1、遞推數列通項求解方法類型一：an 1panq(p 1)n 1p aiq(1解：方法 1 （遞推法）an2an 13 2(2an 23) 32n 2) 132n132 1 1 22 2 2an 332n 13。33n 1223(1 2 2方法 2 （構造法）：設an 12 an,即3, 數列an3是以a13 4思路 1 （遞推法）：anpan1q p( pan 2q) qpan 3思路 2 （構造法）：設an 1p an,數列an是以a1為首項、p為公比的等比數列,則anpn 1，即ana1pn1汙。1 p已知數列an滿足an1，求數列an的通項公式。為首項、2為公比的等比數列，則an3 42*

2、 12n 1，即an2n 13。類型二：an 1anf(n)思路 1 (遞推法)：anan 1f (n 1) a. 2f (n 2) f (n 1) a. 3f(n 3) f (n 2) f (n 1)n 1a-if(n)。i 1思路 2 (疊加法)：anan 1f(n 1)，依次類推有：an 1an 2f(n 2)、n 1an 2an 3f (n 3)、a?印f (1),將各式疊加并整理得ana1f(n)，即i 1n 1ana1f (n)。i 1例 2 已知印1，anan 1n,求。解：方法 1 (遞推法)：anan 1n an 2(nna123(n 2) (n 1) n ni 1方法 2

3、(疊加法)：anan 1n ,依次類推有：a“ 1na2a12，將各式疊加并整理得a. 6 n,i 21)n an 3(n2)(n 1) nn(n1)2an 2n 1、an 2an3n 2、nnn(n 1)ana1nn0i 2i 12n 1 n n 14 3 n(n 1)類型三an 1f(n) an思路 1 （遞推法）：anf(n 1) an 1f(n 1) f (n 2) a. 2f (n 1)f(n 2) f(n 3)an 3f(1) f(2) f (3)f( n 2)f (n 1) ai。a26an思路2（疊乘法）：電f （nan 1f（1），將各式疊乘并整理得f(1) f(2) f(3

4、)f(n例 3 已知a11,n an-解：方法 1 （遞推法）ann(n 1)方法 2（疊乘法）：旦an 11）,依次類推有:f2) f(n1an 1，1n 11an1)玄1O，依次類推有:an 1an 2f(3)f(n 2)、f (nn 2anan 1an 2an 2an 32) f(nan 2an 3f(n 3)、1），即a32a24a2a11，將各式疊乘并整理得3ana1ann 1 n 2 n 32n 1 n n 14 3 n(n 1)5類型四：an ipanqan i思路（特征根法）：為了方便，我們先假定aim、a2。遞推式對應的特征方程為x2pxq，當特征方程有兩個相等實根時,anc

5、nn i（c、d為待定系數，可利用aim、a2n求得）；當特征方程有兩個不等實根時X-I、X2時,anex/ifX2n 1（e、f為待定系數，可利用aim、a2n求得）；當特征方程的根為虛根時數列an的通項與上同理，此處暫不作討論。已知ai2、a23,ani6an ian，求an。解：遞推式對應的特征方程為x2x 6即x2x 60，解得Xi2、x2n i設aneXin1fx2，而ai2、a23，即2e2e 3f 3，解得.an9 2ni5i ( 3)ni。55n類型五：an 1panrqn（p q 0）-為公比的等比數列。q類型六：an 1panf（n）（p 0且p 1）思路(轉化法)：anp

6、an 1f (n 1)，遞推式兩邊同時除以af(n 1)a專n，我們令bn，那么問題就可以轉化為類型二進行求解了。ppp_n 1思路(構造法)：anpan 1n 1rq，an 1n 1q，則n 1rq,從而解得。那么an是以一qa1為首項,q例 5 已知a1anann 12，求an。解:an 12，則2n2n,解得1213an1為公比的等比數列，即2anan2nannp例 6 已知a12，an 14an2，求a.。na a1a解：an忖2，式子兩邊同時除以4得才聲-，令才bn，則1n1n 11bnbn 1，依此類推有bn 1bn 2、bn 2bn 32222n1n1b2各式疊加得bn，即2i

7、22n1n1n1nn1n1nbnth1 -i 222i 22i 122nnn1n nan4 bn4142。2類型七：an 1panr（an0）思路（轉化法）：對遞推式兩邊取對數得logman 1r logmanlogmp，我們令bnlOgman，這樣一來，問題就可以轉化成類型一進行求解了。2例 7 已知 610，an 1an,求an。2解：對遞推式an 1an左右兩邊分別取對數得n 1bn 12bn,即數列bn是以b1lg10 1為首項，2為公比的等比數列，即g 2b2“ 1因而得an10bn102。類型八：an1can（c 0）pandlg an 12lg an，令Ig anbn，則思路（轉

8、化法）：對遞推式兩邊取倒數得an 1也，那么丄d丄衛c anan 1c anc令bn，這樣，問題就可以轉化為類型一進行求解了。ann2 an例 8 已知印4,an i-，求an。2an1解：對遞推式左右兩邊取倒數得an 12a-12a-an 11丄1，令丄b-則2 a-a-b-1尹仁設b-11尹-，即2， 數列b-2是以127為44首項、1為公比的等比數列，則b-222- 272-1a-2- 27 類型九：a-1aa-b(c 0、ad bc 0)c a-d2- 1洛即b-思路（特征根法）：遞推式對應的特征方程為aX號即cx2(d a)x b 0。當特征方程有兩個相等實根x1x2時，數列cxa-

9、即 -aa-2cd為等差數列，我們可設a- 11a d2c1a da-2c（為待定系數，可利用a1、a2求得）；當特征方程有兩個不等實根X1、X2時，數列a-X1是以a-X2ai為a1X2為首項的等比數列, 我們可設a- Na-X2X21-1（為待定系數，可利用已知其值的項間接求得）;當特征方程的根為虛根時數列通項的討論方法與上同理，此處暫不作討論。X1例 9 已知aa-4a-12(-a-122），求a-。解：當-2時，遞推式對應的特征方程為X23。數列a-a-3是以a1X!a1X223 即x22x 3x 20,解得1為首項的等比數列，設23an11n 11，由a12得a22則3an313，即

10、比1 3n 1,an3從而an3n13n 11，an3n,n常見遞推數列通項公式的求法重、難點:1. 重點：遞推關系的幾種形式。2. 難點：靈活應用求通項公式的方法解題。【典型例題】例 1 %1囘b型。m) . an 1kankm mbk 1b.a1k，首項為k 1b、，n 1ban(a1)kk 1k 1(2)k1時,設an 1mk(an比較系數kmm bmanbk 1是等比數列，公比為anbk 1(a1)k 1kn1(1)k 1時，an 1anbkanf(n)型。例 2 %1anbn佝b)an是等差數列,f(n)，若f(n)可求和，則可用累加消項的方法。例：已知an滿足a1an 1an1n(

11、n 1)求an的通項公式。解:(1)k 1時，1an1ann(n1)anan 1an 1an 2an 2ana3a2a2ai對這個式子求和得:ana1A(nan1)k(anAn B)an 1kan(k 1)A n(k1)BA(k1)Aaa.(k1)BAb解得：Ak1. anAnB是以a1AB為首項，anAnB(a1A B) kn1an(a1AB)kn1An B將 A(3)f(n)nq(q0, 1)an 1k an1n 1n 1n等式兩邊冋時除以q得qq qqank1CnnCn 1Cn令q則qq/Cik(2)Bk為公比的等比數列、B 代入即可b則可設anf(n) an型。1時，當f(n) an3

12、an1k 1 (k 1)n可歸為冇1kanb型(1 )若f(n)是常數時，可歸為等比數列。1(2)若f(n)可求積，可用累積約項的方法化簡求通項。C11令an貝則Cn可歸為an 1kanb型。練習：1.已知an滿足a13an 12an1求通項公式。解：設an1m 2(anm)an 12anmm1a“ 11是以 4為首項，2為公比為等比數列“n1J1一ari14 2an2 12.已知an的首項a1an 1an2n(n N*)求通項公式。解:anan 12(n1)an 1an 22(n 2)例：已知:aian2n 1a2n 1(n 2)求數列an的通項。anan 1ana3a22n2n 3 2n

13、5解：an 1an 2an 3a2a12n 12n2n32n 1ana12n 12n 1ank例 4m an 1m an 1型。考慮函數倒數關系有ank(丄an 1anan 1m1an 22(n3)a3a2a2aiana121(n 1)2ann n3.已知an中,anan且ai2求數列通項公式。解:anan 1an 2a3a2an 1an 2an 3a2a1ann(n 1)a1n(n1)ann(n1)4.數列an中,an2門1n 1解:2門1anana1求an的通項。an 1an1anananbn設anbnbnbnbn 1bnbn12nbnbnbnbn1b3b2321b2bi222111bnb

14、122232n111 2n1bn22n2 2n5.已知：a11n 2時，an解：anAnB1an 1A(n設21111anan 1AnAB22221) B丄1 (l)n 1221 (2丿i1彳12 2n1 -22nan2n11an 122n 1a ，求an的通項公式。A1B122解得.an4n6是以 3 為首項,A 4B 6.a14 6312為公比的等比數列an4 n 63(丄)n 123an盯4n 6【模擬試題】1.已知an中,a13an 1an2n，求an。12.已知1an3an12（n 2）求an。3.已知an中，a1an2an 12（n 2）求an。21304.已知an中,an4an1

15、(n 2)求an。5.已知an中，2Snan -1，其前n項和Sn與an滿足2Sn1(n 2)ST(1)求證：Sn為等差數列(2)求an的通項公式6.已知在正整數數列an中，前n項和Sn滿足Sn1(an2)(1)求證：an是等差數列(2 )若bn求bn的前 n 項和的最小值1解:由an 1nan2得anananan 12n 1an 1an 22n 2a2a12ana12(1 2n 1)2nan2n2 a12n12解:3an得:an3( an 11)anan 1即%1是等比數列an1(a11)3nan1) 3n 112 3n3解:由an2an2nan2nan 12* 1成等差數列,an2n12(n 1)nann 22n14解:an2(anan2)an2(an2)an 1an2bn)設1an2即bn 1bn切1)bn是等差數列1an2V(n 1)1弓a1222an5解:SnSn 1(1 )2S：2Sn1SnSn