1、第一章第一章函數與極限函數與極限分析基礎分析基礎函數研究的對象極限研究的方法連續研究的橋梁第一節第一節 函數函數 一、一、函數的概念函數的概念定義定義 設給定非空數集設給定非空數集D,如果按照某個對應法則，如果按照某個對應法則，對于對于D中的每一個數中的每一個數x，都有唯一確定的實數，都有唯一確定的實數y與之與之對應，則稱對應，則稱y是定義在是定義在D上的上的x的的函數函數。 記作記作函數的兩個要素：函數的兩個要素：定義域和對應法則定義域和對應法則函數的表示法：函數的表示法：解析法、表格法和圖像法解析法、表格法和圖像法xD 自變量自變量 yf x因變量因變量定義域定義域分段函數：分段函數：一個

2、函數，在其定義域的不同部分可用不一個函數，在其定義域的不同部分可用不同的解析式表示，這種形式的函數稱為同的解析式表示，這種形式的函數稱為分段函數分段函數。常。常見的分段函數有見的分段函數有例例1符號函數符號函數y=sgnx =，它的定義域是，它的定義域是D= .1 ,x00 ,x=0-1 ,x0, 。1-1例例2 絕對值函數絕對值函數，定義域，定義域D= ,0,0 x xyxx x, 例例3 取整函數取整函數y= ，表示不超過，表示不超過x的最大整數，它的的最大整數，它的定義域定義域D= . x, 。二、函數的幾種特性、函數的奇偶性：、函數的奇偶性：設函數的定義域設函數的定義域D關于原點對稱關

3、于原點對稱若，有若，有f(-x)=f(x),則稱則稱f(x)為為D上的上的偶函數偶函數；若若 ,有有f(-x)=-f(x),則稱則稱f(x)為為D上的上的奇函數奇函數。xD xD 例如例如 函數與都是奇函數；函數與都是奇函數； 函數函數 與與 都是偶函數。都是偶函數。3yx3yxtanyx2yxcosyx結論：結論：奇函數圖形關于原點對稱；偶函數圖形關于軸奇函數圖形關于原點對稱；偶函數圖形關于軸對稱。對稱。、函數的周期性：、函數的周期性： ,滿足滿足f(x+T)=f(x),稱稱T為函數為函數f(x)的周期。通常說周期函數的周期是指的周期。通常說周期函數的周期是指0T最小正周期最小正周期。sin

4、yxcosyx2tanyxcotyx、函數的有界性：、函數的有界性：若若 ,使得使得0M ,xDf xM 有。、函數的單調性：、函數的單調性：212,xIxx1若對于 x、，且有 12,f xf x、 122,f xf x、2yx- ,+II,00,四、函數的運算：1、復合函數引例：自由落體運動的動能E是速度v的函數E=,而速度v又是時間t的函數v=gt，物體的動能E與t的關系就是由 函數與函數v =gt復合而成。212m v212Emv定義定義設設y=f（u）定義域為）定義域為 ，函數，函數u= 的值域的值域 且且,那么那么y通過通過u的聯系成為的聯系成為x的函數，則稱的函數，則稱y為為x的

5、復合函數，記為的復合函數，記為y= 其中其中y=f（u）叫做）叫做 1U x2U21UU 2,fxxU212Emgt外函數外函數，u= 叫做叫做內函數內函數，u叫做叫做中間變量中間變量。 X注注：兩個函數構成復合函數的關鍵是內函數的值域一定：兩個函數構成復合函數的關鍵是內函數的值域一定要在外函數的定義域中。要在外函數的定義域中。例如例如 定義域；定義域；定義域定義域;由于由于 的值域的值域 故不能把中間變量代入，如果要使復合函數有意義，必須故不能把中間變量代入，如果要使復合函數有意義，必須把限制在把限制在 ，為此必須限制的定義域為，為此必須限制的定義域為于是得復合函數于是得復合函數 yf uu

6、0,fD 21uxx,D ux,1,fRD R0,11,1 ,21,1,1 .yxx 、反函數定義定義 設設y=f（x ）為定義在）為定義在D上的函數，其值域為上的函數，其值域為W,若對于數集若對于數集W中的每個數中的每個數y，數集，數集D中都有唯一的一個數中都有唯一的一個數x使使f（x）=y，這就是說變量，這就是說變量x是變量是變量y的函數，這個函的函數，這個函數稱為函數數稱為函數y=f（x）的）的反函數反函數，記為，記為x= 其定義其定義域為域為W,值域為值域為D.習慣上用表示自變量，用表示因變習慣上用表示自變量，用表示因變量，函數量，函數f(x)的反函數用的反函數用表示。表示。 1,fy

7、 1xfy 1yfx注：函數注：函數y=f(x)與反函數在同一平面內的圖與反函數在同一平面內的圖行關于直線行關于直線y=x是對稱的。是對稱的。 1yfx例例 求函數的反函數。求函數的反函數。解：由可解得，交換解：由可解得，交換x、y的位置，得所求函數的反函數為，其的位置，得所求函數的反函數為，其定義域為（定義域為（0，1）。）。1xxeye1xxeyeln1yxyln1xyx四、初等函數四、初等函數、基本初等函數：、基本初等函數：常量函數常量函數C（C為常數）；指數為常數）；指數函數；冪函數函數；冪函數0,1xyaaa(yx為實數）；對數函數三角函數對數函數三角函數log(0,1);ayx a

8、asin ,yxcosyx,tan ,cot ,sec ,csc ;yx yx yx yx反三角函數反三角函數sin ,cos ,arctan ,yarcx yarcx yxcotyarcx六種函數統稱為六種函數統稱為基本初等函數基本初等函數。、初等函數、初等函數定義定義基本初等函數經過有限次四則運算與復合運算所基本初等函數經過有限次四則運算與復合運算所得的由一個解析式所表示的函數稱為得的由一個解析式所表示的函數稱為初等函數初等函數。例如：多項式函數，例如：多項式函數， 1011nnnnnpxa xa xaxa,x 是初等函數。是初等函數。 有理分式函數其定義域是有理分式函數其定義域是R中去掉

9、使中去掉使的根后的數集，也是初等函數。的根后的數集，也是初等函數。 nmPxQx 0mQx 在工程技術上常常要用到稱為雙曲函數的初等函數，在工程技術上常常要用到稱為雙曲函數的初等函數，其定義為：其定義為：雙曲正弦函數雙曲正弦函數2xxeeshx2xxeechxshxthxchx1chxcthxshxthx, , , ,00,22221,22,2ch xsh xsh xshxchx ch xch xsh xsinxx1.函數函數2.分段函數分段函數3.復合函數復合函數4.反函數反函數5.基本初等函數基本初等函數6.初等函數初等函數第二節數列的極限第二節數列的極限一、數列極限的定義、數列極限的定義

10、數列數列 ： 按一定規律排列的一串數按一定規律排列的一串數 稱為稱為數列數列，簡記作。數列也可作是定義在正整數，簡記作。數列也可作是定義在正整數集合上的函數集合上的函數 稱為數列的稱為數列的通項通項。12,.,.nx xx nx nxf n1,2,n 例數列當無限增大時，趨于例數列當無限增大時，趨于確定常數。確定常數。 nxf n3 412,.,.2 3nn nx11, 1,1,1,n nxnx nxlimnnxaa nn或x 213nxn sin2nnx11 26 47 74,.4916 25n 2133nsin2nn 時，21lim 33nnsin2n11,sin2nn11nn1lim 1

11、nnenlimlimnnnnxy及limlimlimnnnnnnnxyxylimlimlimnnnnnnnx yxylimlimnnnncxcxlimlimlim0limnnnnnnnnnxxyyy若22253lim734nnnnn22253lim734nnnnn2211253lim11734nnnnn20027007212.limnnn 2112.12.lim2nn nnnn知，11lim22nnn11lim22nnn內容小結內容小結第三節函數的極限第三節函數的極限x ,nxf nn f na f x,x 1f xx f xx yf xx f x limxf xAA X或者f x limxf

12、 xaxx limxfxax,x 0 xx1x 211xf xx1x 211,1xf xxx11xx時，0 x0 x 0.xxA時，f x0 x 0limxxfxA .f xA0,xx0 xx f xA0 x00,xxxx即記作0 x00,xxxx即記作0 x0 x0 x0 x0 x00fxA00f xA 000limlimlimxxxxxxfxAfxfxA的充要條件是 1,00,01,0 xxf xxxx0 x 00limlimxxxxfxAfxA 00limlim11xxf xx 00limlim11xxf xx 00limlimxxf xf x故當x0 00lim,lim,xxxxf x

13、Af xB 000limlimlimxxxxxxfxg xfxg xAB 00limlimxxxxkf xkf xkA 000limlimlimxxxxxxfx g xfxg xA B 000limlim0 .limxxxxxxfxfxABg xg xBx 22243lim352xxxxx2x22224322432limlim5235233xxxxxxxxxx.101101limnnnmmxma xa xab xb xb000,0,ab101101limnnnmmxma xa xab xb xb010111lim11nnn mxmmaaaxxxbbbxx00,0,anmbnmnm2112lim

14、11xx2112lim11xx2112lim1xxx1111limlim111xxxxxx12 0,fxgxh xx在點0 x ,f xh xg x 00limlim,xxxxf xg xA 0limxxh xA3sin !lim2nnn33sin !022nnnnnlim00,n233limlim0221nnnnnn3sin !lim2nnn0sinlim1xxx02x111sintan222xxxsintanxxx11sincosxxxsincos1xxxsincosxxx與OACOABOACSSS扇形0limcos1xx222cos11 cos2sin222xxxxx 20cos12xx

15、20lim02xx0lim cos10 xx0limcos1xx0sinlim1xxxsincos1xxx02x0sinlimsinxmxnx0sinlimsinxmxnx0sinlimsinxmx mxnxmxnxnx00sinlimlimsinxxmmxnxmnmxnxn0tanlimxxx0tanlimxxx000sin1limcsin1limlism1socoxxxxxxxxx0lim1 cosxxx0lim1 cosxxx002lim2lim22sinsin22xxxxxx1lim 1xxex 1,1xxxx有 1111111xxx 11111111xxxxxx 11111lim 1

16、lim11111xxxxexxx 1111lim 1lim11xxxxexxx1lim 1xxex111lim 1lim 1lim 11yyxxyyxyy111lim 1111yyeyy1lim 1xxex10lim 1ttte3lim 1xxx3lim 1xxx3333lim1xxex21lim 1xxx21lim 1xxx2211lim 1lim11ttttttx 時，t22111lim1ttet10lim 12xxx10lim 1 2xxx21220lim12xxxe0 xxx 或 0,f x 0 xxx 或2lim20 xx22xx當1lim0 xx1xx coslim0 xxx0 x

17、x |fx x 0 xxx 0limxxfx limxfx 或111lim,111xxxx 則稱是當 0limxxf x 0 xx0 xxx或 1f x0 xxx或 10,f xf x則2lim32xxx232xx2132xxx 當2lim32xxx 20sinxxxx 時， 、 、22000sinlim0,lim,lim1xxxxxxxxx ,f xg x lim0fxcg x或 ,f xg x f xOg x lim1f xg x .f xg x lim0f xg x f xog x limf xg x 00sin2limlim sin22xxxxxx0 x sin2xxx與00tansi

18、n1limlim1cosxxxxxxx0 x tan xx000tansinsinsinlimlimlim1 10cosxxxxxxxxxxx 0 x tansinxxtansinxxsin1 lim0 xxx、12 lim sin1xxx、013 lim sin0 xxx、4 lim sinxxx、不存在000,xx xxxx,xxx 第四節第四節 函數的連續性函數的連續性一、函數連續的概念一、函數連續的概念定義定義設函數設函數 的某一鄰域內有定義，的某一鄰域內有定義，如果當自變量的增量如果當自變量的增量 趨于零時，相應的函數值的增趨于零時，相應的函數值的增量量 也趨于零，則稱也趨于零，則稱

19、f(x)在點在點 處處連續連續。 0yf xx在點x00yf xxf x0 x0 x 00limxxf xf x0 x 00limxxf xf x 00limxxf xf xsinyx, sinsinyxxx2sincos22xxx0cos1, lim sin022xxxx00limlim 2sincos022xxxxyxsinyx 1sin,00,0 xxfxxx 001limlimsin0 xxfxxx 00limlim 00 xxf x0 x0 x0 xx0 xx 0limxxf x 00limxxf xf x0 xx 0limxxf x0 x 242xyf xx 242xyf xx2224limlim242xxxxx2224limlim242xxxxx2224l