1、2019-2020 年高中數學必修 5 不等式解法及應用一課標要求：1不等關系通過具體情境，感受在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，了解不等式(組) 的實際背景；2元二次不等式1經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程；2通過函數圖像了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系；3會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設計求解的程序框圖。3二元一次不等式組與簡單線性規劃問題1從實際情境中抽象出二元一次不等式組；2了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組；3從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，并能加以解決。二. 命題走向分析近幾年的高考試題，本

2、將主要考察不等式的解法，綜合題多以與其他章節(如函數、 數列等)交匯。從題型上來看，多以比較大小，解簡單不等式以及線性規劃等，解答題主要 考察含參數的不等式的求解以及它在函數、導數、數列中的應用。預測xx年高考的命題趨勢：1.結合指數、對數、三角函數的考察函數的性質，解不等式的試題常以填空題、解答題 形式出現；2.以當前經濟、社會、生活為背景與不等式綜合的應用題仍是高考的熱點，主要考察考 生閱讀以及分析、解決問題的能力；3.在函數、不等式、數列、解析幾何、導數等知識網絡的交匯點命題，特別注意與函數、 導數綜合命題這一變化趨勢；4.對含參數的不等式，要加強分類討論思想的復習，學會分析引起分類討論

3、的原因，合 理分類，不重不漏。三. 要點精講1.不等式的解法解不等式是求定義域、值域、參數的取值范圍時的重要手段，與“等式變形”并列的“不 等式的變形”，是研究數學的基本手段之一。高考試題中，對解不等式有較高的要求，近兩年不等式知識占相當大的比例。(1)同解不等式(1)與f(x) F(x) g(x) F(x)同解；(2)與同解，與同解；(3)與f (x) g(x) 0 (g(x) =0同解)；2.一元一次不等式解一元一次不等式(組)及一元二次不等式(組)是解其他各類不等式的基礎，必須熟 練掌握，靈活應用。”(1)a 0ax a bn分*(2)a = 0情況分別解之。)a0f(x)g(x)0,0

4、。5.簡單的絕對值不等式絕對值不等式適用范圍較廣，向量、復數的模、距離、極限的定義等都涉及到絕對值不 等式。高考試題中，對絕對值不等式從多方面考查。解絕對值不等式的常用方法：1討論法：討論絕對值中的式于大于零還是小于零，然后去掉絕對值符號，轉化為一般 不等式；2等價變形：解絕對值不等式常用以下等價變形：2 2|x|ax aax0)，|x|ax2a2xa或x0)。一般地有：|f(x)|g(x)f(x)g (x)或f(x)g(x)。6.指數不等式(1) 當 a 1 時，f(x) . g(x);(2) 當 0 : a : 1 時,f (x)：g(x);7.對數不等式ni（a 0，b 0，logamb

5、n） logab, logab等,mlogba求的最大值和最小值。由題意，變量所滿足的每個不等式都表示一個平面區域，不等式組則表示這些平面區域 的公共區域。由圖知，原點不在公共區域內，當時，即點在直線：上，作一組平行于的直線: 可知：當在的右上方時，直線上的點滿足，即，而且，直線往右平移時，隨之增大。由圖象可知，當直線經過點時，對應的最大，當直線經過點時，對應的最小，所以，。1當時，；2當時，。8.線性規劃(1)平面區域一般地，二元一次不等式在平面直角坐標系中表示某一側所有點組成的平面區域。我們 把直線畫成虛線以表示區域不包括邊界直線。當我們在坐標系中畫不等式所表示的平面區域 時，此區域應包括

6、邊界直線，則把直線畫成實線。說明：由于直線同側的所有點的坐標代入，得到實數符號都相同，所以只需在直線某一 側取一個特殊點，從的正負即可判斷表示直線哪一側的平面區域。特別地，當時，通常把原 點作為此特殊點。(2)有關概念引例：設，式中變量滿足條件x - 4y 一 -3“ 3x+5y 蘭 25，x1在上述引例中，不等式組是一組對變量的約束條件，這組約束條件都是關于的一次不等 式，所以又稱為線性約束條件。是要求最大值或最小值所涉及的變量的解析式，叫目標函數。 又由于是的一次解析式，所以又叫線性目標函數。一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃 問題。滿足線性約束條

7、件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。在上述問 題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區域。其中可行解和分別使目標函數取得最大值和 最小值，它們都叫做這個問題的最優解。四典例解析題型1簡單不等式的求解問題例1. （XX京皖春，1）不等式組的解集是（）A.x| 1vxv1B.x|0vx3C.x|0vxv1D.x| 1vxv3答案：C2彳x 0的解集為（）A.x|x3C.x| x3D.x|1x0, x3.故原不等式的解集為x| x3。點評：簡單的分式不等式的解法是高中數學中常用到的求范圍問題工具，分式不等式的 解題思路是：分式化整式（注意分母不為零）。題型2:簡單的絕對值、涉及指數、對

8、數和三角的不等式的求解問題例3. （1） （xx全國，3）不等式（1+x） （1|x|）0的解集是（）A.x|0 xv1B.x|xv0且XM1C.x| 1vxv1D.x|xv1且xM1x a 0（2）（1997全國，14）不等式組1|飛+x 2+xA.x|0vxv2B.x|0vxv2.5C.x|0vxvD.x|0vxv3解析：（1）答案：D;解法一：x0時，原不等式化為：（1+x） （1x）0，（X+1） （x1）v0， 00(1+X)20,-XM 1,-XV0.且X半1o綜上，不等式的解集為XV1且X工一1o解法二：原不等式化為：或1解得1VXV1,2解得即XV1,原不等式的解集為XV1且X

9、 1o點評：該題體現了對討論不等式與不等式組的轉化及去絕對值的基本方法的要求。(2)答案：C解法一：當X2時，原不等式化為，去分母得(X+2) (3X)(X+3)(X2)，2 2 2即一X+X+6X+X6，2X12V0，。注意x2，得2 xx+6o即2x0注意OvxV2，得OvxV2o綜上得OvxV,所以選C。解法二：特殊值法取x=2,適合不等式，排除A;取x=2.5，不適合不等式，排除D;再 取x=,不適合不等式，所以排除B;選Co點評：此題考查不等式的解法、直覺思維能力、估算能力。例4. (1) (1995全國理，16)不等式()32x的解集是_o(2)(xx全國文5,理4)在(0,2n)

10、內，使sin xcosx成立的x取值范圍為()A.(,) U( n ,)B.(, n)C.(,)D.(, n) U(,)；2tx c2,(3)(06山東理，3)設f(x)=jogt(x2-1),x2,則不等式f(x)2的解集為()(A)(1,2) (3,)(B)(,)(C)(1,2)( ,)(D)(1,2)解析：(1)答案：x|2VxV4 將不等式變形得2 2則一X+8 2x，從而x2x8V0, (x+2) (x4)V0,2Vxv4,所以不等式的 解集是x|2VxV4.評述：此題考查指數不等式的解法；(2)答案：C解法一：作出在(0,2n)區間上正弦和余弦函數的圖象，解出兩交點的橫坐標和，由

11、圖46可得C答案。解法二：在單位圓上作出一、三象限的對角線，由正弦線、余弦線知應選C.(如圖47)(3)C;點評：特殊不等式的求解，轉化是一方面，借助于函數的性質和圖象也是解決問題的有 效手段 題型3:含參數的不等式的求解問題例5.(1)設不等式x2-2ax+a+2w0的解集為M如果M1,4,求實數a的取值范圍？(2)解關于x的不等式1(a1)。分析：該題實質上是二次函數的區間根問題，充分考慮二次方程、二次不等式、二次函 數之間的內在聯系是關鍵所在；數形結合的思想使題目更加明朗。解析：(1)M1，4有兩種情況：其一是M=，此時AvO;其二是 膳，此時=0或厶 0,分三種情況計算a的取值范圍。設

12、f(x)=x22ax+a+2，有A=(2a)2-(4a+2)=4( a2a-2)當0時，av 1或a2。設方程f (x)=0的兩根X1,X2，且X1X2，那么M=X1，X2，M 1，411時，原不等式與(x)( x2)0同解。 由于，原不等式的解為(一X,)U(2,)。2當av1時，原不等式與(x)(x2)v0同解。 由于，若av0,解集為(，2);若a=0時，解集為；若0vav1,解集為(2,)。綜上所述：當a1時解集為(一X,)U(2,+)；當0vav1時，解集為(2,)；當a=0時，解集為；當av0時，解集為(,2)。點評：考查二次不等式的解與系數的關系及集合與集合之間的關系。本題主要涉

13、及一元 二次不等式根與系數的關系及集合與集合之間的關系，以及分類討論的數學思想。M=是符，解得2vav，-a 3 00:-1或a 2合題設條件的情況之一，出發點是集合之間的關系考慮是否全面，易遺漏；構造關于 等式要全面、合理，易出錯。例6. (1) (06重慶理，15)設a0, nl,函數f (x)=alg(x2-2n+1)有最大值.則不等式logn(x2-5x+7)0的解集為_;(2) (06重慶文，15)設，函數有最小值，則不等式的解集為 _。解析：(1)由于函數有最大值，則。所以原不等式可轉化為，又因為x2_5x 7 =(x-5)230恒成立，由解得；24(2)由于函數有最小值，故。原不

14、等式化為，即。點評：含參數指數、對數不等式的處理原則是轉化為一般的不等式，兼顧到底數的分類 標準為兩種情況，這也是分類的標準。題型4:線性規劃問題”x - y +1 啟 0例7. (1) (06安徽，10)如果實數滿足條件y 7_0，那么的最大值為()Ix y 1 空 0A.B.C.D.y Ex(2) (06天津理，3)設變量、滿足約束條件0,表示的平面區域的x 蘭 2面積是（）（A）（B）（C）（D）x y _ 4I（3） （06北京理，13）已知點P（x，y）的坐標滿足條件y_x,點O為坐標原點，那y 一 1,么|PO |的最小值等于，最大值等于。3衫+a2y解析：（1）約束條件為 pxp

15、y 蘭 C2，選 c；x _0y -（2）A；（3）、點評：線性規劃的應用題也是高考的熱點，諸如求面積、距離、參數取值的問題經常出 現。題型5:不等式的應用例9. （06湖南理，20）對1個單位質量的含污物體進行清洗，清洗前其清潔度（含污物污物質量體的清潔度定義為：1物質一）為，要求清洗完后的清潔度為。有兩種方案可物體質量（含污物）供選擇，方案甲：一次清洗；方案乙：分兩次清洗。該物體初次清洗后受殘留水等因素影響， 其質量變為。設用單位質量的水初次清洗后的清潔度是，用單位質量的水第二次清洗后的清 潔度是，其中是該物體初次清洗后的清潔度。（I）分別求出方案甲以及時方案乙的用水量，并比較哪一種方案用

16、水量較少；（n）若采用方案乙，當為某固定值時，如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水 量最小？并討論取不同數值時對最少總用水量多少的影響。解析：（I）設方案甲與方案乙的用水量分別為x與乙由題設有=0.99,解得x=19。 由得方案乙初次用水量為3,第二次用水量y滿足方程：解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3。因為當 仁a 乞 3 時,x-z =4（4 -a） 0,即 x z,故方案乙的用水量較少。（II）設初次與第二次清洗的用水量分別為與，類似（I）得，（*），當為定值時* 5（爲心當且僅當時等號成立。于是+ =15(1 -c)100a(1 -c) -a -11

17、1此時c =1（不合題意,舍去）或 c =1（0.8,0.99）,10、5a10、5a將代入（*）式得2.5a-1 a-1,2 5a -a.故時總用水量最少，此時第一次與第二次用水量分別為:,最少總用水量是當仁a3時,T（a）二厶?-10，故T（）是增函數（也可以用二次函數的單調性判斷）。這說明，隨著的值的最少總用水量，最少總用水量最少總用水量。點評：通過實際情景建立函數關系式求解不等式問題成為高考的亮點，解題的關鍵是建 立函數模型，通過函數的性質特別是單調性建立不等關系求得結果。例10. （xx全國文24、理22）如圖61，為處理含有某種雜質的污水，要制造一底寬 為2米的無蓋長方體沉淀箱，污

18、水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出，設箱體的長度為a米, 高度為b米.已知流出的水中該雜質的質量分數與a、b的乘積ab成反比.現有制箱材料60平 方米.問當a、b各為多少米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小（A、B孔的面積忽略不計）？解法一：設y為流出的水中雜質的質量分數，則y=,其中k0為比例系數，依題意， 即所求的a、b值使y值最小。根據題設，有4b+2ab+2a=60（a0，b0），得b=（0vav30，當a+2=W取等號，y達到最小值。這時a=6，a=10（舍去） 將a=6代入式得b=3，故當a為6米，b為3米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小。解法二：依題意，即所求的a

19、、b值使ab最大。由題設知4b+2ab+2a=60（a0，b0），即a+2b+ab=30（a0，b0）。/ a+2b2 2+ab0，b0，解得0vab18即當a=2b時，ab取得最大值，其最大值為18。2b2=18.解得b=3，a=6。故當a為6米，b為3米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小。點評：本題考查綜合應用所學數學知識、思想和方法解決實際問題的能力，考查函數關 系、不等式性質、k k于是y2ab 30a - a22 a-a 32-64a 2k6434 -（a 2）a + 234-2 （a 2）64a 2k18最大值、最小值等基礎知識，考查利用均值不等式求最值的方法、閱讀理 解能

20、力、建模能力。五.思維總結1在復習不等式的解法時，加強等價轉化思想的訓練與復習解不等式的過程是一個等價轉化的過程，通過等價轉化可簡化不等式(組)，以快速、準確求解。加強分類討論思想的復習.在解不等式或證不等式的過程中， 如含參數等問題，一般要對 參數進行分類討論復習時，學生要學會分析引起分類討論的原因，合理的分類，做到不重不 漏。加強函數與方程思想在不等式中的應用訓練。不等式、函數、方程三者密不可分，相互 聯系、互相轉化如求參數的取值范圍問題，函數與方程思想是解決這類問題的重要方法在不等式的證明中，加強化歸思想的復習，證不等式的過程是一個把已知條件向要證結論的一 個轉化過程，既可考查學生的基礎

21、知識，又可考查學生分析問題和解決問題的能力，正因為 證不等式是高考考查學生代數推理能力的重要素材，復習時應引起我們的足夠重視。2.強化不等式的應用突出不等式的知識在解決實際問題中的應用價值，借助不等式來考查學生的應用意識。高考中除單獨考查不等式的試題外，常在一些函數、數列、立體幾何、解析幾何和實際 應用問題的試題中涉及不等式的知識，加強不等式應用能力，是提高解綜合題能力的關鍵因此，在復習時應加強這方面訓練，提高應用意識，總結不等式的應用規律，才能提高解決 問題的能力。如在實際問題應用中，主要有構造不等式求解或構造函數求函數的最值等方法，求最值 時要注意等號成立的條件，避免不必要的錯誤。3.突出重點綜合考查在知識與方法的交匯點處設計命題，在不等式問題中蘊含著豐富的函數思想， 不等式又為研究函數提供了重要的工具，不等式與函數既是知識的結合點，又是數學知識與 數學方法的交匯點，因而在歷年高考題中始終是重中之重。在全面考查函數與不等式基礎知 識的同時，將不等式的重點知識以及其他知識有機結合，進行綜合考查，強調知識的綜合和 知識的內在聯系，加大數學思想方法的考查力度，是高考對不等式考查的又一新特點。2019-2020 年高中數學必修 5 二元一