1、導(dǎo)數(shù)與不等式一一構(gòu)造函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，最主要的是利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性。導(dǎo)數(shù)與不等式問題中的一種，是根據(jù)題目中所給出函數(shù)f(x)與其導(dǎo)函數(shù)f (x)的關(guān)系，構(gòu)造新函數(shù)，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性從而達(dá)到解決問題的目的。一、直接構(gòu)造例題1.設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在3,7上均可導(dǎo)，且f (x) g (x),則當(dāng)3 x 7時(shí)，有A.f(x)g(x)B.f(x)+g(3)g(x)f(3)C.f (x)g(x)D.f(x)+gg(x)f (7)解析：因?yàn)?f (x) g(x),即 f (x) g (x) 0,所以函數(shù)y f (x) g(x)在(3, 7)上單調(diào)遞減，所以 f(7) g(7) f(x) g

2、(x) f(3) g(3),所以 f(x)+g(3) g(x) f(3)。答案：D1解惑練習(xí)1：定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(1) 1,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)-,則滿足22f(x) x 1的x的集合為()A x 1 x 1B. x x 1 C x x1,或x 1 D . x x 1、根據(jù)題意或選項(xiàng)中的提示構(gòu)造函數(shù)1.當(dāng)題意中出現(xiàn)xf (x)f (x)時(shí)，“ + ”對應(yīng)的原函數(shù)是 y xf (x), “-”對應(yīng)的原函數(shù)是f(x)x例題2.已知定義域?yàn)?R的奇函數(shù)y f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y f (x),當(dāng)x 0時(shí)，xf(x) f(x) 0,若 ab 3, c g,則 a, b, c 的大小關(guān)

3、系正eln 23確的是()A.Iby，Ic.h匕 D.7f (x)xf (x) f (x)斛析：僅 g(x) , g (x) y,xx因?yàn)楫?dāng)x 0時(shí)xf (x) f(x) 0,所以函數(shù)g(x)因?yàn)閥 f (x)是R上的奇函數(shù)，所以f(x) _乂在(0,)上單調(diào)遞減, xf(3)o3因?yàn)?3 e ln2,所以 g(3) g(e)g(ln2),即c a b。a g(e), b g(ln 2) , c g(3),答案：D解惑練習(xí)2:已知定義在 R上的奇函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)為f (x),當(dāng) x 0時(shí),f (x) f(x) x系為()0,若1-1、, 一a 2 f (2)，b 2 f ( 2) ,11

4、lnf (ln),則 a、b、c的關(guān)22A.a b cB.bC.c b aD.b2.當(dāng)題意中出現(xiàn)f (x)f(x)時(shí)，“+”需要構(gòu)造函數(shù)exf(x)需要構(gòu)造函數(shù)例題3.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f (x),若 f (x)f (x)2, f (0) 5 ,則不等式f(x) 3e x 2的解集為A. (0,)B. (,0)C. (,0)U(1,)D. (1,)解析：因?yàn)閒(x)f(x) 2,所以構(gòu)造函數(shù)g(x) exf(x)g (x) ex(f(x)f (x) 2) 0,所以 g(x)在 R上單調(diào)遞增，g(0)f(0) 2 3。因?yàn)?f(x) 3e x2,所以 exf(x) 2ex 3,即 g(x

5、)3 g(0),所以 x 0。答案：A解惑練習(xí)3 .已知定義在R上的函數(shù)f x滿足f x,則關(guān)于m的不等式f 2m1 3m e0的解集是解惑練習(xí)B.0,3C.D.1 12,34 .設(shè)f (x)是定義在R上的函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)，且f (x) f (x), f (1) e (e為自然對數(shù)的底數(shù))，則不等式 f(lnx) x的解集為()A.有極大值，無極小值B.有極小值，無極大值研究其結(jié)構(gòu)特征關(guān)系，構(gòu)造出新2,則當(dāng) x 0 時(shí)，f (x)( 8C.既有極大值又有極小值D.既無極大值也無極小值，一、1 eA. (0,e) B. (0,<e)C. (-,-)D. (Je,e)e 2四、復(fù)雜構(gòu)造

6、，是對題意條件所給函數(shù)關(guān)系進(jìn)行深入分析, 函數(shù)，從而達(dá)到解決問題的目的。x例題 4.設(shè)函數(shù) f(x)滿足 x2f (x) 2xf (x) , f(2) xx解析：因?yàn)?x2 f (x) 2xf (x) ,所以x2f(x) xx e 所以 F(x) x2f(x),則 F(x) 。xf (x)e3， 2x2 f (x)3xex 2F(x)令 y ex 2F(x),則 yxx 2e e (x 2)e 2F (x) e ,x x當(dāng) y 0,則 x 2,當(dāng) y 0,則 0 x 2,所以y ex 2F(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,)上單調(diào)遞增， 2 ex2因?yàn)?F(2) 4f(x) 一，所以 e

7、2F(x) e 2F(2) 0, 2所以f (x) 0在(0,)上恒成立，即f(x)在(0,)上無極大值也無極小值。答案：D解惑練習(xí)5.已知定義在(0,)的可導(dǎo)函數(shù)f(x),滿足xf(x) (x 1)f(x),下列結(jié)論正 確的是()A. ef (1) 2f (2)B. ef(1) 2f(2)C. f (1) f (2)D. f (1) f (2)解惑練習(xí)解析11 _解惑練習(xí)1：解析：要解不等式 2 f (x) x 1,只要解不等式f (x) -x - 0,22,11令g(x) f (x) 2x，則只要解不等式 g(x) 0。1 一一 1 一 因?yàn)閒 (x),所以g(x) f (x) 0,即g(

8、x)在R上單調(diào)遞增。2 2因?yàn)閒(1) 1,所以g(1) 0,所以g(x) 0,則x 1。答案：B解惑練習(xí) 2 ：設(shè) g(x) xf (x) , g (x) f (x) xf (x)。因?yàn)?f (x)f3 0,所以 xf (x) f(x) 0,即 9) 0, xxx當(dāng)x 0時(shí)，g (x) 0, g(x)單調(diào)遞增。因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以g(x)是偶函數(shù)，1、1、，1 . _ _因?yàn)?a g(2)，b g( 2) g(2), c g(ln-) g(ln 2) , - In 2 2,所以b c a。答案：B解惑練習(xí)3：解析：設(shè)g(x) exf(x),因?yàn)?f x f x,所以 g(x) ex(f

9、 (x) f (x) 0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增。因?yàn)?f 2m 1 f 2 m e1 3m 0,所以 f(2m 1) f (2 m)e1 3m ,所以 e2m 1f(2m 1) e2 mf(2 m),即 g(2m 1) g(2 m),1所以 2m 1 2 m, m -。3答案：A解惑練習(xí)4:解析：設(shè)g(x)上學(xué)，ex因?yàn)?f (x) f (x),所以 g (x) f (x) x f(x) 0 , e所以g(x)在R上單調(diào)遞增。因?yàn)閒 (1) e ,所以g(1) 1。因?yàn)?f(lnx) x ,所以 f(lnx) 1,即黑xx1 1, g(lnx) g(1), xe所以 In x 1, 0 x e。答案：A解惑練習(xí)5:設(shè)