1、幾何證明常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，二個角之間的相等。1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高， 利用 “三線合一 ” 的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的 “對折 ”法構(gòu)造全等三角形2) 遇到三角形的中線， 倍長中線， 使延長線段與原中線長相等， 構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的 “旋轉(zhuǎn) ” 法構(gòu)造全等三角形3) 遇到角平分線在三種添輔助線的方法， ( 1 ) 可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的 “對折” ，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理( 2 ) 可以在角平分線上的一點作該角平分線的

2、垂線與角的兩邊相交， 形成一對全等三角形。( 3 )可以在該角的兩邊上，距離角的頂點相等長度的位置上截取二點，然后從這兩點再向角平分線上的某點作邊線，構(gòu)造一對全等三角形。4) 過圖形上某一點作特定的平分線， 構(gòu)造全等三角形， 利用的思維模式是全等變換中的 “平移 ”或 “翻轉(zhuǎn)折疊 ”5) 截長法與補短法， 具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等， 或是將某條線段延長， 是之與特定線段相等， 再利用三角形全等的有關性質(zhì)加以說明 這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目6) 已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點向該線段的兩個端點作連線，出一對全等三角形。特殊方法

3、： 在求有關三角形的定值一類的問題時， 常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答例題精講第一部分：常見構(gòu)造全等三角形方法 例1、已知：如圖,在四邊形 ABCD中，BC >AB, AD=CD, BD平分/ ABC.求證：/A+/C=180°提示：在BC上截取線段 BM ,使BM = BA先證 ABD 9 MBD得AD= MD ,已知AD=CD ,等邊對等角，例2、已知：如圖1所示， ABC中，/ C90 , AC BC, AD DB, AE CF。通過鄰補角轉(zhuǎn)換。后面就迎刃而解了3求證：DE= DF證明：連結(jié)CDQ AC = BC? A ?BQ?ACB 9

4、0?, AD DBCD = BD = AD, ?DCB ?B ?AQAE=CF, ? A ?DCB, AD CDDADE DCDF DE = DF相關練習1、D為等腰Rt ABC斜邊AB的中點，DML DN,DM,DN>別交BC,CA于點E,F。(1) 當 MDN繞點D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF(2) 若AC=2,求四邊形 DECF勺面積。(1)提示：聯(lián)結(jié) CQ 證 ECD 9 AFAD貝U DE= DF1 _(2)通過王等可信Sg邊形ecfd 2 SVACB11S3邊形 ECFD 二二 2 212 2第二部分：倍長中線作法【夯實基礎】例： ABC中，AD是 BAC的平分線，且 BD=CD,

5、求證AB=AC方法1:作DE，AB于E,作DFXACT F,證明二次全等方法2:輔助線同上，利用積方法3:倍長中線AD【方法精講】常用輔助線添加方法一一倍長中線方式1 :延長AD到E, 使 DE=AD,連接BE方式2:間接倍長【經(jīng)典例題】作 CF± AD于 F,作BEX AD的延長線于E連接BEAC延長MDiU N, 使 DN=MD 連接CD例 1: ABC 中,AB=5,AC=3,求中線AD的取值范圍提示：畫出圖形，倍長中線 AD,利用三角形兩邊之和大于第三邊例2:已知在 ABC中，AB=AQ D在AB上,E在AC的延長線上,DE 交 BC于 F,且 DF=ER求證：BD=CE方法

6、1:過D作DG/ AE交BC于G,證明A DG庭A CEF方法2:過E作EG/ AB交BC的延長線于 G,證明A EFGA 方法3:過D作DG, BC于G,過E作EHU BC的延長線于 H證明 A BDG A ECH例3:已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且 BE=AC延長 BE交AC于F,求證：AF=EF提示：倍長 AD至G,連接BG,證明A BD8 A CDA三角形BEG是等腰三角形例4:已知：如圖，在 ABC中，AB 交 AE于點 F, DF=AC.求證：AE平分 BACAC , D、E 在 BC上，且 DE=EC 過 D作 DF / BA第1題圖提示：方法1:倍長

7、AE至G,連結(jié)DG方法2:倍長FE至H,連結(jié)CH例 5:已知 CD=AR / BDA=Z BAD, AE是4ABD的中線，求證：/ C=Z BAE提示：倍長AE至F,連結(jié)DF證明 A ABEi A FDE (SAS進而證明A AD庭A ADC (SAS)【融會貫通】1、在四邊形 ABCD中，AB/ DC，E為BC邊的中點，/ BAE=Z EAF, AF與DC的延長線相交 于點R試探究線段 AB與AF、CF之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論提示：延長AE、DF交于G證明 AB=GC AF=GF 所以 AB=AF+FC2、如圖，AD為 ABC的中線，DE平分 BDA交AB于E, DF平分 ADC交AC

8、于F.求證:第14題圖BE CF EF提示：方法1:在DA上截取DG=BD,連結(jié)EG、FG 證明 A BDE A GDE A DC障 A DGF 所以 BE=EG CF=FG利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2:倍長ED至H,連結(jié)CH FH證明 FH=ER CH=BE利用三角形兩邊之和大于第三邊3、已知：如圖,ABC中， C=90 , CM AB于 M , AT平分 BAC交 CM 于 D,交 BC于 T,過D作DE/AB交BC于E,求證：CT=BE.提示：過T作TNXABT N 證明 A BTN A ECD備選例題例 1、如圖，AD/ BG EA,EB分別平分/ DAB,/CBA解：（截長法）

9、在 AB上取點F,使AF= AQ AD® AFE （SAS/AD& / AFEZADE-+Z BCE= 180°/AFE+/ BFE= 180°故/ ECB= / EFB連FE FBE CBE (AAS故有BF= BC從而;AB = AD+BC例2、以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt ABD Rt ACE, BAD CAE 90，連接DE, M、N分別是BC、DE勺中點.探究:AM與D前位置關系及數(shù)量關系.（1）如圖 當 ABC為直角三角形時,AM與DE的位置關系是垂直線段AM與DE的數(shù)量關系是DE=2AM（2）將圖中的等腰Rt ABD繞點A沿逆時針

10、方向旋轉(zhuǎn)（0< <90）后，如圖所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由.7參考：不改變，倍長中線證全等。鞏固練習的延長1、在四邊形 ABCD 中，AB / DC, E為BC邊的中點，/ BAE= / EAF , AF與DC線相交于點F。試探究線段 AB與AF、CF之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論參考：方法較多，這里提供簡單的一個方法參考:AB = AF+ CF延長DF交AE的延長線于M點則 EMC 9 4EAB導 AB=CM再易證 AF=FM即證 AB= AF + FC2、已知：如圖， ABC中， C=90 , CM AB于M , AT平分 BAC交CM于D,交BC于

11、T,過D作DE/AB 交BC于E,求證：CT=BE.證明：參考融會貫通第三題3:已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且 BE=AC ,延長BE交AC A于F,求證：AF=EF參考：延長 AD到M使得AD = DM,聯(lián)結(jié)MB則 CAD 省 ABMID BM = AC, / BMD = /CAD. BE = AC,.1.BE= BM ./ BMD = / BED / BED = / AEF / AEF = / FAE .AF = FE 4:已知 CD=AB , / BDA= / BAD, AE 是 ABD 的中線，求證：/ C= / BAE參考：延長 AE至ij M使得AE =

12、 EM,聯(lián)結(jié)DM。則 BAE 9 ADME再證 AMD 9 AACD. . / C = / M = / BAE即證/ C=Z BAE自我測試1 .在 ABC中，高 AD和BE交于H點，且 BH=AC,則/ ABC= 45°2 .如圖，已知 AE平分/ BAC, BEXAE于 E, ED/ AC, / BAE=36° ,那么/ BED= 126°第2題第3題3 .如圖，D是4ABC的邊AB上一點，DF交AC于點E,給出三個論斷： DE=FEAE=CEFC/ AB,以其中一個論斷為結(jié)論，其余兩個論斷為條件，可作出三個命題，其中正確命題的個數(shù)是34 .如圖，在4ABC中

13、，AD為BC邊上的中線， 若AB=5, AC=3,則AD的取值范圍是 1<AD <4第4題第5題第6題5 .如圖，在 ABC 中，AC=BC /ACB=90° . AD 平分/ BAC, BEX AD 交 AC 的延長線于 F, E為垂足.則結(jié)論： AD=BF;CF=CQAC+CD=ABBE=CFBF=2BE,其中正確結(jié)論 的個數(shù)是（D ）A. 1B.2 C. 3D. 46.如圖，在四邊形 ABCD中，對角線 AC平分/ BAD, AB >AD,下列結(jié)論中正確的是 （A ）A. AB-AD>CB-CD B. AB-AD=CB-CDC. AB-AD<CB-

14、CDD. AB-AD與CB-CD的大小關系不確定.考查下列命題：全等三角形的對應邊上的中線、高、角平分線對應相等；兩邊和其中 一邊上的中線（或第三邊上的中線）對應相等的兩個三角形全等；兩角和其中一角的角平分 線（或第三角的角平分線）對應相等的兩個三角形全等；兩邊和其中一邊上的高（或第三邊上 的高）對應相等的兩個三角形全等.其中正確命題的個數(shù)有（A ）.A. 4個 B. 3個C. 2個 D. 1個一 1 一 一、8 .如圖，在四邊形ABCD中，AC平分/ BAD,過C作CE! AB于E,并且AE= （AB+AD ） 2，求/ ABC+Z ADC的度數(shù)。參考：/ ABC+Z ADC= 180°9 .如圖， ABC中，D是BC的中點，DELDF,試判斷 BE+CF與EF的大小關 系，并證明你的結(jié)論.參考：延長FD至ij M,使得FD =DM,聯(lián)結(jié)BM。BE+CF>EFI)10 .如圖，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2 Z ABC=Z AED=90° ,求五邊形 ABCDE的面積參考：聯(lián)結(jié)A、C, A、D,需用勾股定理。教師可 給學生講講勾股定理。S=411 .如圖，在 ABC 中，/ ABC=60° , A