1、第一章晶體的結構a)晶體的共性：i. 長程有序：晶體中的原子按一定規則排列ii. 自限性：晶體自發地形成封閉幾何多面體的特性，晶面夾角守恒定律 各向異性：晶體的物理性質是各向異性的，是 區別晶體與非晶體 的中要特征。 密堆積：正方堆積：最簡單的堆積方式體心立方堆積：立方堆積和六角堆積：配位數為12配位數和致密度：配位數：一個原子球與最近鄰的相切原子的個數，如配位數為12即與1個原子求與相鄰的12個原子相切。致密度：晶胞中所包含的原子體積與晶胞體積的比值。布喇菲空間點陣原胞和晶胞布喇菲點陣：對實際晶體結構的抽象成無數相同的點的分布，把這些點構成的總體稱為布喇菲點陣。原胞：晶體中體積最小的重復單元

2、稱為原胞，他們并不是唯一的，但是體積總是相等的。 晶胞(布喇菲原胞)：晶體中體積不一定是最小的，但是能夠反映出晶體對稱的特征的重復 單元稱為晶胞。原胞基矢：原胞重復單元的邊長稱為原胞基矢，以a1、a2、a3表示。晶胞基矢：晶胞重復單元的邊長稱為晶胞基矢，以a、b、c表示。立方晶系:簡立方：晶y胞和原胞是統一的，對應一個結點。體心立方：原胞體積V= a1 ( a2*a3 ) / 2 = aA3 / 2 , a是晶胞邊長，又稱 晶格常數。一個體心立方晶胞對應兩個格點。面心立方：原胞體積 V=a1 - (a2*a3 )=玄人3 / 4 ;為晶胞體積的1/4，一個面心立方晶胞對應4個格點。NaCl結構

3、：間立方結構，一個原胞對應一個基兀，包含一個鈉離子一個氯離子。金剛石結構 簡單晶格：:構成面心立方結構，基元包含一個原子的晶格，又稱布喇菲格子。復式晶格：基兀包含兩個或者以上的原子的晶格。晶列、晶面指數：晶列的特征：1.取向；2.格點的周期。原胞基矢的晶列指數：設 (-x,-y,-z)的變換，變換矩陣為:0 0 -I 00 J鏡像操作：以x=0的平面為晶面，將任一點從(x,y,z) - (-x,y,z)變換矩陣為:-10A =o1.0a1,晶列的周期：值相鄰的結點之間的距離，并不是指晶列距離。分別是選晶列的旋轉操作限制： 受晶列周期的限制， 晶體只允許按照一定的角度進行選擇,擇：丄；.-4、6

4、這些角度，晶體的周期性不允許有5度的旋轉角。 n度旋轉角：其中的 n為1、2、3、4、6。n度旋轉反演角：表示經過n度旋轉之后再反演， 通常用一.:表示。其中 常被稱為 i表示，2用m表示。測量立方晶體介電常數：垂直于x軸或者y軸或者z軸切下一薄片晶體， 在晶體主表面鍍上電極，測量出他們的電容，即可求出介電常數。晶體結構的分類：七大晶系：立方晶系，六角晶系，四方晶系，三角晶系，正交晶系，單斜晶系，三斜晶系。十四鐘布喇菲格子晶胞：1簡單三斜、2簡單單斜、3.底心單斜、4簡單正交、5底心正交、 6體心正交、7面心正交、8六角、9菱面三角、10.簡單四方、11.體心四方、12.簡單立方、 13.體心

5、立方、14.面心立方。晶體X光衍射：SSS晶體的結合-價電子的相互作用決定了原子間相互作用的性質原子的電負性：核外電子分布原則：遵循泡利不相容原理，能量最低原理和洪特規則。 泡利不相容原理：包括自旋在內，不可能存在量子態全同的兩個電子。能力最低原理：在任何穩定的體系中，其能力最低。洪特規則：電子隨著能量由低到高依次進入軌道并先單一自旋平行地占據盡量多的等價軌 道。電離能：使原子失去一個電子所需要的能量。電子親和能：一個中性原子獲得一個電子稱為負離子所釋放的能量。電負性：用來度量原子吸引電子的能力。電負性的特征：1.周期表從上往下，元素的電負性逐漸減小。2. 一個周期內重金屬的電負性差別較小。金

6、屬性：易于失去電子的傾向稱為金屬性；易于獲得電子的傾向稱為非金屬性。晶體的結合類型：共價結合、離子結合、金屬結合、分子結合、氫鍵結合。共價結合：兩個電負性較大的原子可以各出一個電子，形成電子共享的形式， 它們的自旋是相反的，稱為配對原子，而配對方式稱為共價鍵。特點：硬度高，熔點高，熱膨脹系數小， 導電能力差。女口金剛石、C、Si。離子結合：一邊電負性小，一邊電負性大，因此相互吸引結合的方式，稱為離子鍵。結合動力為正負離子之間的庫侖力，特點：硬度高，熔點高，熱膨脹系數小，導電性差。如NaCI。金屬結合：特點：導電性，導熱性良好。如：Au、Ago分子結合：結合力為范德瓦爾斯力，極性分子之間的結合是

7、庫侖力；極性與非極性的結合也 是庫侖力；非極性分子之間的結合是電偶極矩的一種相互作用。如氫氣。氫鍵結合：氫原子電負性很大， 先誘導電負性大的原子形成共價鍵結合，后來由于氫核與負電中心不重合，由產生極化現象，此時具有正點的氫鍵的一端和通過庫侖力與另一個電負性 較大的原子結合。表示為：A-H-B;冰是典型的氫鍵晶體。結合力及結合能結合力的共性：隨著距離的增加，排斥勢比結合勢更快地減少，即排斥勢是短程效應。原子之間的相互作用力：吸引力是由庫倫引力引起的；排斥力有庫倫斥力和泡利不相容原理 引起而定。川(r)可以看出，當原子相距很遠的時候，相互作用力為零；當原子逐漸靠近時，原子間出現引力； 當r = r

8、m的時候，吸引力達到最大，接著吸引力開始減少，當r = r0的時候排斥力與吸引力相等，合力為0，對應勢能最低點。分子解體的臨界距離：即 rm，因為從這個點之后吸引力隨傳播距離而減少。結合能：自由粒子結合成晶體過程中釋放出的能量，或者把晶體拆散成一個個自由粒子所提供的能量。粒子的結合能 =原子動能+原子間相互作用勢能。當溫度在0K時，原子動能約為 0,故結合能=原子間相互作用的勢能。分子力結合：三種分子吸引勢都與（rA6）成反比。極性分子結合：極性分子之間存在著永久偶極矩每一個極性分子就是一個電偶極子，因此產生相互作用力。非極性分子結合：非極性分子間的相互作用時瞬間偶極矩與瞬間感應矩的作用。極性

9、分子和非極性分子的結合：非極性分子的電子云容易被極性分子的偶機電場所極化從而 產生誘導偶極矩。共價結合：理論基礎：只有當電子的自旋相反時兩個氫原子才結合成穩定的分子。共價鍵定義：自旋相反的兩電子稱為配對原子，稱配對的電子結構為 共價鍵。這種共享配對電子的結合方式稱為共價結合。離子結合：離子晶體的結合能主要來自庫倫能，排斥能僅是庫倫能絕對值的1 / n。離子的庫倫作用只與r的一次方成反比。晶格振動與晶體熱學性質：決定了晶體的宏觀熱晶格振動：晶體中的原子每時每刻都在其平衡位置附近做微振動。它 學性質。第二章、第三章和第五章的聯系：離子實質量比電子大很多， 那么電子運動速度比離子實快很多， 離子實可

10、以看作為靜止在平 衡位置，研究電子在離子實的勢場的運動規律。使用固體電子論。當考慮離子實的運動時， 電子運動很快，能跟上離子實的運動，相當于中性分子，做微小運動。用晶格振動理論。考慮以上兩者的相互作用時，用 能帶理論。一維晶格的相互作用力：第n個原子和第n+1個原子的互作用力：f= KUn + l - n)u是位移，B是常數，稱為彈性恢復力系數，B大于0時是向右的吸引力， 向左是小于0的排斥力。波恩-卡門條件：在實際原子鏈的兩端接上了全同的原子鏈之后， 由于電子之間的相互作用 力主要取決于近鄰，所以除兩端極少原子的受力與實際情況不符合以外， 其他絕大多數的原 子的運動并不受假想原子鏈的影響。格

11、波：在任意時刻，原子的位移有一定的周期分布，也就是原子的位移構成了波，這種波稱為格波。格波角頻率：w = 2吃)門噸進)顯然：qa / 2 = m n時，w的值并不會變化，出現周期性，即 q = 2n n / a時w不會變化，且 n為負數時，也成立，那么可以稱 w具有反演對稱性。設格波傳播速度為 v,則傳播速度由 v = w / q，以及 q = 2 n /得至X：V氓卩恤遺故波傳播的速度是波長的函數，波長不同格波傳播速度不同，故把w和q的關系成為色散關系。由伯恩卡門條件有：周期勢場，即第N個原子的位移與第n個原子相等。2d代入-n / q n / a周期條件有：-N /2 l 0時，sin(

12、qa / 2) qa / 2 ;則有：截止頻率：當 q = +- ( n / a)時，w的頻率稱為截止頻率，此時w為最大值:卜k =證1/3二維復式格子：研究質量為m和M的兩種原子的相互作用。一維復式格子的格波解：對格波相互作用力的影響利用波動方程可以解得：(p + P2 - Mm2) -(pl (pl +(pl + (32 - men2)有：1/2,(?)上嚴)“ +仍2m M16m5/0|0r . 亦(fii +A)J故說明二維復式格子存在著兩種格波，一個頻率較高，一個頻率較低，但兩者仍然具有 空間反演性 和周期性。即w(q+2n / a - w(q)以及w(-q) = w(q)。由波恩-

13、卡門邊界條件：即 5.-廠5 得到:qNa = 2 nl即波矢的數目等于晶體原胞的數目。由于一個波矢對應二維復式格子格波的兩個頻率， 故格波模式總數為 2N。而2N是總原子的數目，即晶格振動的模式數目等于原子自由度的 總和。聲學波和光學波：當q - 0時，較低頻率的格波和波束可以化為/皿qI隔 (皿 + M) (0i +0J(弘+色)(楓+ MmMAj ( m. + /W) +ft)顯然這里Va是常數，而波束為常數是彈性波的特點，而長聲學波就是彈性波。故稱wA為聲學波。如圖：K3.4 一維雙原子晶格的坯譜二維復式格子的格波的 Wo波段的最低頻率都比 Wa最高頻率都要大，因為為這種格波一般 工作

14、在光波頻率范圍，因此稱為 光學波。兩種格波的振幅之比：對于聲學波：ff B *民=_d沖)81 +爲同購當 q - 0, Wa - 0,即卩 B / A - 1。對于光學波：當 q - 0, AM + Bm = 0。聲學波和光學波的物理意義：對于長聲學波，原胞內的不同原子以相同的振幅和位相作整體運動，因此長聲學波代表了 質心的運動。對于長光學波，原胞中不同的原子作相對振動，質量大的振幅小，質量小的振幅大，保持質心不動。光學波對應的是 原胞內原子的相互作用，聲學波是原胞間作用。網上找的理解： 在長波極限下（q趨近0）:（1）對于光學波 w+，有大小原子振幅比等于負的小大原子的質量比（ B/A=-

15、m/M ）即 Am+BM=0.所以光學波在長波極限下，描述的是原胞（大小原子）質心不動，大小原子相對于質心的振動，由于是負號，所以大小原子振幅方向相反，就像一個大人和一個小孩玩蹺蹺板一樣，你上我下，你下我上。這就是你所問的描述的兩個原子的運動！ ”（2） 對于聲學波 w-，有大小原子振幅比等于 +1,即振幅大小和方向都相同。所以大小原子 可以看成是一個整體，就像一個大人抱著一個小孩一起掛在一根彈簧下，一起做上下振動。 就是原胞的質心在震動啦！這就是你所問的一個原胞的振動，其實就是兩個原子振動方向大小相同，看做是一個啦！三維晶格振動：考慮由n種原子構成的晶體，每一種原子的個數都為N1、N2、N3

16、，則總數為N=N1N2N3，那么波矢數也為 N。而一個波矢 對應的聲學波的數目為 3,表示沿三個即基 矢的方向的振動；光學波的數目為（3n-3）,表示n種原子之間的內部的相互振動；那么總的波的模式數位：N*（3n-3） + N*3 = 3nN。 故證明下面兩個特點：特點（必背）：1.晶格的波矢數目等于原子總數N=N1N2N3。2.晶體的格波的模式數等于晶體中所有原子數的自由度之和3nN。簡正振動模式、簡正振動數目、格波數目或格波振動模式數目的關系：簡正振動模式：為了使問題既簡化又能抓住主要矛盾，在分析討論晶格振動時，將原子 間互作用力的泰勒級數中的 非線形項忽略掉 的近似稱為簡諧近似。在簡諧近

17、似下，由N個原子構成的晶體的晶格振動，可 等效成3N個獨立的諧振子 的振動。每個諧振子的振動模式稱為簡正振動模式，它對應著所有的原子都以該模式的頻率做振動，它是晶 格振動模式中最簡單最基本的振動方式。原子的振動，或者說格波振動通常是這3N個簡正振動模式的線形迭加。簡正振動數目、格波數目或格波振動模式數目：簡正振動數目、格波數目或格波振動模式數目是一回事，這個數目等于晶體中所有原子的自由度數之和，即等于3N。晶格振動能與聲子： 頻率為wi的諧振子的振動能為：那么這些諧振子的能量的集合就是晶體的晶格振動能。聲子：顯然晶格振動能是離散的，分成每一份的。如果假設一種粒子，它具有的能量，那么可以把這種粒

18、子作為研究晶格振動能的量子，被稱為聲子，這是一種準粒子。如果把仿照光子的定義，那么可以得出聲子的動量為hii，稱為準動量。但聲子是虛設的粒子，因此并沒有真正攜帶真實的動量，因此聲子并沒有攜帶真實動量。影響振動能高低的因素： 聲子的數目多少； 能量大的聲子數目多。頻率為w的平均聲子數：1，lCw）=腫拓.J因此，只有當T 0 K時，才會出現聲子。當 T 0 K時，晶格振動譜的實驗測定方法：光子散射；中子散射；長波近似：指q 0時的近似方式。長聲學波分析：長聲學波：在長波近似的條件下，化作：1 Q屁汐3振幅關系：ft亠3+0卅劉最后得到帶入波動微分方程得到：2mu _ 2 A ”ar （m +M）

19、（厲 +伙）Hx2 1 1 Hx其中：_ 廠0保J皿）（風+民）結論：微觀波動方程與宏觀彈性波方程具有相同的形式，也就是說長聲學波就是彈性波長光學波分析：類比于極化波長光學波的原因：由于正負離子相對振動而形成的，當波長很長的時候，兩截面之間相 隔了很多原子平面，整個晶體被這些節面分割成很多薄層，由于正負電子的位移方向相 反，因此在每個薄層處出現極化電池，整個晶體被分層極化，因此離子晶體中的長光學 波可以看作為極化波。長光學波的LST關系：表述：:相對靜電介電常數:高頻測得的相對介電常數。特征：因為k卩 險故wLO wTO,即光學縱波頻率比光學橫波頻率要高。這是由于離子的位移引起極化電場，電場的

20、方向是阻礙電子位移的，即宏觀電場對離子位移起到了一個排斥力的作用，相當于彈簧振子系統中彈簧變硬，有效的恢復力系數變大，是縱波頻率升 高。有一些晶體在某一溫度下，其介電常數 會突然變得很大，即 -.，即產生自發極化由于卜:.-，但是實際上原子具有一定的質量，因此wLO不可能趨向無窮大，而.又是 常數，因此只能wTO-0，因為林優貴改，那么tO，即恢復力系數消失，因此 離子回 不到原來的位置，到達新的平衡位置，即晶體結構發生改變。在這個新的結構中，正負 離子存在固定位移偶極矩，即產生自發極化。由于長光學橫波可以和電磁場耦合，因此把長光學波橫波聲子稱為電磁聲子。長光學波縱波聲子稱為極化聲子。晶格振動

21、熱容理論： 晶體比熱的實驗規則： 在高溫時，晶體的比熱為3皿比kB為玻爾茲曼常量，N為晶體原子個數 在低溫時，晶體比熱按F趨向零。絕緣體：跟溫度有關的內能是 晶格振動能。金屬：與溫度有關的內能有兩部分：1.晶格振動能；2價電子熱動能 定容熱容定義：E為晶體平均內能。Cva是晶格振動比熱，Cve是晶體電子比熱。一般情況下，晶格振動比熱遠遠大于電子比熱，因此只討論晶格振動比熱。愛因斯坦模型：假設前提：晶體中所有原子都以相同的頻率做振動，即認為3N個諧振子是全同的。推導：由于每個聲子的能量為 hw，w頻率種類的n種，粒子數為3N,那么晶體的晶格 熱振動能為：F =代入：有：其中愛因斯坦溫度 定義：

22、X。因此愛因斯坦溫度反饋的是頻率的因子。卜化在100K300K的范圍高溫近似：有：I o|Cv = JNkb低溫近似：有：牲燈1。Cv = 3NkR（Y，l 聳低溫近似誤差大的原因：在低溫時，低頻聲子居多，頻率低的振動對熱容量貢獻 更大，因此在低溫下，晶體的比熱主要由長聲學波決定的。而愛因斯坦把所有的 格波都視為高頻的光學波，自然導致了在甚低溫時的愛因斯坦模型跟實驗誤差較 大。德拜模型：基本思想：晶體視為連續介質，格波視為彈性波。（長聲學波），并在甚低溫時忽 略掉長光學波的貢獻。模式密度：一支格波的模式密度為：為晶體的體積。對于彈性波，有三個格波，分別是一支縱波和兩支橫波,故總模式密度為:截止

23、頻率（德拜頻率.N額乓）德拜溫度:濃度高的、聲速大的固體德拜溫度高；一般在 200K400K 高溫近似：|cv = 3NkB低溫近似：測量德拜溫度的方法有二：實驗確定聲速，由德拜頻率的計算公式和德拜溫度的定義確定德拜溫度 測出材料的熱容量，由低溫近似的熱容量公式計算出德拜溫度。德拜模型的缺陷：忽略了各向異性。忽略了光學支的振動。晶體電子能帶理論布洛赫波函數布洛赫定理：晶體中電子的波函數是按晶格周期調幅的平面波 它的數學形式是：i k rk r e Uk ruk rUk rRn其中k是電子的波矢，R是電子的格矢 布洛赫定理的條件： 假設每個電子的運動看成獨立地在一個等效勢場中的運動。由于晶格的周

24、期性，因此晶體中的等效勢場V(r),滿足周期性的條件，即：V(R) = V(r + R布洛赫定理的證明： 證明哈密頓函數也是周期性的，即：H(r) = H(r + R證明平移操作算符 T(R)f(r) = f(r+R)與 哈密頓算符H(r)是對易的。即： T(R)H(r)f(r) = Hf+R)f(r+R) = Hf)T(R)f(r)那么T(R和 H(r)具有共同的本征函數f(r)。根據T和H的本征函數的特征，解出本質值 入的表達式。 最后有：Vk(r + R) = elk LRVk(T可以看出平面波函數滿足上式，這里的 k具有波矢的意義(參考題)。k是倒格 基矢構成的波矢。證明振幅的周期性：

25、VktO =小 5(門由上式得到：ut(r) - ut( + R)簡約布里淵區：證明|涕疋和譏描述的是同一個電子態。即：n(r)= W + K(r)同一個電子態應該具有同一個能量：即EQ = Ek+K)故一個能量本征值EQ對應了無數個本征函數創，因此把波矢的取值限制 在一個倒格原胞區間內，那么就稱這一個區域稱為簡約布里淵區。一個波矢的體積為：b (b2 X 蜩 _ n _ (2x)3N1N2N3 _讓故波矢密度為：p =Vc / (2 n )慘由于每一個波矢占有的體積為，但是由于N數目很大，因此每一個波矢占有 的體積很小，因此可以在簡約布里淵區看成準連續。近自由電子近似：把V(x)展開成傅立葉

26、級數：(兀)=人W*，由市場周期性條件v(x) = V(x+a)E(k) =2in特征：根據近自由電子近似得到的勢場表達式，當I I I ，散射波很強，當k遠 離i.:時，散射波很弱，此時波函數主要由平面波決定的，能量主要為 0級能量，類似于自由電子。 一維晶格的布拉格反射:根據上節所說的發生激烈的散射，設k為前進波，則-k為后退波，那 么由于每個格點的波程差相差為波長的整數倍，因此各散射波之間出現相干的現 象，導致出現強烈的散射波。當電子遭受最強的散射的時候，電子會出現兩個能態，兩個能級的差值為：E = 2|vn|禁帶寬度：由于這個能級導致的能量間隙稱。出現的地方為處。U.一個能帶最多容納2N個電子；序號小的能態密度大，序號大的能態密度最大。 平面波方法：求解三維勢場在布里淵區邊界的能態分布：2m(hk)-2rn-IV(Kn)l|AE = 2|V（Kii）|特點：當電子波矢落在布里淵區邊界上時，電子將遭受與布里淵區邊界平行的晶面族的強烈散射。布里淵區（畫圖）：布里淵區分別有最鄰近點（0,1）、（0,-1）、（1,0）、（-1,0）組成的垂直平分線圍成。次臨近點