1、(了解直接證明的兩種基本方法了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法分析法和綜合法/了解分析法和綜合法的了解分析法和綜合法的思考過程、特點思考過程、特點/了解間接證明的一種基本方法了解間接證明的一種基本方法反證法反證法/了解反證法的思了解反證法的思考過程、特點考過程、特點/了解數學歸納法的原理了解數學歸納法的原理/能用數學歸納法證明一些簡單的數學能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題命題)11.3 11.3 直接證明、間接證明與數學歸納法直接證明、間接證明與數學歸納法1直接證明中最基本的兩種證明方法是直接證明中最基本的兩種證明方法是 和和 2綜合法是利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過

2、一系列的推理綜合法是利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立論證，最后推導出所要證明的結論成立綜合法簡稱為：綜合法簡稱為： 3分析法的思考過程：從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，分析法的思考過程：從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、已知條件、定理、定義、公理等定義、公理等)為止為止分析法簡稱為：分析法簡稱為： 綜合法綜合法分析法分析法由因導果由因導果執果索因執果索因4反證法的思考過程：假設原命題不

3、成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，反證法的思考過程：假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明因此說明 ，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫反證法，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫反證法應用反證法證明數學命題，一般有下面幾個步驟：應用反證法證明數學命題，一般有下面幾個步驟：第一步，分清命題第一步，分清命題“pq”的條件和的條件和 第二步，作出與命題結論第二步，作出與命題結論q相矛盾的假設相矛盾的假設綈綈q.第三步，由第三步，由p與與綈綈q出發，應用正確的推理方法，推出矛盾結果出發，應用正確的推理方法，推出矛盾結果第四步，斷定產生矛盾結果的原因在于開始所作的假設第四步，

4、斷定產生矛盾結果的原因在于開始所作的假設綈綈q不真，于是原結論不真，于是原結論q成立，從而間接地證明了命題成立，從而間接地證明了命題pq為真為真假設錯誤假設錯誤結論結論5由一系列有限的特殊事例得出由一系列有限的特殊事例得出 的推理方法，通常叫做歸納法的推理方法，通常叫做歸納法6對某些與正整數有關的數學命題常采用下面的方法來證明它們的正確性：先證對某些與正整數有關的數學命題常采用下面的方法來證明它們的正確性：先證明當明當n取第取第1個值個值n0時，命題成立；然后假設當時，命題成立；然后假設當nk k，(k kN*，k kn0)時命題成立，時命題成立，證明當證明當nk k1時，命題也成立，這種證明

5、方法叫做時，命題也成立，這種證明方法叫做 7用數學歸納法證明一個與正整數有關的命題時，其步驟為：用數學歸納法證明一個與正整數有關的命題時，其步驟為：(1)歸納奠基：證明當取第一個自然數歸納奠基：證明當取第一個自然數n0時命題成立；時命題成立；(2)歸納遞推：假設歸納遞推：假設nk k，(k kN*，k kn0)時，命題成立，時，命題成立，證明當證明當nk k1時，命題成立；時，命題成立；(3)由由(1)(2)得出結論得出結論一般結論一般結論數學歸納法數學歸納法1分析法是從要證明的結論出發，逐步尋求使結論成立的分析法是從要證明的結論出發，逐步尋求使結論成立的()A充分條件充分條件 B必要條件必要

6、條件 C充要條件充要條件 D等價條件等價條件答案：答案：A2如果命題如果命題p(n)對對nk k成立，則它對成立，則它對nk k2也成立若也成立若p(n)對對n2成立，則下列成立，則下列結論正確的是結論正確的是()Ap(n)對所有正整數對所有正整數n都成立都成立 Bp(n)對所有正偶數對所有正偶數n都成立都成立Cp(n)對所有正奇數對所有正奇數n都成立都成立 Dp(n)對所有自然數對所有自然數n都成立都成立解析：解析：歸納奠基是：歸納奠基是：n2成立歸納遞推是：成立歸納遞推是：nk k成立，則對成立，則對nk k2成成立立p(n)對所有正偶數對所有正偶數n都成立都成立答案：答案：B3某個命題與

7、自然數某個命題與自然數n有關，若有關，若nk k(k kN*)時命題成立，那么可推得當時命題成立，那么可推得當nk k1時時該命題也成立，現已知該命題也成立，現已知n5時，該命題不成立，那么可以推得時，該命題不成立，那么可以推得()An6時該命題不成立時該命題不成立 Bn6時該命題成立時該命題成立Cn4時該命題不成立時該命題不成立 Dn4時該命題成立時該命題成立解析：解析：解法一：由解法一：由nk k(k kN*)成立，可推得當成立，可推得當nk k1時該命題也成立因而若時該命題也成立因而若n4成立，必有成立，必有n5成立現知成立現知n5不成立，所以不成立，所以n4一定不成立一定不成立 解法二

8、：解法二：其逆否命題其逆否命題“若當若當nk k1時該命題不成立，時該命題不成立， 則當則當nk k時也不成立時也不成立”為真，故為真，故“n5時不成立時不成立”“n4時不成立時不成立” 答案：答案：C4如右圖所示，在直四棱柱如右圖所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，當底面四邊形中，當底面四邊形ABCD滿足條件滿足條件_時，有時，有A1CB1D1.(注注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形所有可能的情形)解析：解析：從結論出發，找一個使從結論出發，找一個使A1CB1D1成立的充分條件成立的充分條件因而可以是：因而可以是：ACBD或

9、四邊形或四邊形ABCD為正方形為正方形答案：答案：ACBD 用綜合法證明不等式時，應注意觀察不等式的結構特點，選擇適當的已知不等用綜合法證明不等式時，應注意觀察不等式的結構特點，選擇適當的已知不等式作為依據在證明時，常要用到以下證題依據：式作為依據在證明時，常要用到以下證題依據：(1)若若a，bR，則，則|a|0，a20，(ab)20；(2)若若a，b同號，則同號，則 2；(3)若若a，b(0，)，則，則 ；a，bR，則，則a2b22ab.【例【例1】設設a0，b0，c0，證明證明： abc.證明：證明：a，b，c0，根據基本不等式，根據基本不等式，有有 b2a ， c2b ， a2c.三式相

10、加：三式相加：abc2(abc)即即 abc.變式變式1.已知已知a，b，cR，求證：求證：a2b2c22(abc)3.證明：證明：a2b2c22(abc)3a22a1b22b1c22c1(a1)2(b1)2(c1)20，當且僅當當且僅當abc1時，等號成立時，等號成立原不等式成立原不等式成立.【例【例2】如右圖所示，設四面體如右圖所示，設四面體PABC中中，ABC90，PAPBPC，D是是AC的中點的中點求證求證：PD垂直于垂直于ABC所在的平面所在的平面立體幾何中的很多證明過程都要采用綜合法，證明過程中，要步步為營，環立體幾何中的很多證明過程都要采用綜合法，證明過程中，要步步為營，環環相扣

11、，不可主觀臆造，否則因果不成立，從而導致錯誤環相扣，不可主觀臆造，否則因果不成立，從而導致錯誤證明：證明：連結連結PD，BD.BD是是RtABC斜邊上的中線，斜邊上的中線，DADBDC.又又PAPBPC，而而PD為為PAD、PBD、PCD的公共邊，的公共邊，PAD PBD PCD.于是于是PDAPDBPDC，而而PDAPDC90，PDB90.可見可見PDAC，PDBD.ACBDD，PD平面平面ABC.變式變式2.在直四棱柱在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中中，AA12，底面是邊長為底面是邊長為1的正方形的正方形， E、F、G分別是棱分別是棱B1B、D1D、DA的中點的中點求證：求證：(1)平

12、面平面AD1E平面平面BGF；(2)D1E平面平面AEC.證明：證明：(1)E，F分別是棱分別是棱BB1，DD1的中點，的中點，BED1F且且BED1F，四邊形四邊形BED1F為平行四邊形，為平行四邊形，D1EBF，又，又D1E平面平面AD1E，BF 平面平面AD1E，BF平面平面AD1E.又又G是棱是棱DA的中點，的中點，GFAD1，又，又AD1平面平面AD1E，GF 平面平面AD1E，GF平面平面AD1E，又，又BFGFF，平面平面AD1E平面平面BGF.(2)AA12，AD1同理同理AE ，D1E ， D1E2AE2，D1EAE.ACBD，ACD1D，BDD1DD，AC平面平面BB1D1

13、D，又又D1E平面平面BB1D1D，ACD1E，又，又ACAEA，D1E平面平面AEC.由有限的特殊事例去發現問題，得出問題的一般結論，再利用數學歸納法給由有限的特殊事例去發現問題，得出問題的一般結論，再利用數學歸納法給的證明，從不完全歸納到利用數學歸納法證明展示了從發現問題到解決問題的證明，從不完全歸納到利用數學歸納法證明展示了從發現問題到解決問題的完整的數學思維過程的完整的數學思維過程【例【例3】是否存在常數是否存在常數a、b、c使等式使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)對于一切對于一切nN*都成立，若存在，求出都成立，若存在，求出a、b、c并證明并證明；若不存在，試說

14、明理由若不存在，試說明理由解答：解答：假設存在假設存在a、b、c使使122232n2(n1)22212an(bn2c)對于一切對于一切nN*都成立都成立當當n1時，時，a(bc)1；當；當n2時，時，2a(4bc)6；當當n3時，時，3a(9bc)19. 解方程組解方程組解得解得證明如下：證明如下：當當n1時，顯然成立，假設時，顯然成立，假設nk k(k kN*，k k1)時等式成立，時等式成立，即即122232k k2(k k1)22212 k k(2k k21)；當當nk k1時，時，122232k k2(k k1)2k k2(k k1)22212 k k(2k k21)(k k1)2k

15、k2 k k(2k k23k k1)(k k1)2 k k(2k k1)(k k1)(k k1)2 (k k1)(2k k24k k3) (k k1)2(k k1)21因此存在因此存在a ，b2，c1，使等式對一切使等式對一切nN*都成立都成立變式變式3.是否存在常數是否存在常數a，b，c使等式使等式1(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c對一切正整數對一切正整數n成立成立？并證明你的結論并證明你的結論解答：解答：分別用分別用n1,2,3代入等式得代入等式得解之得解之得下面用數學歸納法證明：下面用數學歸納法證明：(1)當當n1時，由上可知等式成立；時，由上可知等式成立；(2)假

16、設假設nk k(k kN*，k k1)時等式成立，時等式成立，即即1(k k212)2(k k222)k k(k k2k k2) k k4 k k2.則則nk k1時，左邊時，左邊1(k k1)2122(k k1)222k k(k k1)2k k2(k k1)(k k1)2(k k1)21(k k2 212)2(k k222)k k(k k2k k2)1(2k k1)2(2k k1)k k(2k k1) k k4 k k2(2k k1)2(2k k1)k k(2k k1)k k4k k2(2k k1) (k k1)4 (k k1)2.當當nk1時，等式也成立時，等式也成立由由(1)，(2)得知

17、等式對一切的得知等式對一切的nN*均成立均成立1分析法的特點是：從未知看需知，逐步靠攏已知分析法的特點是：從未知看需知，逐步靠攏已知2綜合法的特點是：從已知看可知，逐步推出未知綜合法的特點是：從已知看可知，逐步推出未知3分析法和綜合法各有優缺點分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思分析法和綜合法各有優缺點分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結論，較簡捷地解路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結論，較簡捷地解決問題，但不便于思考實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，決問題，但不便于思考實際證題時常常兩法兼用，

18、先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來然后再用綜合法敘述出來【方法規律】【方法規律】4應用反證法證明數學命題，一般分下面幾個步驟：應用反證法證明數學命題，一般分下面幾個步驟：第一步：分清命題第一步：分清命題“pq”的條件和結論；的條件和結論；第二步：作出與命題結論第二步：作出與命題結論q相矛盾的假定相矛盾的假定綈綈q；第三步：由第三步：由p和和綈綈q出發，應用正確的推理方法，推出矛盾結果；出發，應用正確的推理方法，推出矛盾結果；第四步：斷定產生矛盾結果的原因，在于開始所作的假定第四步：斷定產生矛盾結果的原因，在于開始所作的假定綈綈q不真，于是原結不真，于是原結論論q成立，從而間接地證明

19、了命題成立，從而間接地證明了命題pq為真為真第三步所說的矛盾結果，通常是指推出的結果與已知公理矛盾、與已知定義矛第三步所說的矛盾結果，通常是指推出的結果與已知公理矛盾、與已知定義矛盾、與已知定理矛盾、與已知條件矛盾、與臨時假定矛盾以及自相矛盾等各種盾、與已知定理矛盾、與已知條件矛盾、與臨時假定矛盾以及自相矛盾等各種情況情況5(1)在數學歸納法中，歸納奠基和歸納遞推缺一不可在較復雜的式子中，注在數學歸納法中，歸納奠基和歸納遞推缺一不可在較復雜的式子中，注意由意由nk k到到nk k1時，式子中項數的變化，應仔細分析，觀察通項同時時，式子中項數的變化，應仔細分析，觀察通項同時還應注意，不用假設的證

20、法不是數學歸納法還應注意，不用假設的證法不是數學歸納法 (2)對于證明等式問題，在證對于證明等式問題，在證nk k1等式也成立時，應及時把結論和推導過等式也成立時，應及時把結論和推導過 程對比，以減少計算時的復雜程度；對于整除性問題，關鍵是湊假設；證明程對比，以減少計算時的復雜程度；對于整除性問題，關鍵是湊假設；證明 不等式時，一般要運用放縮法；證明幾何命題時，關鍵在于弄清由不等式時，一般要運用放縮法；證明幾何命題時，關鍵在于弄清由nk k到到n k k1的圖形變化的圖形變化 (3)歸納、猜想、證明屬于探索性問題的一種，一般經過計算、觀察、歸納，歸納、猜想、證明屬于探索性問題的一種，一般經過計算、觀察、歸納， 然后猜想出結論，再用數學歸納法證明由于然后猜想出結論，再用數學歸納法證明由于“猜想猜想”是是“證明證明”的前提和的前提和“對對 象象”，務必保證猜想的正確性，同時必須注意數學歸納法步驟的書寫，務必保證猜想的正確性，同時必須注意數學歸納法步驟的書寫. (本題滿分本題滿分5分分)如果如果A1B1C1的三個內角的余弦值分別等于的三個內角的余弦值分別等于A2B2C2的三個內角的三個內角的正弦值，則的正弦值，則()AA1B1C1和和A2B2C2都是銳角三角形都是銳角三角形BA1B1C1和和A2B2C2都是鈍角三