1、7-7 1 回顧：求極值的一般步驟 求函數(shù)求函數(shù)z? ?f(x,y)極值的一般步驟：極值的一般步驟：第一步第一步 解方程組解方程組fx(x,y)? ?0 ,求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn)求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn).fy(x,y)? ?0第二步第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0,y0)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值 A、B、C.第三步第三步 定出定出B2?AC的符號(hào)，再判定是否是極值的符號(hào)，再判定是否是極值 . 7-7 2 回顧：多元函數(shù)的最值的求法 與一元函數(shù)相類(lèi)似，我們可以利用函數(shù)的與一元函數(shù)相類(lèi)似，我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值. 設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域

2、設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)，在上連續(xù)，在D內(nèi)內(nèi)可微且只有有限個(gè)駐點(diǎn)。可微且只有有限個(gè)駐點(diǎn)。 則可按如下方法求最值：則可按如下方法求最值： 將函數(shù)在區(qū)域?qū)⒑瘮?shù)在區(qū)域 D D 內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在函數(shù)值及在D D 的邊界上的最大值和最小的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值最小者即為最小值. . 7-7 3 7.7 條件極值與拉格朗日乘數(shù)法 條件極值條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值：對(duì)自變量有附加條件的極值 實(shí)例：求表面積為實(shí)例：求表面積為 S(固定固定) 、體積最大的長(zhǎng)方體積最大的長(zhǎng)方體的體積體的體積

3、 V(x,y,z)? ?xyz求極值求極值 2xy? ?2yz? ?2zx? ?S限制條件限制條件 7-7 4 求條件極值的方法 1. 轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值問(wèn)題. 2. 利用拉格朗日乘數(shù)法利用拉格朗日乘數(shù)法. 7-7 5 拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)要找函數(shù)z? ?f(x,y)在條件在條件? ?(x,y)? ?0下的下的可能極值點(diǎn)，可能極值點(diǎn)， 1. 先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù)F (x,y)? ?f(x,y)? ?(x,y)， 其中其中? ?為拉格朗日乘數(shù)為拉格朗日乘數(shù). 2. 由由 ? ?fx(x,y)? ?x(x,y)? ?0 ,? ? ? ?fy(x,y)? ?y(x,y)? ?0

4、 , ? ? ?(x,y)? ?0 .? ?解出解出x,y,? ?，其中，其中(x, y)就是可能的極值點(diǎn)的坐就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo). 7-7 6 更一般的情形 拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情況：拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情況：要找函數(shù)要找函數(shù)u? ?f(x,y,z,t)在條件在條件 ? ?(x,y,z,t)? ?0，? ?(x,y,z,t)? ?0 下的極值，下的極值， 先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù)F (x,y,z,t)? ?f(x,y,z,t)? ? ? ?1? ?(x,y,z,t)? ? ?2? ?(x,y,z,t) 其中其中? ?1,? ?2均為拉格朗日乘數(shù)，可由均為拉

5、格朗日乘數(shù)，可由 偏導(dǎo)數(shù)為零及偏導(dǎo)數(shù)為零及約束條件解出約束條件解出x,y,z,t，即得可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo)，即得可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo). 7-7 7 例題1 將正數(shù)將正數(shù)12分成三個(gè)正數(shù)分成三個(gè)正數(shù)x,y,z之和之和 使得使得32u? ?x y z為最大為最大. 解解 令令 F (x,y,z)? ?x y z? ? ?(x? ?y? ?z? ?12 ),32? ?Fx? ? ?3x y z? ? ? ?0? ? ?3? ?Fy? ?2x yz? ? ? ?0則則 ? ?(6,4,2)解得唯一駐點(diǎn)解得唯一駐點(diǎn)，32? ?F? ?z? ?x y? ? ? ?0? ? ?x? ?y? ?z? ?1232故

6、最大值為故最大值為umax? ?6? ?4? ?2? ?6912. 根據(jù)具體情況從實(shí)際問(wèn)題的物理、幾何、經(jīng)濟(jì)意義根據(jù)具體情況從實(shí)際問(wèn)題的物理、幾何、經(jīng)濟(jì)意義 可以判斷是否為最值可以判斷是否為最值 227-7 8 例題2 22x? ?y 在區(qū)域在區(qū)域(x,y)|x? ?y? ?50上上,求求z? ?22x? ?y? ? 1的最大值和最小值的最大值和最小值. 2解解 由由 (x? ?y? ?1 )? ?2x(x? ?y)zx? ? ?0 ,222(x? ?y? ?1 )(x? ?y? ?1 )? ?2y(x? ?y)zy? ? ?0 ,222(x? ?y? ?1 )222111111z(,)? ?

7、,z(? ?,? ?)? ? ? ?,2222221111,)和和(? ?,? ?),得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)(22227-7 9 例題2續(xù) x? ?yz? ?22x? ?y? ?1在邊界上在邊界上 (x,y)|x? ?y? ?5022利用拉格朗日乘數(shù)法得可能的最值點(diǎn)為利用拉格朗日乘數(shù)法得可能的最值點(diǎn)為（5，5）以及（）以及（5，5）：）： z(5,5 )=10/51 z(-5,-5)=-10/51 10 10 11? ? ? ?51 50 5211.比較可知比較可知 最大值為最大值為，最小值為，最小值為? ?22 7-7 12 小結(jié) 求條件極值的方法求條件極值的方法: 1. 轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值. 2. 利用拉格朗日乘數(shù)法利用拉格朗日乘數(shù)法. 注意要正確注意要正確 地寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù)和約束條件地寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù)和約束條件. 7-7 13 思考題 思考題思考題 若若f(x0,y)及及f(x,y0)在在(x0,y0)點(diǎn)均取得點(diǎn)均取得極值，極值， 則則f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)是否也取得極值？是否也取得極值？7-7 14 思考題解答 思考題解答思考題解答 不是不是.例如例如 f(x,y)? ?x? ?y,222