1、新浙教版數(shù)學(xué)九年級（上）新浙教版數(shù)學(xué)九年級（上） 3.4 3.4 圓心角（圓心角（2 2） 圓的軸對稱性圓的軸對稱性 （圓是軸對稱圖形）（圓是軸對稱圖形） 垂徑定理垂徑定理及其推論及其推論 圓的對稱性圓的對稱性 圓的中心對稱性圓的中心對稱性 （旋轉(zhuǎn)不變性）（旋轉(zhuǎn)不變性） 圓心角定理圓心角定理 1 圓心角所對的弧相等 在同圓或等圓中 圓心角所對的弦相等 如果圓心角相等 圓心角所對的弦的弦心距相等 2 弧所對的圓心角相等 在同圓或等圓中 弧所對的弦相等 如果弧相等 弧所對的弦的弦心距相等 2 弦所對的圓心角相等 在同圓或等圓中 弦所對的弧（同為劣弧或優(yōu)弧）相等 如果弦相等 弦的弦心距相等 2 弦心

2、距所對的弧相等 在同圓或等圓中 弦心距所對的弦相等 如果弦心距相等 弦心距所對的圓心角相等 弧所對的圓心角相等 在同圓或等圓中 如果弧相等 那么 弧所對的弦相等 弧所對的弦的弦心距相等 弦所對的圓心角相等 在同圓或等圓中 如果弦相等 那么 弦所對的弧（指劣弧）相等 弦的弦心距相等 在同圓或等圓中 如果弦心距相等 弦心距所對應(yīng)的圓心角相等 那么 弦心距所對應(yīng)的弧相等 弦心距所對應(yīng)的弦相等 3 結(jié)論：在同圓或等圓中，如果兩結(jié)論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對量相等，那么個弦心距中有一對量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各對量都相等它們所對應(yīng)

3、的其余各對量都相等 . . 幾何語言：幾何語言： 如圖，如圖，AOB =COD， ?CDAB=CD，OE=OF，AB . 推論：(圓心角定理的逆定理) 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余的各組量都分別相等。 B 搶答題搶答題 A 已知：如圖，已知：如圖，AB，CD是是O的兩條弦，的兩條弦，E O D OE，OF為為AB、CD的弦心距，根據(jù)這的弦心距，根據(jù)這 節(jié)課所學(xué)的定理及推論填空：節(jié)課所學(xué)的定理及推論填空： C F (1)如果如果AOB=COD，那么，那么 ， ， ;OE=OF AB=CD AB=CD AOB=COD AB=CD

4、 AB=CD （2）如果）如果OE=OF，那么，那么 ， ， ； AOB=COD AB=CD OE=OF （3）如果）如果AB=CD，那么，那么 ， ， AOB=COD OE=OF AB=CD （4）如果）如果AB=CD，那么，那么， ， 。 下面的說法正確嗎下面的說法正確嗎?為什么為什么? 如圖如圖,因為因為 ?AOB? ?A ?OB?， 根據(jù)圓心角、弧、弦、根據(jù)圓心角、弧、弦、 弦心距的關(guān)系定理可知：弦心距的關(guān)系定理可知： O AB?A?B?A?A B?B AOB=COD AB=CD OE=OF AB=CD O A E B C D F 一般地，圓有下面的性質(zhì) 在同圓或等圓中，如果在同圓或等

5、圓中，如果兩個圓心角兩個圓心角、兩條兩條弧弧、兩條弦兩條弦、兩個弦心距兩個弦心距中有中有一組量相等一組量相等，那么它們那么它們所對應(yīng)所對應(yīng)的其余的各組量都相等。的其余的各組量都相等。 AOB=COD AB=CD OE=OF AB=CD 例例3 3 如圖，等邊三角形如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于內(nèi)接于O，連結(jié)，連結(jié)OA, ,OB, ,OC，BC于點于點D. .連結(jié)連結(jié)BD, ,CD. .判斷四判斷四延長延長AO，分別交，分別交BC于點于點P，交，交 邊形邊形BDCO是哪一種特殊的平行四邊形，并給出證明是哪一種特殊的平行四邊形，并給出證明. . 解解 四邊形四邊形BDCO是菱形是菱形. .證明如下：

6、證明如下： AB=BC=CA， AOB =BOC =COA =120. （圓心角定理）（圓心角定理） BOD =180- -AOB =180- -120=60. 又又OB=OD， BOD是等邊三角形是等邊三角形. 同理，同理，COD是等邊三角形是等邊三角形. OB=OC=BD=CD，即四邊形，即四邊形BDCO是菱形是菱形. . 2 3cm，求它的外接，求它的外接 拓展拓展 已知等邊三角形已知等邊三角形ABC的邊長為的邊長為 圓半徑圓半徑. . 解解 如圖所示，連結(jié)如圖所示，連結(jié)OA, ,OB, ,OC，并延長，并延長AO交交BC于點于點D. . AB=BC=AC， AOB =COB=AOC =

7、120. OB=OC，DOB =COD =60 ODBC， 1設(shè)設(shè)OB=r，則，則OD= r. 21222?( r)?( 3)?r .2r=2cm. 3cmBAD =30，BD= . 例例4 4 已知：如圖，已知：如圖，ABC為等邊三角形，以為等邊三角形，以AB為直徑的為直徑的AD?DE?EBO分別交分別交AC, ,BC于點于點D, ,E. .求證：求證： . . 分析分析 連結(jié)連結(jié)OD, ,OE. .這樣我們只要證明這樣我們只要證明AOD =DOE=BOE，AD?DE?EB就能得到就能得到 . . 證明證明 如圖，連結(jié)如圖，連結(jié)OD,OE， 在等邊三角形在等邊三角形ABC中，中，A=60.

8、OA=OD， AOD是等邊三角形是等邊三角形. AOD =60. 同理，同理，BOE=60. DOE=180- -AOD- -BOE=180- -60- -60=60. AOD =DOE=BOE， AD?DE?EB. （圓心角定理）（圓心角定理） 做一做做一做 1、 如圖，已知點如圖，已知點O是是EPF 的平分線上一點，的平分線上一點，P點在點在圓外，以圓外，以O(shè)為圓心的圓與為圓心的圓與EPF 的兩邊分別相交于的兩邊分別相交于A、B和和C、D。 求證：求證：AB=CD 要證要證AB=CD AB=CD ，只需證，只需證OM=ON OM=ON 證明證明: 作作 , M 、 N 。 OMOM?ABA

9、B , , ONON?垂足分別為垂足分別為CDCD分析：分析： 聯(lián)想到聯(lián)想到“角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)”，作弦心距，作弦心距OMOM、ONON， ? ?MPOMPO? ?NPONPOB OM=ON P C N A M E OMOM?ABABONON?CDCDAB=CD . O D F 變式練習(xí)：變式練習(xí)： 如圖，如圖，P P點在圓上，點在圓上，PB=PDPB=PD嗎？嗎？ P P點在圓內(nèi)，點在圓內(nèi)，AB=CDAB=CD嗎？嗎？ B M E B C A E P N . O M P N . O D F D F 2 2、如圖、如圖, AB, AB、CDCD是是O O的兩條直徑。的兩條直徑。 (1

10、)(1)順次連結(jié)點順次連結(jié)點A A、C C、B B、D D，所得的四邊形是什么特，所得的四邊形是什么特殊四邊形？為什么？殊四邊形？為什么？ (2)(2)四邊形四邊形ACBDACBD有可能為正方形嗎？若有可能有可能為正方形嗎？若有可能 , ,當當ABAB、CDCD有何位置關(guān)系時，四邊形有何位置關(guān)系時，四邊形 ACBDACBD為正方形？為什么？為正方形？為什么？ （3 3）如果要把直徑為）如果要把直徑為30cm30cm的圓柱形原木鋸成一根橫截的圓柱形原木鋸成一根橫截面為正方形的木材，并使截面盡可能地大，應(yīng)怎樣鋸？面為正方形的木材，并使截面盡可能地大，應(yīng)怎樣鋸？最大橫截面面積是多少？最大橫截面面積是

11、多少？ （4 4）如果這根原木長）如果這根原木長15m15m，問鋸出地木材地體積為，問鋸出地木材地體積為多少立方米（樹皮等損耗略去不計）？多少立方米（樹皮等損耗略去不計）？ 解：如圖，所得的四邊形是矩形，理由如下：解：如圖，所得的四邊形是矩形，理由如下： ACAC，BDBD是是O O的直徑的直徑 AO=OC=OB=OD AO=OC=OB=OD 四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形 又又AC=BD AC=BD D D C C O O A A B B 四邊形四邊形ABCDABCD是矩形是矩形 當當ACBD時，四邊形時，四邊形ABCD是正方形 AC=BD=30cm AO=BO=15c

12、m S正方形ABCD=151524=450（cm2）=4.510-2（m2） V=4.510-215=0.675（m3） B 1、三個元素： 圓心角、弦、弧 O A1 B1 A 2、三個相等關(guān)系： (1) 圓心角相等 (2) 弧相等 (3) 弦相等 知一得二 1、如圖1，在，在O中， A AB=AC,ACB=60 , 求證求證AOB=BOC=AOC。 證明： AB=AC AB=AC，ABC是等腰三角形 ( ) ( ) 在同圓中，相等的弧所對的弦相等在同圓中，相等的弧所對的弦相等 AB=BC=CA 在同圓中，相等的弦所對的圓心角相等在同圓中，相等的弦所對的圓心角相等 ( ) ( ) AOB=BO

13、C=AOC O B C 又 ACB=60 ABC是等邊三角形，2 2（漳州中考）下列命題是真命題（漳州中考）下列命題是真命題的是（的是（ D D ） （A A）相等的圓心角所對的弧相等）相等的圓心角所對的弧相等 （B B）長度相等的兩條弧是等弧）長度相等的兩條弧是等弧 （C C）等弦所對的圓心角相等）等弦所對的圓心角相等 （D D）等弧所對的弦相等）等弧所對的弦相等 3、如圖4，AB是是O的直徑， BC=CD=DE，COD=35，求，求 AOE 證明： BC=CD=DE 的度數(shù)。 E D C O A COB=COD=DOE=35 AOE=1800-COB-COD-BDOE =750 4.4.如圖如圖, ,已知已知O O中中, ,弦弦AB=CD AB=CD 求證：求證：AD=BC AD=BC A A證明：證明：AB=CD AB=CD D DB B ABAB = = CD CD ( ) ( ) 在同圓中，相等的弦所對的弧相等在同圓中，相等的弦所對的弧相等 ABAB CDCD BD BD BD BD 即：即： AD AD BC BC AD=BCAD=BC ( ) (