1、學案6.4 數列求和自主預習案 自主復習 夯實基礎【雙基梳理】求數列的前n項和的方法(1)公式法等差數列的前n項和公式Snna1d.等比數列的前n項和公式()當q1時，Sn ；()當q1時，Sn.(2)分組轉化法把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數列，再求解.(3)裂項相消法把數列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項.常見的裂項公式；.(4)倒序相加法把數列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數列求和公式的推導過程的推廣.(5)錯位相減法主要用于一個等差數列與一個等比數列對應項相乘所得的數列的求和，即等比數列求和公式的推導過程的推廣.(6)并項求和法一個數列的前n項和

2、中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和.形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解.例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)如果數列an為等比數列，且公比不等于1，則其前n項和Sn.()(2)當n2時，().()(3)求Sna2a23a3nan之和時，只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據錯位相減法求得.()(4)數列2n1的前n項和為n2.()(5)推導等差數列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°sin22°sin23

3、6;sin288°sin289°44.5.()考點探究案 典例剖析 考點突破考點一 分組轉化法求和例1已知數列an的前n項和Sn，nN.(1)求數列an的通項公式；(2)設bn2an(1)nan，求數列bn的前2n項和.引申探究例1(2)中，求數列bn的前n項和Tn.變式訓練：已知數列an的通項公式是an2·3n1(1)n·(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n項和Sn. 考點二 錯位相減法求和例2(2015·湖北)設等差數列an的公差為d，前n項和為Sn，等比數列bn的公比為q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1) 求數

4、列an，bn的通項公式；(2) 當d>1時，記cn，求數列cn的前n項和Tn. 變式訓練：已知數列an的各項均為正數，Sn是數列an的前n項和，且4Sna2an3.(1)求數列an的通項公式；(2)已知bn2n，求Tna1b1a2b2anbn的值.考點三裂項相消法求和命題點1形如an型例3設各項均為正數的數列an的前n項和為Sn，且Sn滿足S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN.(1)求a1的值；(2)求數列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數n，有.命題點2形如an型例4已知函數f(x)xa的圖象過點(4,2)，令an，nN.記數列an的前n項和為Sn，則S2 017 . 變式訓練

5、：在數列an中，a11，當n2時，其前n項和Sn滿足San.(1)求Sn的表達式；(2)設bn，求bn的前n項和Tn.當堂達標：1.(教材改編)數列an的前n項和為Sn，若an，則S5等于()A.1 B.C. D.2.數列an的通項公式為an(1)n1·(4n3)，則它的前100項之和S100等于()A.200 B.200 C.400 D.4003.設f(x)，利用倒序相加法，則fff等于()A.4 B.5 C.6 D.104.若數列an的通項公式為an2n2n1，則數列an的前n項和Sn .5.數列an的通項公式為anncos ，其前n項和為Sn，則S2 017 .鞏固提高案 日積

6、月累 提高自我1.數列1，3，5，7，(2n1)，的前n項和Sn的值等于()A.n21 B.2n2n1C.n21 D.n2n12.設函數f(x)xmax的導函數為f(x)2x1，則數列 (nN)的前n項和是()A. B.C. D.3.已知函數f(n)n2cos(n)，且anf(n)f(n1)，則a1a2a3a100等于()A.100 B.0C.100 D.10 2004.數列an中，an1(1)nan2n1，則數列an的前12項和等于()A.76 B.78C.80 D.825.已知函數f(n)且anf(n)f(n1)，則a1a2a3a100等于()A.0 B.100C.100 D.10 200

7、6.在等差數列an中，a10，a10·a110，若此數列的前10項和S1036，前18項和S1812，則數列|an|的前18項和T18的值是 .7.整數數列an滿足an2an1an (nN)，若此數列的前800項的和是2 013，前813項的和是2 000，則其前2 015項的和為 .8.已知數列an滿足：a1，an1aan，用x表示不超過x的最大整數，則的值等于 .9.已知數列an中，a13，a25，且an1是等比數列.(1)求數列an的通項公式；(2)若bnnan，求數列bn的前n項和Tn.10.正項數列an的前n項和Sn滿足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求數列an的通

8、項公式an；(2)令bn，數列bn的前n項和為Tn，證明：對于任意的nN，都有Tn<.學案6.4 數列求和自主預習案 自主復習 夯實基礎【雙基梳理】求數列的前n項和的方法(1)公式法等差數列的前n項和公式Snna1d.等比數列的前n項和公式()當q1時，Snna1；()當q1時，Sn.(2)分組轉化法把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數列，再求解.(3)裂項相消法把數列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項.常見的裂項公式；.(4)倒序相加法把數列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數列求和公式的推導過程的推廣.(5)錯位相減法主要用于一個等差數列與一個等比數列對

9、應項相乘所得的數列的求和，即等比數列求和公式的推導過程的推廣.(6)并項求和法一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和.形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解.例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)如果數列an為等比數列，且公比不等于1，則其前n項和Sn.()(2)當n2時，().()(3)求Sna2a23a3nan之和時，只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據錯位相減法求得.(×)(4)數列2n1的前n項和為n2.(×)(5

10、)推導等差數列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°sin22°sin23°sin288°sin289°44.5.()考點探究案 典例剖析 考點突破考點一 分組轉化法求和例1已知數列an的前n項和Sn，nN.(1)求數列an的通項公式；(2)設bn2an(1)nan，求數列bn的前2n項和.解(1)當n1時，a1S11；當n2時，anSnSn1n.a1也滿足ann，故數列an的通項公式為ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.記數列bn的前2n項和為T2n，則T2n(212222n)(12342n).記A2122

11、22n，B12342n，則A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故數列bn的前2n項和T2nAB22n1n2.引申探究例1(2)中，求數列bn的前n項和Tn.解由(1)知bn2n(1)n·n.當n為偶數時，Tn(21222n)1234(n1)n2n12.當n為奇數時，Tn(21222n)1234(n2)(n1)n2n12n2n1.Tn變式訓練：已知數列an的通項公式是an2·3n1(1)n·(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n項和Sn.解Sn2(133n1)111(1)n·(ln 2ln 3)123(1)nnln 3，所以當n為偶

12、數時，Sn2×ln 33nln 31；當n為奇數時，Sn2×(ln 2ln 3)(n)ln 33nln 3ln 21.綜上所述，Sn 考點二 錯位相減法求和例2(2015·湖北)設等差數列an的公差為d，前n項和為Sn，等比數列bn的公比為q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1) 求數列an，bn的通項公式；(2) 當d>1時，記cn，求數列cn的前n項和Tn.解(1)由題意得即解得或故或(2)由d>1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6. 變式訓練：已知數列an的各項均為正數，Sn是數列an的前n項

13、和，且4Sna2an3.(1)求數列an的通項公式；(2)已知bn2n，求Tna1b1a2b2anbn的值.解(1)當n1時，a1S1aa1.解得a13.又4Sna2an3，當n2時，4Sn1a2an13.，得4anaa2(anan1)，即aa2(anan1)0.(anan1)(anan12)0.anan1>0，anan12 (n2)，數列an是以3為首項，2為公差的等差數列.an32(n1)2n1.(2)Tn3×215×22(2n1)·2n，2Tn3×225×23(2n1)·2n(2n1)2n1，得Tn3×212(2

14、2232n)(2n1)2n1682·2n1(2n1)·2n1(2n1)2n12.考點三裂項相消法求和命題點1形如an型例3設各項均為正數的數列an的前n項和為Sn，且Sn滿足S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN.(1)求a1的值；(2)求數列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數n，有.(1)解由題意知，S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN.令n1，有S(1213)S13×(121)0，可得SS160，解得S13或2，即a13或2，又an為正數，所以a12.(2)解由S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN可得，(Sn3)(Snn2n)0，則Snn2n或Sn3

15、，又數列an的各項均為正數，所以Snn2n，Sn1(n1)2(n1).所以當n2時，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.又a122×1，所以an2n.(3)證明當n1時，成立；當n2時，所以.所以對一切正整數n，有.命題點2形如an型例4已知函數f(x)xa的圖象過點(4,2)，令an，nN.記數列an的前n項和為Sn，則S2 017 .答案1解析由f(4)2可得4a2，解得a，則f(x)x.an，S2 017a1a2a3a2 017(1)()()()()1. 變式訓練：在數列an中，a11，當n2時，其前n項和Sn滿足San.(1)求Sn的表達式；(2)設bn，求bn的前n

16、項和Tn.解(1)San，anSnSn1 (n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由題意得Sn1·Sn0，式兩邊同除以Sn1·Sn，得2，數列是首項為1，公差為2的等差數列.12(n1)2n1，Sn.(2)bn，Tnb1b2bn(1)()().當堂達標：1.(教材改編)數列an的前n項和為Sn，若an，則S5等于()A.1 B.C. D.答案B解析an，S5a1a2a51.2.數列an的通項公式為an(1)n1·(4n3)，則它的前100項之和S100等于()A.200 B.200 C.400 D.400答案B解析S100(4×13)(4&

17、#215;23)(4×33)(4×1003)4×(12)(34)(99100)4×(50)200.3.設f(x)，利用倒序相加法，則fff等于()A.4 B.5 C.6 D.10答案B解析當x1x21時，f(x1)f(x2)設Sfff，倒序相加有2S10，即S5.4.若數列an的通項公式為an2n2n1，則數列an的前n項和Sn .答案2n12n2解析Sn2n12n2.5.數列an的通項公式為anncos ，其前n項和為Sn，則S2 017 .答案1 008解析數列anncos 呈周期性變化，觀察此數列規律如下：a10，a22，a30，a44.故S4a1

18、a2a3a42.S2 017S2 016a2 017×22 017·cos 1 008.鞏固提高案 日積月累 提高自我1.數列1，3，5，7，(2n1)，的前n項和Sn的值等于()A.n21 B.2n2n1C.n21 D.n2n1答案A解析該數列的通項公式為an(2n1)，則Sn135(2n1)()n21.2.設函數f(x)xmax的導函數為f(x)2x1，則數列 (nN)的前n項和是()A. B.C. D.答案A解析f(x)mxm1a，a1，m2，f(x)x2x，Sn.3.已知函數f(n)n2cos(n)，且anf(n)f(n1)，則a1a2a3a100等于()A.100

19、 B.0C.100 D.10 200答案A解析若n為偶數，則anf(n)f(n1)n2(n1)2(2n1)，所以an是首項為a25，公差為4的等差數列；若n為奇數，則anf(n)f(n1)n2(n1)22n1，所以an是首項為a13，公差為4的等差數列.所以a1a2a3a100(a1a3a99)(a2a4a100)50×3×450×(5)×4100.4.數列an中，an1(1)nan2n1，則數列an的前12項和等于()A.76 B.78C.80 D.82答案B解析由已知an1(1)nan2n1，得an2(1)n1·an12n1，得an2an(

20、1)n(2n1)(2n1)，取n1,5,9及n2,6,10，結果相加可得S12a1a2a3a4a11a1278.故選B.5.已知函數f(n)且anf(n)f(n1)，則a1a2a3a100等于()A.0 B.100C.100 D.10 200答案B解析由題意，得a1a2a3a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(43)(99100)(101100)(1299100)(23100101)50×10150×103100.故選B.6.在等差數列an中，a10，a10·a110，若此數列的前10項和S1036，前18項和S1

21、812，則數列|an|的前18項和T18的值是 .答案60解析由a10，a10·a110可知d0，a100，a110，T18a1a10a11a18S10(S18S10)60.7.整數數列an滿足an2an1an (nN)，若此數列的前800項的和是2 013，前813項的和是2 000，則其前2 015項的和為 .答案13解析由an2an1an，得an2anan1anan1，易得該數列是周期為6的數列，且an2an10，S800a1a22 013，S813a1a2a32 000，依次可得a51 000，a613，由此可知an1an2an3an4an5an60，S2 015S513.8.已知數列an滿足：a1，an1aan，用x表示不超過x的最大整數，則