1、“恒成立問題”與“存在性問題”的基本解題策略一、“恒成立問題”與“存在性問題”的基本類型恒成立、能成立、恰成立問題的基本類型1、恒成立問題的轉化：恒成立；2、能成立問題的轉化：能成立；3、恰成立問題的轉化：在M上恰成立的解集為M另一轉化方法：若在D上恰成立，等價于在D上的最小值，若在D上恰成立，則等價于在D上的最大值.4、設函數、，對任意的，存在，使得，則5、設函數、，對任意的，存在，使得，則6、設函數、，存在，存在，使得，則7、設函數、，存在，存在，使得，則8、設函數、，對任意的，存在，使得，設f(x)在區間a,b上的值域為A，g(x)在區間c,d上的值域為B,則AÌB.9、若不等

2、式在區間D上恒成立，則等價于在區間D上函數和圖象在函數圖象上方；10、若不等式在區間D上恒成立，則等價于在區間D上函數和圖象在函數圖象下方；恒成立問題的基本類型 在數學問題研究中經常碰到在給定條件下某些結論恒成立的命題.函數在給定區間上某結論成立問題,其表現形式通常有:j在給定區間上某關系恒成立;k某函數的定義域為全體實數R;l某不等式的解為一切實數;m某表達式的值恒大于a等等恒成立問題，涉及到一次函數、二次函數的性質、圖象,滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，有利于考查學生的綜合解題能力，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個熱點。恒成立問題

3、在解題過程中大致可分為以下幾種類型：一次函數型；二次函數型；變量分離型；根據函數的奇偶性、周期性等性質；直接根據函數的圖象。二、恒成立問題解決的基本策略 大家知道，恒成立問題分等式中的恒成立問題和不等式中的恒成立問題。等式中的恒成立問題，特別是多項式恒成立問題，常簡化為對應次數的系數相等從而建立一個方程組來解決問題的。（一）兩個基本思想解決“恒成立問題”思路1、 思路2、如何在區間D上求函數f(x)的最大值或者最小值問題,我們可以通過習題的實際,采取合理有效的方法進行求解,通常可以考慮利用函數的單調性、函數的圖像、二次函數的配方法、三角函數的有界性、均值定理、函數求導等等方法求函數f（x）的最

4、值。這類問題在數學的學習涉及的知識比較廣泛，在處理上也有許多特殊性，也是近年來高考中頻頻出現的試題類型，希望同學們在日常學習中注意積累。（二）、賦值型利用特殊值求解等式恒成立問題等式中的恒成立問題，常常用賦值法求解，特別是對解決填空題、選擇題能很快求得.例1如果函數y=f(x)=sin2x+acos2x的圖象關于直線x= 對稱，那么a=（ ）.A.1 B.-1 C . D. -.略解：取x=0及x=，則f(0)=f(),即a=-1，故選B.此法體現了數學中從一般到特殊的轉化思想.例（備用）由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(

5、x+1)+b4 定義映射f：(a1,a2,a3,a4)b1+b2+b3+b4,則f：(4,3,2,1) ( )A.10 B.7 C.-1 D.0略解：取x=0，則 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故選D（三）分清基本類型，運用相關基本知識，把握基本的解題策略1、一次函數型：若原題可化為一次函數型,則由數形結合思想利用一次函數知識求解,十分簡捷給定一次函數y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n內恒有f(x)>0，則根據函數的圖象（直線）可得上述結論等價于 同理，若在m,n內恒有f(x)<0， 則有 nmoxynmox

6、y例2對于滿足|a|2的所有實數a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范圍.分析：在不等式中出現了兩個字母：x及a,關鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數.顯然可將a視作自變量，則上述問題即可轉化為在-2，2內關于a的一次函數大于0恒成立的問題.解：原不等式轉化為(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|2時恒成立,設f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,則f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x<-1或x>3. 即x(,1)(3,+)此類題本質上是利用了一次函數在區間m,n上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點均在x軸上方（或下方

7、）即可.2、二次函數型涉及到二次函數的問題是復習的重點，同學們要加強學習、歸納、總結，提煉出一些具體的方法，在今后的解題中自覺運用。（1）若二次函數y=ax2+bx+c(a0)大于0恒成立，則有（2）若是二次函數在指定區間上的恒成立問題，可以利用韋達定理以及根的分布知識求解。類型1：設在R上恒成立，（1） 上恒成立；（2）上恒成立。類型2：設在區間上恒成立（1） 當時，上恒成立，上恒成立（2） 當時，上恒成立上恒成立類型3：設在區間 (- , a上恒成立。f(x)>0Ûa>0且D<0或-b/2a>a且f(a)>0f(x)<0Ûa<0

8、且D<0或-b/2a>a且f(a)<0類型4：設在區間 a，+)上恒成立。f(x)>0Ûa>0,D<0或-b/2a<a且f(a)>0f(x)<0Ûa<0,D<0或-b/2a<a且f(a)<0例3 若函數的定義域為R，求實數 的取值范圍.分析：該題就轉化為被開方數在R上恒成立問題，并且注意對二次項系數的討論.解：依題意，當恒成立，所以，當此時當有綜上所述，f(x)的定義域為R時，例4.已知函數，在R上恒成立，求的取值范圍.分析：的函數圖像都在X軸及其上方，如右圖所示：略解：變式1：若時，恒成立，求的

9、取值范圍.解析一. （零點分布策略） 本題可以考慮f(x)的零點分布情況進行分類討論，分無零點、零點在區間的左側、零點在區間的右側三種情況，即0或或，即a的取值范圍為-7，2.解法二分析：（運用二次函數極值點的分布分類討論）要使時，恒成立，只需的最小值即可.略解：（分類討論），令在上的最小值為.當，即時， 又 不存在.當，即時， 又 當，即時， 又 綜上所述，.變式2：若時，恒成立，求的取值范圍.解法一：分析：題目中要證明在上恒成立，若把2移到等號的左邊，則把原題轉化成左邊二次函數在區間時恒大于等于0的問題.例2 已知，若恒成立，求a的取值范圍.22略解：，即在上成立. 綜上所述，.解法二：（

10、運用二次函數極值點的分布） 當，即時， 不存在.當，即時，當，即時， 綜上所述.此題屬于含參數二次函數，求最值時，對于軸變區間定的情形，對軸與區間的位置進行分類討論；還有與其相反的，軸動區間定，方法一樣.對于二次函數在R上恒成立問題往往采用判別式法（如例4、例5），而對于二次函數在某一區間上恒成立問題往往轉化為求函數在此區間上的最值問題3、變量分離型若在等式或不等式中出現兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉化成函數的最值問題求解。運用不等式的相關知識不難推出如下結論：若對于x取值范圍內的任何一個數都

11、有f(x)>g(a)恒成立，則g(a)<f(x)min;若對于x取值范圍內的任何一個數，都有f(x)<g(a)恒成立，則g(a)>f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分別為f(x)的最大值和最小值)例5.已知三個不等式，要使同時滿足的所有x的值滿足，求m的取值范圍.略解：由得2<x<3,要使同時滿足的所有x的值滿足,即不等式在上恒成立，即上恒成立，又所以 例6. 函數是奇函數，且在上單調遞增，又，若 對所有的都成立，求的取值范圍 .解：據奇函數關于原點對稱，又對所有的都成立.因此，只需大于或等于的最大值1，即關于a的一次函數在-1，1上大于或

12、等于0恒成立，即： 利用變量分離解決恒成立問題，主要是要把它轉化為函數的最值問題補例 已知若，且對任何不等式恒成立，求實數的取值范圍解：當時，取任意實數，不等式恒成立，故只需考慮，此時原不等式變為 即 2分故 又函數在上單調遞增，所以；對于函數當時，在上單調遞減，又，所以，此時的取值范圍是 2分當，在上，當時，此時要使存在，必須有 即，此時的取值范圍是 綜上，當時，的取值范圍是；當時，的取值范圍是；當時，的取值范圍是 2分4、根據函數的奇偶性、周期性等性質若函數f(x)是奇(偶)函數，則對一切定義域中的x ,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函數y=f(x)的周期為T，則對

13、一切定義域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。5、直接根據圖象判斷若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例7. 的取值范圍.分析：設y=|x+1|-|x-2|,即轉化為求函數y=|x+1|-|x-2|的最小值，畫出此函數的圖象即可求得a的取值范圍.解：令在直角坐標系中畫出圖象如圖所示，由圖象可看出，要使只需.故實數注：本題中若將改為，同樣由圖象可得a>3;,構造函數，畫出圖象，得a<3.利用數形結合解決恒成立問題，應先構造函數，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定

14、區間上函數與函數圖象之間的關系，得出答案或列出條件，求出參數的范圍.例8. 設常數aR,函數f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.若函數y=f(x)與y=g(x)的圖像有公共點，則a的取值范圍為。解：1）a<=0x<=a/2<=0時，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+aa/2<=x<=0時，f(x)=-3x+(2x-a)=-x-ax>=0時，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a，最小值為-a<=2則與g(x)有交點，即：-2<=a<=0。2）a>0x<=0時，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a0

15、<=x<=a/2時，f(x)=3x+(-2x+a)=x+ax>=a/2時，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a最小值a<=2時與g(x)有交點，即：0<a<=2綜上所述，-2<=a<=2時f(x)=3|x|+|2x-a|與g(x)=2-x有交點。三、在恒成立問題中，主要是求參數的取值范圍問題，是一種熱點題型，介紹一些基本的解題策略，在學習中學會把問題分類、歸類，熟練基本方法。（一）換元引參，顯露問題實質 1、對于所有實數x，不等式恒成立，求a的取值范圍。 解：因為的值隨著參數a的變化而變化，若設，則上述問題實質是“當t為何值時，不等式恒成立”。

16、這是我們較為熟悉的二次函數問題，它等價于求解關于t的不等式組：。 解得，即有，易得。2、設點P（x，y）是圓上任意一點，若不等式x+y+c0恒成立，求實數c的取值范圍。（二）分離參數，化歸為求值域問題 3、若對于任意角總有成立，求m的范圍。解：此式是可分離變量型，由原不等式得，又，則原不等式等價變形為恒成立。根據邊界原理知，必須小于的最小值，這樣問題化歸為怎樣求的最小值。因為 即時，有最小值為0，故。（三）變更主元，簡化解題過程 4、若對于，方程都有實根，求實根的范圍。 解：此題一般思路是先求出方程含參數m的根，再由m的范圍來確定根x的范圍，但這樣會遇到很多麻煩，若以m為主元，則， 由原方程知

17、，得 又，即解之得或。5、當時，若不等式恒成立，求的取值范圍。（四）圖象解題，形象直觀 6、設，若不等式恒成立，求a的取值范圍。 解：若設，則為上半圓。設，為過原點，a為斜率的直線。在同一坐標系內 作出函數圖象依題意，半圓恒在直線上方時，只有時成立，即a的取值范圍為。7、當x(1,2)時，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范圍。解：設y1=(x-1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線要使對一切x (1,2),y1<y2恒成立，顯然a>1,并且必須也只需當x=2時y2的函數值大于等于y1的函數值。故loga2>1, 1<a2.8、已知

18、關于x的方程lg(x2+4x)-lg(2x-6a-4)=0有唯一解，求實數a的取值范圍。分析：方程可轉化成lg(x2+4x)=lg(2x-6a-4),從而得x2+4x=2x-6a-4>0,注意到若將等號兩邊看成是二次函數y= x2+4x及一次函數y=2x-6a-4，則只需考慮這兩個函數的圖象在x軸上方恒有唯一交點即可。解：令y1=x2+4x=（x+2）2-4,y2=2x-6a-4, y1的圖象為一個定拋物線 y2的圖象是k=2，而截距不定的直線，要使y1和y2在x軸上方有唯一交點，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2）當直線為l1時，直線過點（-4，0），此時縱截距為-8

19、-6a-4=0,a=;當直線為l2時，直線過點（0，0），縱截距為-6a-4=0，a=a的范圍為（五）合理聯想，運用平幾性質 9、不論k為何實數，直線與曲線恒有交點，求a的范圍。分析：因為題設中有兩個參數，用解析幾何中有交點的理論將二方程聯立，用判別式來解題是比較困難的。若考慮到直線過定點A（0，1），而曲線為圓,圓心C（a，0），要使直線恒與圓有交點，那么定點A(0,1)必在圓上或圓內。解：，C（a，0），當時，聯想到直線與圓的位置關系，則有點A（0，1）必在圓上或圓內，即點A（0，1）到圓心距離不大于半徑，則有，得。（六）分類討論，避免重復遺漏 10、當時，不等式恒成立，求x的范圍。解：使

20、用的條件，必須將m分離出來，此時應對進行討論。當時，要使不等式恒成立，只要， 解得。當時，要使不等式恒成立，只要，解得。當時，要使恒成立，只有。 綜上得。解法2：可設，用一次函數知識來解較為簡單。我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將元不等式化為：，；令，則時，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是。此類題本質上是利用了一次函數在區間m,n上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點均在x軸上方（或下方）即可.11、當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍。解：當時，當，即時等號成立。故實數的取值范圍:（七）構造函數，體現函數思想 12、（1990年全國高考題）設，其中a為實數，n為任意給定的自然

21、數，且，如果當時有意義，求a的取值范圍。解：本題即為對于，有恒成立。這里有三種元素交織在一起，結構復雜，難以下手，若考慮到求a的范圍，可先將a分離出來，得，對于恒成立。構造函數，則問題轉化為求函數在上的值域。由于函數在上是單調增函數，則在上為單調增函數。于是有的最大值為：，從而可得。（八）利用集合與集合間的關系在給出的不等式中，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關系來求解，即：，則且，不等式的解即為實數的取值范圍。例13、當時，恒成立，求實數的取值范圍。解：（1） 當時，則問題轉化為 （2） 當時，則問題轉化為綜上所得：或四、其它類型恒成立問題能成立問題有時是以不等式有解

22、的形式出現的。1、已知函數，其中，對任意，都有恒成立，求實數的取值范圍；【分析：】思路、對在不同區間內的兩個函數和分別求最值，即只需滿足即可簡解：令n(a)=gmax(x)=a/2；令m(a)=fmin(x),f(x)=(x-a)2+1-a2,故(1)對稱軸x=a<1，即或0<a<1時，m(a)= fmin(x)=f(1)=2-2a，由m(a)>n(a) 解得a<4/5,（注意到a的范圍）從而得a的范圍：0<a<4/5;(2)對稱軸x=a>2時，m(a)= fmin(x)=f(2)=5-4a，由m(a)>n(a) 解得a<10/9,（

23、注意到a的范圍）從而得a無解：;(3)對稱軸x=a1,2時，m(a)= fmin(x)=f(a)=2-2a，由m(a)>n(a) 解得或，（注意到a的范圍）從而得a的范圍：;綜合（1）（2）（3）知實數的取值范圍是：(0，4/5)1,22、已知兩函數，對任意，存在，使得，則實數m的取值范圍為 解析：對任意，存在，使得等價于在上的最小值不大于在上的最小值0，既，題型二、主參換位法(已知某個參數的范圍，整理成關于這個參數的函數)題型三、分離參數法（欲求某個參數的范圍，就把這個參數分離出來）題型四、數形結合（恒成立問題與二次函數聯系（零點、根的分布法）五、不等式能成立問題（有解、存在性）的處理

24、方法若在區間D上存在實數使不等式成立,則等價于在區間D上；若在區間D上存在實數使不等式成立,則等價于在區間D上的.1、存在實數，使得不等式有解，則實數的取值范圍為_。解：設，由有解，又，解得。1、求使關于p的不等式在p-2,2有解的x的取值范圍。解：即關于p的不等式有解,設，則在-2,2上的最小值小于0。(1)當x>1時，f(p)關于p單調增加，故fmin(p)=f(-2)=x2-4x+3<0,解得1<x<3;2222(2) 當x<1時，f(p)關于p單調減少，故fmin(p)=f(2)=x2-1<0,解得-1<x<1；(3)當x=1時，f(p)

25、=0,故fmin(p)=f(p)<0不成立。綜合（1）（2）（3）知實數x的取值范圍是：(-1，1)(1,3)例、設命題P:x1,x2是方程x2-ax-2=0的二個根，不等式|m2-5m-3|x1-x2|對任意實數a-1,1恒成立；命題Q：不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解；若命題P和命題Q都是真命題，求m的值范圍。解：(1)由P真得：，注意到a在區間-1,1, ,由于|m2-5m-3|x1-x2|對任意實數a-1,1恒成立，故有解得： m-1或m6或0m5(1)由Q真，不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解，得（|x-2m|-|x|）max=2m

26、>1,解得：m>1/2由于（1）（2）都是相公命題，故m的值范圍：1/2<m5或m6.舉例（1）已知不等式對于）恒成立，求實數的取值范圍.（2）若不等式對于恒成立，求實數的取值范圍.分析：（1）由得：對于）恒成立，因，所以，當時等號成立.所以有.（2）注意到對于恒成立是關于的一次不等式.不妨設，則在上單調遞減，則問題等價于，所以或，則取值范圍為.小結：恒成立與有解的區別：恒成立和有解是有明顯區別的，以下充要條件應細心思考，甄別差異，恰當使用，等價轉化，切不可混為一體。不等式對時恒成立，。即的上界小于或等于；不等式對時有解，。 或的下界小于或等于；不等式對時恒成立，。即的下界大

27、于或等于；不等式對時有解，.。 或的上界大于或等于；高中數學難點強化班第四講（140709）課后練習答案：一填空選擇題（每小題6分，共60分）1、對任意的實數，若不等式恒成立，那么實數的取值范圍。答案：|x+1|-|x-2|³ -|(x+1)-(x-2)|=-3,故實數的取值范圍：a<-32、不等式有解，則的取值范圍是 解：原不等式有解有解，而，所以。O3.若對任意,不等式恒成立，則實數的取值范圍是（）(A) (B) (C) （D） 解析：對,不等式恒成立則由一次函數性質及圖像知，即。答案：選B4當時，不等式恒成立，則的取值范圍是 .解析: 當時，由得.令，則易知在上是減函數，

28、所以時，則.5已知不等式對任意都成立，那么實數的取值范圍為分析：已知參數的范圍，要求自變量的范圍，轉換主參元和的位置，構造以為自變量作為參數的一次函數，轉換成，恒成立再求解。解析：由題設知“對都成立，即對都成立。設（），則是一個以為自變量的一次函數。恒成立，則對，為上的單調遞增函數。 所以對，恒成立的充分必要條件是，于是的取值范圍是。圖31oxy圖11xy01xy0圖26已知函數，若對于任一實數，與的值至少有一個為正數，則實數的取值范圍是（ )A(0，2) B(0，8) C(2，8) D(，0)分析：與的函數類型，直接受參數的影響，所以首先要對參數進行分類討論，然后轉換成不等式的恒成立的問題利用函數性質及圖像解題。解析：當時，在上恒成立，而在上恒成立，顯然不滿足題意；(如圖1)當時，在上遞減且只在上恒成立，而是一個開口向下且恒過定點（0，1）的二次函數，顯然不滿足題意。當時，在上遞增且在上恒成立，而是一個開口向上且恒過定點（0，1）的二次函數，要使對任一實數，與的值至少有一個為正數則只需在上恒成立。(如圖3)則有或解得或，綜上可得即。 故選B。、已知兩函數，g(x)=6x2-24x+21。（1）對任意，都有成立，那么實數的取值范圍c0；（2）存在，使成立，那么實數的取值范圍c-25；（3）對任意，都