1、題庫分類填空題1. 緒論部分(1). 設 x= 3.214, y=3.213，欲計算 u= xy , 請給 出 一 個 精 度 較 高 的 算 式 u=.u=xyxy(2).設 y= f ( x1,x2) 若 x1,x2 ,的近似值分別為x1*, x2*,令 y*= f(x1*, x2*) 作為 y 的近似值 ,其絕對誤差限的估計式為 :| | f(x1*,x2 *)|x 1-x* 1|+ |f(x1*,x2*)|x 2-x* 2|(3). 要使20 的近似值的相對誤差限0.1%, 應至少取 _位有效數字？201=4,r110-(n-1) 0.410, a2a10.1%故可取 n4,即 4 位

2、有效數字。(4). 要使 17 的近似值的相對誤差限0.1%, 應至少取 _位有效數字？17 0.410,a1=4,110-(n-1) r2a10.1%故可取 n3.097,即 4 位有效數字。1xnexdx 試給出一種 數值穩(5). 對于積分In= e- 10定的遞推公式 _。I n- 1=(1 - In)/ n ,In0易知 I0=1- e- 1In=1 - nI n- 1故 In- 1=(1 - I n)/ n0k時，差商 f x,x1, ,xn0，當 nk 時，該差商是k-n 次多項式。f (n ) ()證明：因 f x , x1 , , x n n!注意到 nk 時， f(n) (

3、x)=0 ，n=k時， f (n)(x)=k!a k， ak 為 f(x) 的 k 次項系數。 (7f)n k-1由差分定義遞推 ,查 n=k-1,k-2,(3f)ok!(6).(c10 分 )設 g(x)和 h(x)分別是 f(x) 關于互異節點x1, , xn-1以及互異節點 x2 , , xn 的插值多項式，試用 g(x)和 h(x)表示 f(x)關于互異節點 x1, ,xn 的插值多項式 .解：令 (f(x)q(x)=Ag(x)(x-x n)+Bh(x)(x-x 1 )為待定 n(n-1)次多項式， A,B 為待定系數，注意到g(xk)=f(x k), k=1, ,n-1h(xk)=f

4、(x k), k=2, ,n-(7f)帶入得 A=1/x 1-xn,B=1/x n -x1,帶入 ok!x 是關于互異節點x0x1xn的(7). (a10f)設 lk( ), ,Lagrange 插值基函數，證明n(1)x k m l k ( x )x mm=0,1, ,nk0n(2)( xk x ) m l k ( x)0m=1,2, ,nk0證明：由插值唯一性定理知(1)。展開知（ 2）(8). (a10f)證明對于不超過 k 次的多項式 p(x)有np( x k )l k ( x )p( x),knk 0lk(x)是關于互異節點 x0,x1, , xn, 的 Lagrange插值基函數證

5、明：由插值唯一性定理知。(9). (a10f)設 p(x)是任意首次項系數為1 的 n+1次多項式， lk(x)是關于互異節點x0,x1, ,xn,的Lagrange 插值基函數n證明 p( x )p( x k )lk ( x ) w n 1 ( x)k0n其中 w n 1 ( x )( x x j )j 0證明：插值余項直接計算ok!(10). (a10f)已知函數y= f(x)在點 x0 的某鄰域內有n階連續導數， 記 xk= x0 +kh(k=1,2, ,n), 證明lim f x 0 , x1 , x n f ( n) ( x 0 )n!h 0： 因f x 0 , x1 ,f ( n

6、) ()證 明, x n n!(x0,x0+nh) 注意到 n階導數連續性，兩邊取極限 ok!(11). (c10f) 用等節距分段二次插值函數在區間0,1上近似函數ex, 如何估算節點數目使插值誤差110-6.2解：考慮子區間xi-1 ,xi 二次插值余項f ( x )P2 ( x )f(3) () ( xx i )( xx i1 / 2 )( xx i1 )3!emax( xx i )( xx i1/ 2 )( xx i1 )6 x i xx i1令 x=x i+1/2 +s(h/2)上式化簡為e max ( s1) s( s1) h36 1 s 18eh 323489令eh32316得

7、h 0.028413489210故子區間個數為N=2/h70.4, 取 N=71故插值節點數為2N+1=143(12). (b10 分 )設 f(x)在區間 a,b上有二階連續導數，P1(x)為其以 a,b 為節點的一次插值多項式，證明f ( x ) P ( x )( ba) 2max f ( x )x a, b18a x b證明：利用插值余項結果可得線性插值多項式 P1(x) 在子區間 a,b上的余項估計式，再估計最值 ok!f ( x )P1f()( x )2!( x a)( x b)hi2maxf / ( x )x a,b8a xb(13). (b10 分 )已知 s(x)是 0,2上的

8、已知自然邊界條件的三次樣條函數，試確定s(x)=12 xx 3 ,0x12b( x1)c( x1) 2d ( x1)3 , 1x2中的參數b,c,d解：利用邊界條件s/ (2-0)=0 及樣條函數定義可得b=-1,c=-3,d=1(14). (b10 分 )判斷下面2 個函數是否是-1,1上以 0為內節點的三次樣條函數。設(1)x 33 x 2x 2, - 1 x 0S(x)=3x 2x2,0x1x 3(2)5x 33x 2x2,- 1x0S(x)=3x 2x2,0x1x 3解： (1)是， (2)否。(15). (a10f)令 f(x)=x 7+ x 4+3x+1求 f20, 21, ,27

9、 及 f20, 21, ,28f ( n) ( )解： f x 0 , x1 , xn n!f20, 21,27=1f20, 21,28=0(16). (a10f)證明 n 階均差有下列性質：(1) 若 F(x)=cf(x),則Fx0, x1,xn=c fx0, x1,xn(2) 若 F(x)=f(x)+g(x),則Fx0, x1,xn= fx0, x1,xn+ gx0, x1,xnn證明： f x0 , x1 , , xn ak f ( x k )k0其中，a1k=( x kx 0 )( xkx k 1 )( xkx k 1 )( x kx n )ok!(17). (a10f)回答下列問題：

10、（ 1）什么叫樣條函數？（ 2）確定 n+1 個節點的三次樣條函數所需條件個數至少需要多少？（ 3） 三轉角法中參數mi 的數學意義是什么？答：（ 1）略（ 2） 4n 個（ 3） mi=S/ (xi) 即樣條函數在節點xi 處的一階導數。(18). (a10f)回答下列問題：（ 1）何謂 Hermite 插值問題？（ 2） Hermite 插值與一般多項式插值有什么區別？第2章擬合(1). 采用正交多項式擬合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常見的(9)問題.(2).在函數的最佳一致逼近問題中,評價逼近程度的指標用的是函數的 (10) 范數 . 在函數的最佳平方逼近問題中 ,評價逼近程度的指標用

11、的是函數的 (11) 范數 . 無窮范數 |f| ；2-范數( 3).3.計算題(1).(b10f) 設 f(x)-a,a的最佳一致逼近多項式為P(x),試證明(1) f(x) 是偶函數時 P(x)也是偶函數；(2) f(x) 是奇函數時 P(x) 也是奇函數。證明：（ 1）令 t=-x, 考查max|f(x)-P(x)|=max|f(-t)-P(-t)|=axaa tamax |f(t)-P(-t)|,故 P(-x)也是 f(x)-a,a的最佳一at a致逼近多項式，由最佳一致逼近多項式的唯一性知 P(-x)=P(x).（ 2）略。(2).(a10f)試確定 0,1區間上 2x3 的不超過二

12、次的最佳一致逼近多項式 p(x), 該多項式唯一否？解： p(x)=(3/2)x, 唯一。(3).求 f(x)= 2x3+x2+2 x- 1 在- 1,1上的最佳二次逼近多項式 P(x)。已知T 0(x)=cos0=1T 1(x)=cos=xT 2(x)=cos2=2x2-1T 3(x)=cos3=4x3-3xT4(x)=cos4=8x 4-8x2+1解 : f(x)=2 x3 +x2+2 x- 1- P(x)=2. 1T3(x)=1 T3(x)2312故 P(x)= f(x)- 1 T3(x)= 2 x3+ x2+2 x- 1- 2 x3 + 1 3x22= x2+ 7 x- 1 2(4).

13、求 f(x)=2x4 在 - 1,1上的 3 次最佳一致逼近多項式 P(x)。已知T 0(x)=cos0=1T 1(x)=cos=xT 2(x)=cos2=2x 2-1T 3(x)=cos3=4x 3-3xT4(x)=cos4=8x 4-8x2+1解： P(x)= 2x2- 1/4(5).求 f(x)=2x4 在 0,2上的 3 次最佳一致逼近多項式 P(x)。已知T 0(x)=cos0=1T 1(x)=cos=xT 2(x)=cos2=2x 2-1T 3(x)=cos3=4x 3-3xT4(x)=cos4=8x 4-8x2+1解：令 x=t+1, t-1,1, f(x)=g(t)=(t+1)

14、 4故 g(t)的 3 次最佳一致逼近多項式為P3 (t)=4t 3 +7t 2 +4t+7/8故 f(x)的 3 次最佳一致逼近多項式為P(x)=P 3(x-1)= 4x 3-5x2+2x-1/8(6).設 f(x)Ca,b, ,證明 f(x)的最佳零次一致逼近函數為 s(x)=(M+m)/2 ,其中 M 和 m 分別為 f(x)在 a,b上的最大與最小值。(7).證明 a,b上的正交函數系 H=h 1 (x), h2(x), ,hm(x) 是線性無關的函數系。證：寫出線性組合式子 2 分作內積求系數2 分(8).（ 10 分）求 f(x)=ln x ,x 1,2上的二次最佳平方逼近多項式的

15、法 (正規 )方程組。（要求精確表示，即不使用小數）解：取=span1,x,x 2,a,b=1,2法方程組為0 , 00 , 10 , na0( f , 0 )1 , 01 , 11 , na1( f , 1 )n , 0n , 1n , na n( f , n )計算知13 / 2 7 / 3 a 02 ln 23 / 27/3 15/4a12 ln 2 3 / 47 / 315/ 4 31/5a 28 ln 2 7 / 93解之得：a0=-1.142989, a1=1.382756,a2=-0.233507最佳平方逼近多項式為 P2(x)=-1.42+1.38x-0.233x2 平方誤差為

16、|f-P 2| 22 =(f,f)-a 0(f,0)a1(f,1) a2(f, 2 ) 0.4 10-5(9).設 f(x)在有限維內積空間span 0, , n上的最佳平方逼近為p(x),試證明， f(x)-p(x) 與中所有函數正交。n證明：查 p( x )akk ( x)k 0(f(x)-p(x), j)=(f,j)- (p(x),j)注意到 ak 是法方程組的解。而法方程組0 , 00 , 10 , na0( f ,0 )1, 01, 11 , na1( f ,1)n , 0n , 1n , nan( f , n )兩邊的 j- th分量為( j , 0) (j ,1) (j,n) =

17、(p(x),j)ok!n故k=1,n, (f(x)-p(x),k)=0, -(5分 )(p-f),p)=0-(5 分 )(f-p, f-p)=(f,f)-2(f,p)+(p,p)=(f,f)-(f,p)+(p-f),p)=(f,f)-(f,p) -(5分 )(11). 求下列矛盾方程組的最小二乘解x1 x 2 1x1x 222x12x 233x1x24解： x1=-29/12, x 2=-39/12寫出相應的法方程組 A TAx=AT b 5 分求解 x1=-29/12, x 2=-39/12 5 分(12). 推導用最小二 乘法解矛盾方程組Ax=b 的法方程組 AT Ax=A Tb解：給出目

18、標函數h (x)=|Ax-b|2 -5=x TA T Ax-2xT A Tb+b Tb -5求偏導得到駐點方程組AT Ax-A Tb=0-5(13). 證明： 0, , n 為點集 xi mi=1 上的線性無關族 法方程 GTGa= GTy 有唯一解。其中0 ( x 0 )1 ( x 0 )n ( x 0 )G0 ( x 1 )1 ( x1 )n ( x 1 )0 ( x m )1 ( x m )n ( x m )(10). 設 p( x)ak k ( x ) 是 在 空 間證：充分性） 。首先注意到若 a0,a1,.,ank0為方程組span0,n 中對 f(x)Ca,b的最佳平方a0 0+

19、 a1 1+ +ann=0（ 9）n的解，則必為方程組逼近 ,證明： (f-p, f-p)=(f,f)-ak (k ,f )( 0, 0) a0+ ( 1, 0)a1 + +( n , 0)an =0k 0( ,) a + (1, )a + +(n,1)a=0證：注意到 ak 是法方程組的解。而法方程組0 1011n(10).0 , 00 , 10 , na0( f , 0 )( 0, n) a0 + ( 1 , n)a1 + +( n , n) an=01, 01, 11 , na1( f , 1)的解。事實上，令0,1, , n分別與 (9)兩端作n , 0n , 1n , nan( f

20、, n )內積得 (10)，知也！TG|0（ 10）僅有 0 解(9) 也僅有0 解故設 | G 0, , n 無關。證必要性）。 0, , n 無關(9)僅有 0 解 即a =( a0,a1,.,an)0Ga0aTGTGa=( Ga)T(Ga)=| Ga|220GTG 正定| GTG|0| GTG| 0.(14). 若 0 (x),1(x), , n (x) 是點集 x1,x2, ,xmn上的離散正交族。( x )akk ( x ) 為給定k 0數據對 (xi,yi)(i =1,2, ,m)的最小二乘擬和函數。證明： ak( y,k )k0,1, , n( k , k )證：法方程系數矩陣為

21、0 ,00 ,10 ,nQTQ=1,01,11 ,nn ,0n ,1n ,n0 ,00001 ,1=000n ,n此時法方程為(0,0)a0( y, 0 )(1,1)a1( y, 1 )( n , n ) an( y, n )故 ak( y,k )k0,1, n( k , k )(15). 若 0 (x),1 (x), ,n(x) 是 a,b上的正交族。n( x )akk ( x) 為 f(x)的最佳平方逼近。k 0證明：ak( f ,k )k0 1,n( k,k ), ,證：法方程系數矩陣為0 ,00 ,10 ,nQTQ=1 ,01 ,11 ,nn ,0n ,1n ,n0 , 00001,

22、1=000n , n此時法方程為(0,0)a0( f , 0 )(1,1)a1( f , 1 )( n , n )an( f , n )( y,k )故 akk0,1,n(k , k )(16). 求函數 f(x)=|x| 在 -1,1上求關于函數 族 span1,x2,x4 的最佳平方逼近多項式。解： 由內積 (f ,g)=1f ( x ) g( x )dx , 令0=1 ，11=x 2 ,2 =x 4,計算知法方程0 , 00 , 10 , na0( f , 0 )1 , 01 , 11 , na1( f , 1 )n ,0n ,1n ,nan( f , n )22 / 32 / 5a01

23、得 2/32 / 52 / 7a11/ 22 / 52 / 72 / 9a21/ 3解之得：a0=15/185=0.117a1=105/64=1.64a2=-105/128=-0.820最佳平方逼近多項式為: 0.117+1.64x2-0.820x4(17). 求函數 f(x)= 1在 1,3上求關于函數族xspan1, x 的最佳平方逼近多項式。解 ： 由 內 積 (f,g)=3f ( x )g( x )dx , 令0=1 ，11 =x,計算法方程0 , 00 , 10 , na0( f , 0 )1, 01, 11 , na1( f , 1)n , 0n , 1n , nan( f , n )24a0ln 3得26/ 3a124解之得：a0=(13/2)ln3-6=1.14a1=3-3ln3=0.295最佳平方逼近多項式為 : 1.14-0.295x (18). 求 a,b,c的值，使(sin xabxcx 2 ) 2 dx 達到最小0解：就是求f(x)=sinx 關于函數族span1,x,x2 在0, 上的最佳平方逼近。(,)=f ( x )g( x )dx , 令=1，=x,由 內 積f g0012 =x 2計算知法方程0 , 00 , 10 , na0( f , 0 )1, 01, 11 , na1( f , 1)n , 0n