+n n+122【解答】 解：方程上-_二1表示雙曲線？ 2+n n+1 >0,解得n>-1或nv -2.2+n n+1 v2 2_“ 、一.方程-上一=i表示雙曲線是n>- 1的必要不充分條件.2+n n+1應選：B.6.等差數列an中,前n項和為Sn, a1>0,a1007+a1008=0,那么當Sn取最大值時,n=A. 1007 B , 1008 C, 2021 D , 2

13、021【考點】等差數列的性質.【分析】由等差數列的性質和題意易得數列an的前1007項為正,從第1008項開始為負,易得結論.【解答】解：:等差數列an中,前n項和為Sn, a1>0, 21007+21008=0, .冏007>0且a1008V 0,即等差數列%的前1007項為正,從第1008項開始為負, 當Sn取最大彳1時,n=1007.應選：A227.雙曲線C：三-3-1a>0, b>0與直線y=x交于不同的兩點,那么雙曲線 C的離心率的取值范圍是A. 1,我U 第,+8B.近,+8C. 1,加 D.我,2【考點】雙曲線的簡單性質.【分析】 將直線y=x代入雙曲線的

14、方程,由題意可得b2-a2>0,再由a, b, c的關系和離心率公式即可得到所求范圍.22【解答】 解：將直線y=x代入雙曲線 與-j=1,可得：b2-a2 x2=a2b2,由題意可得b2- a2>0,即有 c2- 2a2>0,即為e2>2,即e>&.應選：B.8,ABCD - A1B1C1D1為正方體,那么二面角 B-A1C1-A的余弦值為.V2 _ V2 _ V6 _ V3A.' B. C.% D. 三3232【考點】 二面角的平面角及求法.【分析】 以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD 1為z軸,建立空間直角坐標系,由此 能求出二面角B-

15、A1C1-A的余弦值.【解答】 解：以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標系,設正方體ABCD - A1B1C1D1的棱長為1,那么 A 1, 0, 0, A1 1, 0, 1, B 1, 1 , 0, C1 0, 1 , 1,AC(T, 1, 0), %A= (0, 0, - 1), %B= (0, 1, - 1),(1,1, 0),設平面A1C1A的法向量;= (x, y, z),那么* 一 一,取x=1 ,得Jn-Ai A- 3=01設平面AiCiB的法向量；=(a, b, c),- c=0設二面角B - A1C1 - A-a+b=0,取a=1,得涓的平面角為

16、0,(1,1,1),貝 U cos 0=r r -=近.詐Ini V2"V3 3應選：C.二面角B - A1C1-A的余弦值為 返39.A.假設命題？ xC (1, +°°), x2- (2+a) x+2+a>0為真命題,那么實數a的取值范圍是()【考點】 【分析】可.【解答】00, - 2 B. ( - 8, 2C. - 2, 2 D. ( - 8, 2 U2, +00)全稱命題.根據不等式恒成立的關系轉化為一元二次函數,討論判別式的取值,進行求解即解：判別式 = (2+a) 24 (2+a) = (a+2) (a 2),假設判別式4 = (a+2) (a

17、-2) < 0,即-2waw2時,不等式恒成立,滿足條件.假設判別式4 = (a+2) (a 2) >0 即 a>2或 av 2 時,設 f (x) =x2 - (2+a) x+2+a,要使命題？ xC (1, +8)x2- (2+a) x+2+a>0為真命題,那么滿足(2+a) a+2Xz I-a>2 或 av 2, a< 2,綜上,aw 2,應選：B.10 .橢圓 工+?_=1與雙曲線工-2-=1有共同的焦點 Fi, F2,兩曲線的一個交點為25 16m 5P,那么而?百,的值為A. 3 B. 7 C. 11 D. 21【考點】橢圓的簡單性質.【分析】由

18、題意可得m=4,聯立橢圓方程和雙曲線的方程可得第一象限的P的坐標,求出向量評； 垣的坐標,再由向量的數量積的坐標表示,計算即可得到所求值2222【解答】 解：橢圓工+?_=1與雙曲線幺-1=1有共同焦點為土 3, 0,25 16m 5P (3返,3即有m=4,聯立橢圓方程和雙曲線的方程可得第一象限的點-恒=(3孝即有PFi?PF3孚(3孚+等339100 80+99應選：C.-9=11.11 . ABC內角A, B, C的對邊分別是 a, b, c,以下說法：在4ABC中,a, b, c成等差數列是acoS+ccos24,的充要條件; 命題 在銳角三角形 ABC中,sinA >cosB的

19、逆命題和逆否命題均為真命題; 命題 對任意三角形 ABC , sinA+sinB>sinC為假命題.正確的個數為A. 0 B, 1 C. 2 D, 3【考點】命題的真假判斷與應用.【分析】根據等差數列的性質,結合充分條件和必要條件的定義進行判斷. 根據四種命題之間的關系進行判斷即可.根據正弦定理進行判斷即可.【解答】解：假設 acos2-+ccos2j=-|-b,即 a 1 +cosC +c 1 +cosA =3b,由正弦定理得：sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB ,即 sinA+sinC+sin A+C =3sinB ,可得 sinA+sinC=2sin

20、B ,由正弦定理可得,整理得：a+c=2b,故a, b, c為等差數列；反之也成立,即,a, b, c成等差數列是acos2S+ccos2A=Wb的充要條件；故 正確,在銳角三角形 ABC中,那么A+B>號,于是5>A>B-£>0,那么sinA>SIn ( B -工)=cosB ,即sinA>cosB成立,那么原命題為真命題.那么逆否命題也為2真命題,命題 在銳角三角形 ABC中,sinA>cosB的逆命題為：假設 sinA > cosB,那么三角形為銳角三角形,在三角形中,當B為鈍角時,cosBv0,此時滿足sinA >cosB

21、,那么命題的逆否命題為假命題.故錯誤, 在三角形中,由正弦定理得假設對任意三角形 ABC, sinA+sinB>sinC那么等價為對任意三角形ABC , a+b>c成立,即命題時任意三角形 ABC, sinA+sinB>sinC為真命題,故錯誤,故正確的個數是1,應選：B2212.如圖,橢圓 Si (a>b>0)的左右頂點分別為 Ai, A2,上頂點為B,從橢圓上 J b2一點P向x軸作垂線,垂足恰為左焦點F,且A2B II OP, | FA2I =V1C+Ve,過A2作x軸的垂線l,點M是l上任意一點,AiM交橢圓于點N,那么不!?示=()A. 10B. 5C.

22、 15D.隨點M在直線l上的位置變化而變化【考點】橢圓的簡單性質.【分析】由F的坐標,求得P的坐標,運用兩直線平行的條件：斜率相等,可得b=c,再由條件可得a=VlC, b=c=在,求得橢圓方程,設出 M的坐標,設出直線 MN的方程,聯立 橢圓方程,消去y,由韋達定理可得 N的橫坐標,進而得到 N的縱坐標,再由向量的數量 積的坐標表示,計算即可得到所求值.2【解答】解：由F ( - c, 0),可得P (- c,"),aA2 (a, 0), B (0, b),即有 kop=kA.E,2可得-=-,即有 b=c, a=Jc, ac a| FA2I =a+c=71C+75 解得 a= ,

23、 b=c=即有橢圓的方程為+-=1,10 5設 M (阮 t), Ai (-阮 0),即有直線 a im ： y= 2(x+JH),代入橢圓方程x2+2y2=l0,可得(20+t2) x2+271Ct2x+10t2-200=0 ,(-VlC ?XN=10t2- 20020+12可得Xn =(20- t2)VTo20+t2t . g、 一 20t yN=WB(xN+6)=20+/'20t20+1220+12200+10t=2-=10-20+t應選：A.二、填空題：本大題共 4個小題,每題 5分.、共20分.13.數歹 U an的前 n 項和為 Sn=2n- 3n,貝 U a6+a7+a8

24、= 215 .【考點】【分析】數列的求和.利用a6+a7+a8=S8 - S5,代入計算即得結論.【解答】解： Sn=2n-3n, a6+a7+a8=S8- S5=(28-3X8) - ( 25-3X5)=215,故答案為：215.14.實數X, y滿足1+y2=1,那么x+2y的最大值為,我_ .【考點】【分析】橢圓的簡單性質.利用橢圓的參數方程和三角函數的性質求解.解：:實數X, y滿足+y2=1,4JT,x+2y=2cos 卅2sin 9=2 sin ( Q +-),x+2y的最大值為2rj.故答案為：2二.15.四棱柱 ABCD -AiBiCiDi 各棱長均為 1, Z A1AB= Z

25、 AiAD= Z BAD=60 °,貝U點 B 與點Di兩點間的距離為 第 .【考點】棱柱的結構特征.【分析】由得萬耳=贏+標+萬百,由此能求出點 B與點Di兩點間的距離.【解答】 解：二四棱柱 ABCD - AiBiCiDi各棱長均為i, / AiAB= /AiAD= / BAD=60 °,BD = BA+AD + DD ,-. _ 二 _-2 -； : - ：- . 二一-BD1 =(BA+AD+DDp =BA +AD +DD +2W AE+2BADD+2AD 叩 D= i+i+i+2X i x i X cosi20° +2X i x i Xcosi20

26、76;+2X i X i X cos60°二2,I西I二亞點B與點Di兩點間的距離為 夷.故答案為：& .i6, p： -< 0", q： x2- 2x+i - m2< 0 (m<0) ,命題 假設p,那么q為假命題, k+2假設q,那么p"為真命題,那么實數 m的取值范圍是 (-8, 3.【考點】復合命題的真假.【分析】分別求出p, q為真時的x的范圍,根據p? q,而q推不出p,求出m的范圍即可.【解答】解：假設p：二W0為真命題,那么 p： - 2Vxw 2；假設 q： x2- 2x+i - m2<0 (m<0) 為真命

27、題,那么 i+mvxv i - m,命題 假設p,那么q"為假命題,假設q,那么p"為真命題,即p? q,而q推不出p,- 2>1+id -口c,解得：mv 3, 2<1 -m將m= - 3代入符合題意, 故答案為：(-8, - 3.三、解做題：本大題共 6小題,共70分,解容許寫出文字說明、證實過程或演算步驟.17. f (x) =ax2- (a+2) x+2.(1)假設實數av 0,求關于x的不等式f (x) >0的解集；(2)假設±wxw"是f (x) +2xv0的充分條件,求正實數 a的取值范圍.【考點】必要條件、充分條件與充要

28、條件的判斷；一元二次不等式的解法.【分析】(1) f (x) =ax2-( a+2)x+2= (ax2)(x1),av 0,可得ax2-(a+2)x+2=0的兩根為&,且Z<1,即可得出.a a(2) f (x) +2x< 0 化為：g (x) =ax2-ax+2v0,由 上wxw乜是 f (x) +2xv0的充分條24g(y)<0件,可得,又a>0,解得a范圍.2號)<0【解答】解：(1)f(x)=ax2-(a+2) x+2= (ax2)(x1),a< 0,ax2(a+2) x+2=0的兩根為一,且一v 1.a a,關于x的不等式f (x) >

29、;0的解集為(-t 1).(2) f (x) +2x< 0 化為：g (x) =ax2- ax+2<0, wxwg是 f (x) +2xv0的充分條件,24g )<.,又a>0,解得a>g 售)<0 ,正實數a的取值范圍是 W,g).18,等比數列an的前n項和為Sn,公比q>1,S2=6,且a2是電與電-2的等差中項.(1)求 an 和 Sn； (2)設 bn=log2an,求 Tn=k u +k L +- + u K .【考點】 數列的求和；等比數列的通項公式.【分析】(1)聯立a1 (1+q) =6及2aq=a1+a1q2 - 2,計算可知q=2

30、、a1=2 ,進而計算可得結(2)通過(1)裂項可知 T=1 (i-JL),進而并項相加即得結論.2 n n+2【解答】 解：(1)依題意,ai (1+q) =6,2aiq=ai+aiq2- 2,即 a1(q2-2q+1) =2,+并化簡得：3q2-7q+2=0,解得：q=2或q=L (舍),3代入并化簡得：a1=2,貝u an=2n, Sn=20- 2刃=2n+1 2;1-2(2)由(1)可知 bn=log 2an=n, -=1=1、b»b 1TH2 n(n+2) 2 n n+2 '1(1+2 '3 2 4 n n+2(1 +)2 i 2 n+1 n+2；M+5n

31、4(n+D(n+2)19. ABC內角A, B, C的對邊分別為a, b, c.(1)假設b是a與c的等比中項,求B的取值范圍；JT(2)假設B=,求sinA+sinC的取值范圍.3【考點】 余弦定理；正弦定理.2 I 2 _ t 2*11【分析】(1) b是a與c的等比中項,可得 cosB=±± =4,即可得出2ac2ac 2B的取值范圍.(2) sinA +sinC=sinA +sin-i C=fsi口,由于,可得JOO-1<£in(A+q)w1.即可得出. UV【解答】 解：(1) b是a與c的等比中項,cosB=£>- =,當且僅當

32、a=c 時取等號,< cosB< 1,2 sc2a c22又0vBv兀,B的取值范圍是 (0,.八.2冗 sinA+sinC=sinA+$1門(3“A)=sinA+cosA+isinA=VSsin(A+-),0<A<, q<Kn(A+看尸 1.當v VSsinA+-塞故sinA+sinC的取值范圍是當_20.點A -比,0和圓B： x-班2+y2=16,點Q在圓B上,線段AQ的垂直平 分線角BQ于點P.1求點P的軌跡C的方程；2軌跡C上是否存在直線2x+y+1=0對稱的兩點,假設存在,設這兩個點分別為S, T,求直線ST的方程,假設不存在,請說明理由.【考點】直線

33、與圓錐曲線的綜合問題.【分析】1直接由題意可得|PA|+| PB| =4>|AB|=2M,符合橢圓定義,且得到長半軸 和半焦距,再由b2=a2-c2求得b2,那么點P的軌跡方程可求；2設S xi, y1,TX2, y2,由題意可設直線 ST的方程為y=i-x+m,與橢圓的方程聯立可得根與系數的關系,再利用線段ST的中點-2m, m m在對稱軸2x+y+1=0上,33即可得出結論.【解答】 解：1由題意知|PQ|=|PA|,.| PA|+| PB| 二4>| AB| =2點由橢圓定義知P點的軌跡是以A, B為焦點橢圓,a=2, c= b=.二,22.點P的軌跡的方程是 3一+?=1;

34、42(2)設存在直線 ST的方程為y=i-x+m,與橢圓方程聯立,化簡可得3x2+4mx+4m2 - 8=0 .4 q( 2 一 工)S (x1, y1), T (x2, y2),貝U Xi+X2= - , x1x2=,33,22線段ST的中點(-m-m,三m)在對稱軸2x+y+1=0上, o 42 .m+ m+1=0,33m= ,滿足> 0, , , 、一 13存在直線ST的方程為y=x+.21.如圖,ABCD是邊長為a的正方形,PA,平面ABCD .1假設PA=AB,點E是PC的中點,求直線 AE與平面PCD所成角的正弦值;2假設BE, PC且交點為E, BE=Va, G為CD的中點

35、,線段AB上是否存在點F,使得3求 AF的長；假設不存在,請說明理由.【考點】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定.【分析】1以A為原點,建立如下圖的坐標系,求出平面PCD的法向量,即可求直線AE與平面PCD所成角的正弦值；2確定E的坐標,平面PAG的法向量,利用EF/平面PAG,而？ ？；=0,即可得出結論.C (a, a,0), D (0, a, 0),P (0, 0, a), E (, -,辛a a ,天,DC二a,0, 0), PE= (0, a, - a),設平面PCD的法向量n= x,ay - az=0取涓0, 1, 1,那么直線AE與平面PCD所成角的正弦值為【解答】 解：1以A為原點,建立如下圖的坐標系,那么 A 0, 0, 0, B a, 0, 0,T+(0, 0, c) (c>0),那么 CF= ( - a, - a, c),a, (1 2 a, Ac), 心),(2) G (崇 a, 0),設 P 設五二安,貝U E (1-入) .諉=(-2,(1 - A a,BE=_a3后)2+ (1- X)a2+ ( 2=V . BE ±PC, za2- (1 -a2+；c2=0,.c2j ; a, A由解得四卷,c=a,_ 221 一 . EWa,耳 a 百 a,P0