1、數值分析實驗作業專業： 姓名： 學號： 實驗2.1 多項式插值的振蕩現象問題提出：考慮在一個固定的區間上用插值逼近一個函數，顯然Lagrange插值中使用的節點越多，插值多項式的次數就越高，我們自然關心插值多項的次數增加時，Ln(x)是否也更加靠近逼近的函數，Runge給出的例子是極著名并富有啟發性的，設區間-1,1上函數實驗內容：考慮區間-1，1的一個等距離劃分，分點為則拉格朗日插值多項式為其中，i=0,1,2,n是n次Lagrange插值函數。實驗要求： （1）選擇不斷增大的分點數目n=2，3，畫出原函數f(x)及插值多項式函數Ln(x)在-1，1上的圖像，比較并分析實驗結果。 （2）選擇

2、其他的函數，例如定義在區間-5，5上的函數，重復上述的實驗看其結果如何。解：以下的f(x)、h(x)、g(x)的為插值點用“*”表示，朗格朗日擬合曲線用連續曲線表示。通過三個函數的拉格朗日擬合可以看到，隨著插值點的增加，產生Rung現象。（1） f(x)第 12 頁 共 13 頁(2) h(x)(3) g(x)實驗3.1 最小二乘法擬合編制以函數為基的多項式最小二乘擬合程序，并用于對表中的數據作三次多項式最小二乘擬合。-1.0-0.50.00.51.01.52.0-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552取權數,求擬合曲線中的參數，平方誤差，并作離散數據的擬合

3、函數的圖形。解：三次多項式的擬合曲線為： 此題中權函數，即W=(1,1,1,1,1,1,1) 利用法方程求解這個方程組，就可以得到系數a。解之得： 故擬合的函數為:,平方誤差為：2.176191667187105e-05擬合的函數圖像如下：實驗5.1 常微分方程性態和R-K法穩定性試驗試驗目的：考察下面的微分方程右端項中函數y前面的參數對方程性態的影響（它可使方程為好條件的或壞條件的）和研究計算步長對R-K法計算穩定性的影響。實驗題目：常微分方程初值問題其中，。其精確解為實驗要求： （1）對于參數，分別去四個不同的數值：一個大的正值，一個小的正值，一個絕對值小的負值和一個絕對值大的負值。取步長

4、，分別用經典R-K法計算，將四組計算結果畫在同一張圖上，進行比較并說明相應初值問題的性態。（2）對于參數為一個絕對值不大的負值和兩個計算步，一個計算步使參數在經典R-K法的穩定域內，另一個步長在經典的R-K法的穩定域外。分別用經典R-K法計算并比較計算結果。取全域等距的10個點上的計算值，列表說明。解:對于4階R-K法 絕對穩定區為：這里，所以絕對穩定區為：（1）對于，絕對穩定區：a21-1-2h0.010.010.010.01(2)對于，穩定區a-20-20h0.010.15xy（精確解）數值解y1（a=-20,h=0.01）y1-y數值解y2（a=-20,h=0.15）y1-y0.150.

5、1997870.1997892.35E-061.5250001.3252130.300.3024790.3024792.34E-072.1906251.8881460.450.4501230.4501231.75E-083.0496092.5994860.600.6000060.6000061.16E-094.1744633.5744570.750.7500000.7500007.23E-115.6648864.9148860.900.9000000.9000004.32E-127.6579696.757969可見h=0.01時，數值解穩定h=0.15時，數值解不穩定。程序源代碼functio

6、n testCharpt2_1%對數值分析實驗題第2章第1題進行分析promps=輸入f為選擇f(x)；輸入h為選擇h(x)；輸入g為選擇g(x);result=inputdlg(promps,請選擇實驗函數);chooseFunction=char(result);switch chooseFunction case f f=inline(1./(1+25*x.2); a=-1; b=1; nameFuc=f(x); case h f=inline(x./(1+x.4); a=-5; b=5 nameFuc=h(x) case g f=inline(atan(x); a=-5; b=5 na

7、meFuc=g(x)end% promps2=n=;% nNumble=inputdlg(promps2,請輸入分點數n);nNumble=2:11for i=1:length(nNumble) x=linspace(a,b,nNumble(i)+1); y=feval(f,x); xx=a:0.1:b; yy=lagrange(x,y,xx) figure fplot(f,a,b,*) hold on plot(xx,yy,LineWidth,2) xlabel(x) ylabel(y) legend(nameFuc,lagrange(x) nameTitle=多項式求值的振蕩現象, n=,

8、num2str(nNumble(i) title(nameTitle,FontSize,14); grid onendfunction yy=lagrange(x,y,xx)%s實現拉格朗日插值%輸入參數x，y分別為已知插值點的自變量和因變量%輸入參數xx為擬合點的自變量值%輸出參數yy為對應自變量xx的擬合值xLength=length(x);xxLength=length(xx);for i1=1:xxLength yy(i1)=0; for i2=1:xLength p=1; for i3=1:xLength if(i2=i3) p=p*(xx(i1)-x(i3)/(x(i2)-x(i3

9、); end end yy(i1)=yy(i1)+p*y(i2); end endfunction testCharpt3_1()%對數值分析實驗題第3章第1題進行分析%輸入參數：自變量x，因變量y%輸入參數：多項式擬合次數nclcclearformat longx=-1.0,-0.5,0.0,0.5,1.0,1.5,2.0y=-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552n=3A=;for i=1:length(x) A=A;1 x(i) x(i)2 x(i)3end A2=A*A;a=inv(A2)*A*y%多項式的系數% a=roundn(a,-

10、6)yy=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.2+a(4)*x.3;r=(y-yy)*(y-yy) %平方誤差clfhold on plot(x,y,or);x2=-1:0.01:2;y2=a(1)+a(2)*x2+a(3)*x2.2+a(4)*x2.3;plot(x2,y2,LineWidth,2);legend(離散值,擬合曲線)xlabel(x);ylabel(y);title(3次多項式擬合,平方誤差=,num2str(r),FontSize,14);grid onfunction testCharpt5_1%對數值分析實驗題第3章第1題進行分析%輸入參數：參數a，步長h%精確解和數

11、值解圖形對比%第1問輸入a=2 1 -1 -2% 輸入a的取值h=0.01 0.01 0.01 0.01%輸入h的取值%第2問輸入% a=-20 -20% 輸入a的取值% h=0.01 0.15%輸入h的取值%func=inline(1+(y-x).*a);%定義函數for i=1:length(a) x=0:h(i):1;%求解區間 y=x; N=length(x); y(1)=1; for n=1:N-1 k1=func(a(i),x(n),y(n); k2=func(a(i),x(n)+h(i)/2,y(n)+k1*h(i)/2); k3=func(a(i),x(n)+h(i)/2,y(n)+k2*h(i)/2); k4=func(a(i),x(n)+h(i),y(n)+k3*h(i) ; y(n+1)=y(n)+h(i)*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;%數值解 end y0=e