1、11.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（含答案）（高二）1.1 x（15北京理科）已知函數(shù) fx ln.1 x（I）求曲線y f x在點0, f 0處的切線方程；3x（n）求證：當 x 0,1 時，f x 2 x ； 3 3 x一 .（m）設(shè)頭數(shù)k使得f x k x 一對x 0, 1恒成立，求k的取大值.3【答案】（I） 2x y 0, （n）證明見解析，（出）k的最大值為2.【解析1試題分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出函敷在I = 0處的函最值及導(dǎo)數(shù)值，再用直線專程的點斜式國出直線方程；第二步要證明不等式在II成立，可用作差法構(gòu)造此數(shù)G = 1口工2G -+），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)FG）在區(qū)間（d 1）上的單調(diào)性，

2、由于，口） 0, 1 73尸G）在1）上為噌函數(shù)，則網(wǎng)/ Mo）=。，問題得證m第三步與第二步方法類很，構(gòu)造函 敢研究幽數(shù)單調(diào)性，但需要時參數(shù)/作討論，首先上e 62符合題意，其次當E 2時,不滿里題 意舍去，得出的最大值為二試題解析：（I）一1 x-2 一一f(x) lnr，x (仆)F，f 2，f(0)y f x在點0, f 0處的切線方程為2x y0；(n)當 x 0, 1 時，f x3x2 x ,即不等式f ( x) 34xx30,對x (0,1)成立，設(shè)1x_ x3F(x)ln4x -) ln(11x3x) ln(13x 、 一x)Zx -),則3F(x)2x40, 1 時,F（x）

3、0,故F（x）在（0, 1）上為增函數(shù)，則F(x)F(0)0,因此對 x (0,1),f(x)4x3)成立;3（出）使3x成乂，x 0,3等價于F(x)Inx3k(x)03F(x)x2)kx412 x20,2時，F(xiàn)（x）0,函數(shù)在（0, 1）上位增函數(shù)，F(xiàn)（x）F（0）0,符合題意;x(0, x0)x0(x0,1)F(x)-0+F(x)極小值Z令 F(x)2時,F（x）F（0）,顯然不成立,0，x041（，1），綜上所述可知：k的最大值為2.考點：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式；3.含參問題討論.（1）討論函數(shù)/5冶*）在（-2. （15年安徽理科） 設(shè)函數(shù)f （

4、x） x、 ，一 ，一， a ax b .,一）內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值;2記 f0(x) xa0x2 2b0,求函數(shù)f（sinx）0（$小乂）在（-3,3）上的最大值D；ac（3）在（2）中，取a。b0 0,求z b ）滿足D 1時的最大值。4【解析】試題分析 （ I）將 si 口 工代入 f （4）為 /（sin x） = sin a a sin x + b = sin.Y（sin .v- d）-b t x - xc因為三 x j 所以cosx30-2 2sinx 2. 按口的范圍分三種情充進行討論士當厘-2/WR時，曲款，國na單調(diào)層噌，無極值一當口之工石W7?時,函數(shù)

5、f區(qū) 口不單調(diào)遞遍，無極值.當一 2 白 3在（一；二；）內(nèi)存在唯一的.，使得2sini：=仃.之工三七時，函數(shù)fGiix）單調(diào)遞減；三式三時.函數(shù)/（口單調(diào)遞增一因此，一2之空y二占白R時，函數(shù)“sin在英處有極小值/（sin #：） = /（當=6 -HD當-工2時依據(jù)黨對值不等 M式可知|（sin-工（sin戈）IW（0二-曰）點口工十b-a臼以一憑.|十力一力：|，從而能夠得出liK必訕*-左包口.可在一：中上的最大值為。=I”.I+BTI（III）當DML即& 此 一 時UWa-01工7江5三3從l而二三匕（ 1 一依據(jù)式子恃征取a三。：5三，則I匯；+lJ 01,并且/一- 由此可

6、知，二二b-滿足條件DS1的最大值為1.442試題解析：（I） f（sinx） sin x asin x b sin x（sin x a） b, x .22f (sin x) (2sin x a)cos x ,因為一二.為j 所以05X30一-二(匕1口了: 22當匕26七五時m甌數(shù)/(由1單調(diào)道噌，無極值當425 WR時，函數(shù)工)單調(diào)旗城，無極倡當-2w八2在。三百內(nèi)存在唯一的知 使得2siii與山一日蘭三工七時，函數(shù),(山1藥單調(diào)遞述；/ 戈 三時，函敷冷單調(diào)建增一1因此，-2 i27 Sw*時，函數(shù)/(sin力在七處膏極小值(Sn/) = f(g)=匕土 24CII ) 一空天至?xí)r, |

7、/(sin琦一人$血W|二|(所-GAn丈十萬一瓦國口一磯I十I占一名11當(生-祖0-力)2眈 取x = 2,等號成立， air當g水與-切0時，取工=-,等號成立,由此可知,函數(shù)|(立口力一加(sin初在一J上的最大值為2)=1 口一嗎二|6-仍1. 牛(III) D4L 即|a|十向ML 此時。*口： WL-lWbWl,從而上二方一土Ml取口二 口為二1* 則| 口 +1 5 | 0時,f( x) x ；(n)證明：當k0,使得對任意x?(0, x0)，恒有f(x)g(x)；(出)確定k的所以可能取值，使得存在 t0,對任意的x?(0, t),恒有|f(x)- g(x)|x2 .【答案】

8、(i)詳見解析；(n)詳見解析；(m)k=1.【解析】試題分析：(I)構(gòu)造函數(shù)F (x) = f( x) - x = ln(1 +x) - x, x? (0, ?)，只需求值域的右端點并和 0 比較即可；(n)構(gòu)造函數(shù) G(x) =f(x)-g(x) =ln(1 + x)- kx,x? (0, ?)，即 G(x) 0, 1求導(dǎo)得G(x)=k1+x-kx +(1 - k)=(-,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) G(x)的形狀和最值，證明當 k0 ,使1+x得G(x) 0即可；(出)由(I)知，當k1時，對于x違(0,+ ), g(x) xf(x),故 g(x) f(x),則不等式 |f(x)- g(x) |

9、x2 變形為 k x- ln(1 + x) x2 ,構(gòu)造函數(shù) M( x)= kx-ln(1+x)-x2,x 造0, + ),只需說明 M(x) 0,易發(fā)現(xiàn)函數(shù) M (x)在k- 2+ (k- 2)2+8(k- 1)%,x? (0,必)一(一)遞增，而M(0) 0,故不存在；當 卜0 ,使得對任意的任意的x ? (0, xO)，恒有f(x) g(x),此時不等式變形為2ln(1 +x)- k x x ,2構(gòu)造 N( x) = ln(1 +x)- k x-x ,x違0, + ),易發(fā)現(xiàn)函數(shù) N (x)在x? (0,-(k+2)+J(k+2)+8(1-k)遞增,而N(0) 0 ,不滿足題意；當k=1

10、時，代入證 4明即可.試題 解析： 解 法一：(1)令 F (x) = f( x)- x = ln(1 +x) - x, x? (0,F 皎)=1+xx1+x當x? (0, ? ), F4x) 0 時，F(xiàn)(x)0 時，f(x)0,所以 G(x)在0, +?)上單調(diào)遞增,G(x)G(0) =0故對任意正實數(shù)Xo均滿足題意.1- k 1當 0k0.k k取x0=1-1,對任意x?(0, Xo)，恒有G(x)0 ,所以G(x)在0,Xo)上單調(diào)遞 k增,G(x) G(0) =0，即f(x) g(x).綜上，當k0,使得對任意的x? (0, X0)，恒有f(x)g(x).(3)當 k1 時，由(1)知

11、，對于x違(0,+ ), g(x) x f(x),故 g(x)f(x),|f(x)- g(x)|= g(x)- f(x) = kx- ln(1+x),令 M( x) = k x- ln(1 + x) - x2, x違0, + ),1-2x2+(k-2)x + k-1貝U有 M (x) = k- 2x=,1+x1 + x故當 x? (0,k-2 + J(k-2)2+8(k-1)時,m&)” 4M( x)在0,k- 2 + J(k：)+8(k- 1)上單調(diào)遞增，故 M(x) M(0) = 0 ,2 即|f(x)- g(x)|x，所以滿足題意的t不存在.當k0,使得對任意的任意的 x? (0, xO

12、)，恒有f( x) g(x).此時 |f(x)- g(x) |= f(x)- g(x) = ln(1 +x) - kx ,令 N(x) = ln(1+x) - k x-x2,x違0, + ),k.z、1 c-2x2-(k+2)x- k+1則有 N (x) = k - 2x=,1+x1+xc/ -(k+2) + v(k +2)2+8(1- k)故當 x? (0,-)-) 時，N (x) 0 ,4M( x)在0 -(k + 2) + J(k + 2) +8(1-k)上單調(diào)遞增，故 N(x)N(0)=0,42- (k+2)+ (k+2)2 +8(1- k)即f(x) - g (x) x，記x0與中較

13、小的為 xi ,4則當x? (0, X)時，恒有|f(x) g(x) | x2,故滿足題意的t不存在.當 k=1，由(1)知，當x違(0, + ), |f( x) - g(x) |= g(x) - f (x) = x - ln(1 +x),21-2 x - x令 H(x) = x- ln(1 +x)- x ,x違0, + ),貝U有 H (x) = 12x=,1+x1+x當x0時，H&)0所以H(x)在0,+ Y)上單調(diào)遞減，故 H(x) 0時，恒有| f( x) - g(x)|1 時,由(1)知，對于x違(0,+ ), g(x) x f(x),故 |f(x)- g(x) |= g(x) -

14、f (x) = k x- ln(1 + x) k x- x = (k- 1)x ,.2令(k- 1)x x ,解得 0 x 1時，對于x?(0,k 1)恒有|f(x)-g(x)|x2所以滿足題意的t不存在. k+1當k 1時，取k1 =,從而k k1 0,使得任意x? (0, x0)，恒有 f(x) k1x kx = g(x).,1- k此時 |f(x)- g(x)|=f(x)- g(x)(k1- k)x= x,2.1- k 21- k . .2令x x ,解得 0 x x ,221-k2記x0與中較小的為x1，則當x? (0, x1)時，恒有|f(x) g(x) |x , 2故滿足題意的t不

15、存在.當 k=1，由(1)知，當x違(0, + ), |f( x) - g(x) |= g(x) - f(x) = x- ln(1 +x),-2212x x令 M(x) x ln(1 x) x2,x 0, + )，則有 M (x) 1 2x -x-x,1 x1 x當x0時，M(x)0,所以M(x)在0,+ )上單調(diào)遞減，故M( x) 0時，恒有| f(x) - g(x)| 0 ;所以My。時j ru) 0時，gO) 0 ,所以咱 0時j以用) 0 時, I /(xt) - /(j) | /(l)-ltf-l =0 W1當陽4 0時，I /(jq) - /(七)區(qū) /- 1) - 1 * 時- (一m)4 金= I W -wi l-lm0 +所以，綜上所述府的取侑荒國是6L】)J試題分析:由f3 = -a:可分d三0 口兩種情fit來討論：1E）由（I）知當f?馬口時f （6在（0二十工 無最大值-當日 。時/工）最大值為了 ； 一 ；二一由e十E一1一因此無一；2口 2=Inc+tf _10一令 93g（G=1十匕-1則 彘4在（0=+）是噌函數(shù)當0 4仃亡1時,.（日）0：當口 1時4（口） 口:因此4的取值范圍是（0.1）試題解析:1 （I）力X）的定義域為+x）/（）=，一%若bMO則在包+）是單調(diào)圉孰若口 A 0地當x J。時尸（X） L當工e，L+