1、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1 .本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必 將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2 .回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào) 框涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)框。寫在本試卷上無(wú)效。3 .回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。4 .考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的。(1)已知集合4 = x|-l vx<2 , B = xQ<x

2、<3f 則ZU8 =(A) (-1,3)(B) (-1,0)(C) (0,2)(D) (2,3)(2)若。為實(shí)數(shù)，且空 = 3 + i,貝=1 + i(A) -4(B) -3(C) 3(D) 4(3)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫年排放量(單位：萬(wàn)噸)柱形圖， 以下結(jié)論中不正確的是(A)逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著(B) 2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效(C) 2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)(D) 2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)-33-(4)向量。8 = (-1,2),貝U(2a + A)o =(A) -1(B)

3、 0(C) 1(5)設(shè)邑是等差數(shù)列4的前/項(xiàng)和.若q+q+%=3,貝iJS$ =(A) 5(B) 7(C) 9(6)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如 右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為(7)(A) 18<C) i6已知三點(diǎn)次LO)，B(o, 5 , C(2, y/3),(B)- 7(D)- 5(D) 2則4ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為(A)i©竽(8)右邊程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九 章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若 輸入的a, b分別為14, 18,則輸出的。=4 (D)-3CW)(A)<B)(C)<D)02

4、414否是否CM©解入w N是-37-(9)已知等比數(shù)列%滿足a】=1 , a3a$ = 4(a4 - 1),則 = 4(A) 2(B) 1(c4(D)-8CIO)已知4 B是球。的球面上兩點(diǎn)，405 = 90。，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐0-23。體積的最大值為36,則球。的表面積為(A) 36兀(B) 6471(C) 144 兀(11)如圖,長(zhǎng)方形4BCD的邊力B = 2 , BC = 1, O是4B的中點(diǎn).點(diǎn)P沿著邊5C,CO與D4運(yùn)動(dòng)，記N8OP = X.將動(dòng)點(diǎn)尸到4 8兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)/(%),則y = /(x)的圖像大致為(D) 25671DPl0 717c

5、37c,K 4 2 4 (A)O n 7t 3n714 2 4(B)AX。冗瓦3兀 .714 2 4(C)O n n 3n 3T4 2 4(D)(12)設(shè)函數(shù)/(x) = ln(l+|x|)二，則使得/(x)>/(2x-l)成立的x的取值范圍是1 + X(A) (1, 1)(B) (-co,1)U(l, + oo)33(C)(D) (-co,-|)ud, + co)第n卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必 須做答。第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。填空題：本大題共4小題，每小題5分。（13）已知函數(shù)/（x） = g?-2x的圖像過(guò)點(diǎn)（一1,

6、4）,貝ija =.x + y 50,（14）若x, y滿足約束條件貝1卜=2* + 的最大值為.x 2y +1 W 0,（15）己知雙曲線過(guò)點(diǎn)（4,石），且漸近線方程為/ = ±3%，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（16）已知曲線y = % + lnx在點(diǎn)（1,1）處的切線與曲線，二方2 + 3 + 2）% +】相切，則a =三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）NBC 中，。是 3C 上的點(diǎn)，4D 平分/8/C, BD = 2DC .sin Z2? sinZC(II)若/胡C = 60。，求N8.（18）（本小題滿分12分）某公司為了解用戶對(duì)其

7、產(chǎn)品的滿意度，從A, B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了 40個(gè)用戶， 根據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分，得到A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和B地 區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表.A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖頻率/組距0.0400.0350.030 0.0250.020 0.015 0.010 0.005 1O 40 50 60 70 80 90 100 滿意度評(píng)分B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表滿意度評(píng)分分組50,60)60,70)70,80)80,90)90,100頻數(shù)2814106（I ）在答題卡上作出B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過(guò)直方圖比 較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度（

8、不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）；B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖CII）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分,滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意估計(jì)哪個(gè)地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大？說(shuō)明理由.（19）（本小題滿分12分）如圖，長(zhǎng)方體28co-44GR中，48 = 16, BC = 10 t 44尸8,點(diǎn)從 尸分別在 44，Z）C上，41E=RF = 4.過(guò)點(diǎn)E,尸的平面a與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成 一個(gè)正方形.（I）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說(shuō)明畫法和理由）: （II）求平面a把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.（20）（本小題滿分12分）已知橢圓C：W

9、+ = l（a>6>0）的離心率為g,點(diǎn)（2,女）在C上.a b2（I ）求。的方程：（II）直線，不過(guò)原點(diǎn)。且不平行于坐標(biāo)軸，/與。有兩個(gè)交點(diǎn)/, 8,線段45的 中點(diǎn)為m.證明：直線。"的斜率與直線/的斜率的乘積為定值.(21)(本小題滿分12分)已知函數(shù) /(x) = Inx + a(y - x).(I )討論/(x)的單調(diào)性；(II )當(dāng)/(%)有最大值，且最大值大于2a-2時(shí)，求。的取值范圍.請(qǐng)從下面所給的22、23、24三題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題 目對(duì)應(yīng)的題號(hào)方框涂黑，按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分；不涂、多涂均按所答第一題評(píng)分；多答按所 答第一題

10、評(píng)分。(22)(本小題滿分10分)選修4- 1：幾何證明選講如圖，O為等腰三角形Z5C內(nèi)一點(diǎn)，OO與力BC的木底邊BC交于M, N兩點(diǎn)，與底邊上的高X。交于點(diǎn)G，/ 且與力E, NC分別相切于廣兩點(diǎn).(I)證明：EF/BC；yY(II)若ZG等于的半徑，且4£ = MV = 2如，/10)求四邊形EBCF的面積.b J%(23)(本小題滿分10分)選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程X = f CQN zy在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線G： 一.'。為參數(shù)，= 0)，其中OWav-在 y = isina,以。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線。2： P = 2sin0, C3：

11、p = 2/cosJ.< I )求C2與G交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(I)若G與。2相交于點(diǎn)a G與G相交于點(diǎn)8,求|4B|的最大值.(24)(本小題滿分10分)選修4一5：不等式選講設(shè)a,6,c,均為正數(shù)，且。+ 8 = c + d.證明：(1 )若 ab > cd ,貝ij 4a + 4b > 4c +；(II)6+后五+后是|a-b|v|c-d|的充要條件 # 2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)試題答案及評(píng)分參考(1) A(2) D(3) D(4) CA(7) B(8) B(9) C(10) C(11) B一.選擇題(6) D(12) A二.填空題(13) -2(14

12、) 8(15) -/ = 1(16) 84三.解答題(17)解：(I )由正弦定理得_ BD 4D = DCsin ZB sin ABAD" sinZC sinZG4£>因?yàn)镹O平分N而C, BD = 2DC ,所以sin- = DC =1sinZC- BD _2,(II )因?yàn)?。= 180。一(乙£4。+ /8), ABAC = 60° ,所以sinZC = sin(ZBAC + NB) = -cos Z.B + gsin/8.由(I )知2sinN8 = sinNC,所以麗/3 =且，即/8 = 30°.3(18)解：(I )頻率/

13、組距0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.00550 60 70 80 90 100滿意度評(píng)分通過(guò)兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的 平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，而A 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散.(ID A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大.記g表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”；品表示事件：“B地區(qū)用 戶的滿意度等級(jí)為不滿意”.由直方圖得尸(g )的估計(jì)值為(0.01 + 0.02 + 0.03)x10 = 0.6,尸(G)的估計(jì)值為 9005 + 0.02)x10 =

14、 0.25.所以A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大.(19)解：(I )交線圍成的正方形七尸如圖：(H)作EA/JL45,垂足為貝IJZA/=Z1E = 4, EBX =12,= A41=8.因?yàn)橥?G產(chǎn)為正方形，所以EH = EF = BC = 10.于是MH = YEH? -EM? =6, AH = 10, HB = 6.因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面a分成兩個(gè)高為10的直棱柱，所以其體積的比值為2 (2也正確).7 9(20)解：(I)由題意有*2 -，=顯，4 +芻=1，a 2 a2 b2解得。2=8, b2 =4.所以C的方程為± + 4=1.8 4-85-(II)設(shè)直線/： y =

15、 H + 6 (上，。，方工。)，4芭,乂)，8(%，2)，M(Xm，w)將y =狂+ b代入 + A- = 1得(2 月 2 +1)*2 +4 4加+2。2-8 = 0.X. + x2 -2kb., b故”"京丁 ".”=赤7于是直線0M的斜率k()M =及 =一二，即k0M - k = -彳 xM 2k2所以直線。河的斜率與直線/的斜率的乘積為定值.(21)解：(I ) /(X)的定義域?yàn)?0,+8), /x) = -a. X若a W0,則r(x)>0,所以/(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增.若 a>0,則當(dāng) W(0/)時(shí)，/V) > 0 ：當(dāng) xwd,

16、+oo)時(shí)，f'M < 0 .所以/(x)在 aa(0,1)單調(diào)遞增，在d, + oo)單調(diào)遞減 aa(H)由(I )知，當(dāng)a<0時(shí)，/(x)在(0,+oo)無(wú)最大值：當(dāng)。>0時(shí)，/(¥)在工=工 a取得最大值，最大值為 /(-) = ln(-) + a(l-) = -lna + a-1 . a aa因此 /()> 2a-2 等價(jià)于 In a + a -1 < 0. a令g(a) = lna + a 1,則 g(a)在(0,+8)單調(diào)遞增,g(l) = 0 .于是，當(dāng) Ova <1 時(shí)，g(a)vO：當(dāng)a>l 時(shí)，g(a) >

17、0.因此，a的取值范圍是(0,l).(22)解：(I )由于力BC是等腰三角形，AD工BC ,所以力。是NC48的平分線.又因?yàn)?。分別與48, ZC相切于點(diǎn)£,尸，所以2H =力尸，故4DJLEF.從而 EF / BC .(II)由(I )知，AE = AF, MOJLKF,故 4。是 斯的垂直平分線.又上尸為OO的弦，所以。在力。上.連結(jié)OE, OM ,則OEJ.4上.由4G等于。的半徑得40 = 2OE,所以NO/E = 30°.因此28C和力七尸都是等邊三角形.因?yàn)锳E = 2所以40 = 4, OE = 2.因?yàn)?O" = OE = 2, DM= 6 所

18、以 OE> = L2于是2。= 5,所以四邊形ESC產(chǎn)的面積為lx涯與2、追x(275)2x =. N J/ J一86(23)解:（I ）曲線6的直角坐標(biāo)方程為1+/-2丁 = 0,曲線G的直角坐標(biāo)方程為 x2 + y2 - 2Gx = 0 .f_V3聯(lián)立：+1-2：0，解得FU，或 ' 一石X2 + y - 2>/3x = 0,» = o,3片王所以Q與。3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（0, 0）和（學(xué),|）.（II）曲線G的極坐標(biāo)方程為" = a（p R,夕n 0）,其中0WaV7t.因此力的極坐標(biāo)為（2sina,a）, 5的極坐標(biāo)為（2百cos a, a）.所以 | 4研=| 2sina - 2/3cosa |= 41 sin(a y)|.57r當(dāng)。=?時(shí)，M團(tuán)取得最大值，最大值為4. 6(24)解：(I )因?yàn)?(Va + Vb)2 = a + d + 2>ab , (>/c+ 7J)2 =c + d + 2>/cd , 由題設(shè) a + 6 = c + d, ab>cd 得 (Va + Jb)2 > (>/c + fd)2.因此 4a +4b > 4c +>/d .(II ) ( i ) a-b<c-d,則(”)2 V(cd)2,即(a + b)2 - 4ab &l