1、第四節第四節 逆矩陣及伴隨矩陣逆矩陣及伴隨矩陣1 1 逆矩陣逆矩陣P110P110，定義，定義2.92.9）一一 基本概念基本概念1.1.互逆矩陣可換，是同階方陣。互逆矩陣可換，是同階方陣。即：假設即：假設 成立，那么成立，那么 也成立。也成立。IAB IBA 2.2.逆矩陣唯一。逆矩陣唯一。3.3.零矩陣不可逆；單位矩陣與其自身互為逆陣。零矩陣不可逆；單位矩陣與其自身互為逆陣。11AA 4.4.注：注：2 2 奇異矩陣：奇異矩陣：0 A 【P111P111，例，例2 2】 【P111P111，例，例3 3】 【例】【例】3 3 伴隨矩陣伴隨矩陣112111222212nnnnnnAAAAAA

2、AAAA 二二 逆矩陣存在定理逆矩陣存在定理A0 A1.1.矩陣矩陣 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 *11,AAA IAAA 即即 2.2.若若A A可逆，那可逆，那么么 【P114，例，例4】 【P115，例，例5】 【P117，例，例6】轉置轉置逆逆伴隨伴隨TAA()TTkAkA()TTTA BAB()TTTABB A11AA111()kAkA111()ABBA1*nAA*11()nkAkA A*()A B*()ABB A1()A B11()()TTAA*11 *()()AA*()()TTAA()TTAA11()AA2*()nAAA三三 轉置矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣的運算性質轉置矩陣、逆

3、矩陣、伴隨矩陣的運算性質【例】【例】使得使得 呢呢? ?b1.ba 1,abba 使得使得 即即 對于任意非零的數對于任意非零的數 ，如果存在另一個數，如果存在另一個數 ，倒數：倒數：則說則說 是是 的倒數的倒數. .aba運算中的運算中的 1 1 ，矩陣矩陣 ，B在矩陣的運算中，在矩陣的運算中，單位陣單位陣 相當于數的乘法相當于數的乘法I那么，對于矩陣，是否存在另一個那么，對于矩陣，是否存在另一個ABBAI 1 1、逆矩陣的概念、逆矩陣的概念BnnA例如例如 設設,A 1111 . 的逆矩陣的逆矩陣是是證明證明AB B212121 211 AAAB,ABBAI使得使得 則說矩陣則說矩陣 是可

4、逆的，是可逆的， 并把矩陣并把矩陣 稱為稱為 的一個的一個逆矩陣，逆矩陣，記作記作 對于對于 階矩陣階矩陣 ，如果存在，如果存在 階矩陣階矩陣 ，定義定義2.4.12.4.1 AB,ABBAI, 的的一一個個逆逆矩矩陣陣是是 AB 212121 21 1111 BA 212121 21 1111 11011000I I 1 -AB 即即事實上，若設事實上，若設 和和 都是都是 的逆矩陣，的逆矩陣，則有則有,ABBAIACCAI可得可得IBB BCA ABC CI 所以所以 的逆矩陣是唯一的。的逆矩陣是唯一的。ABCAC 2 2 奇異矩陣與非奇異矩陣奇異矩陣與非奇異矩陣2222A 1 002 1

5、13 24B 0 AA 60 BB ,0,0稱為非奇異矩陣稱為非奇異矩陣時時當當稱為奇異矩陣稱為奇異矩陣時時當當AAAA 設設 為為 階方陣，階方陣， 的行列式的行列式 的元素的元素 的代數余子式的代數余子式 所構成的矩陣的轉置矩陣所構成的矩陣的轉置矩陣稱為矩陣稱為矩陣 的伴隨矩陣。的伴隨矩陣。AijA112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA AAAnija*A記為記為3 伴隨矩陣伴隨矩陣nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211211 312110A 解：解：11A122,A 233A 211 211431A 2 134A ，211A 221A 1 112( 1

6、)1 0 311A 321A 331A 【P114，例，例4】求求 的伴隨矩陣。的伴隨矩陣。逆矩陣的存在定理：逆矩陣的存在定理：11AAA A0 A證明：證明：假設假設 可逆，可逆，A11 .AAAE 即即 有有， 使使,11 EAA故故.0 A所所以以矩陣矩陣 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 且當且當A可逆時可逆時 ,0時時當當 AAA 111212122212nnnnnnaaaaaaaaa 112111222212nnnnnnAAAAAAAAA AAA0000 00AAaAaAann 1112121111100010001A A I *AAA I AAIA 1AAA按逆矩陣的定義得按逆矩

7、陣的定義得1AA A 牢記：牢記：0可逆AA*AAA I 記住了嗎？記住了嗎？1AAA 假設假設 可逆，那么可逆，那么A111AAA1AAI 11,A A 11.AA 證明：證明：11,AA 假設假設 可逆，那么可逆，那么 也可逆，也可逆，且且A)0( kkA1-11 ) ( AkkA證明：證明： kA,1IAA 11Ak)(1(1 AAkk1-11 ) ( AkkA假設假設 、 是同階可逆陣，那么是同階可逆陣，那么 也可逆，也可逆，且且BAAB111)( ABAB AB1 AIA,1IAA .111 ABAB證明：證明： 11 AB 11 ABBA特別有：特別有： 11121121 AAAA

8、AAmm kkAA)(11 （反序定律）（反序定律）*AAA I *1AA A *1AAA *1AA A 1nAA 1nAA 1nA 1*nAA證明：證明：求證求證回想回想*(kA ）11nkAAk 11nkA A 1*nkA 1()kA kA *11()nkAkA A求證求證證明：證明：*AB( (）11()()B BA A 1()ABAB 11A B BA *.B A *()ABB A求證求證證明證明2* ().(2)求 證nAAAn * *證明：（）A*1()AA -1nAAA 2.nAA 1*其中：nAA *又：AAA I *AAIA*1（）AAA* *故：（）A 假設假設 可逆，那么

9、可逆，那么 也可逆，也可逆，且且ATATTAA)()(11 證明：證明：TATA)(1 TAA)(1 TI I TTAA)()( 11 求證求證求證求證*11 *()()AA證明證明*1AA A11 *1()AAAAA*1 *()AAI顯然：求證求證*()()TTAA證明證明*1()()TTTAAA1()TA A*1()TTAA A1TAA1TAA原命題得證原命題得證【P111P111，例，例2 2】證明矩陣證明矩陣證明：證明：的逆矩陣為的逆矩陣為 naaaA21 112111naaaA naaa21 11211naaa 111I 故，原命題得證故，原命題得證【P111P111，例，例3 3】

10、 332330AIAAAI ，求證，求證A A可逆，并求其逆矩陣可逆，并求其逆矩陣. . 30AI 已已知知證明：證明：3233AAAI 233A AAII 233AAAII 1233AAAI 故，故，A可逆，且可逆，且2AEAE 1A 220AAE 由由 2A AEE，得，得【例】【例】,2A AE 可逆，并求它們的逆矩陣可逆，并求它們的逆矩陣. . 2340AEAEE 11.2AAE 220AAE 由由設方陣設方陣A滿足方程滿足方程，證明，證明220AAE 1234AEAEE 12AE 證明證明 132.4EAAE 220AAE 由由 20AEAE 還可以得到還可以得到但是，等式右端為但是

11、，等式右端為0的這個結論對于本題沒有用處。的這個結論對于本題沒有用處。我們希望等式右端應該為我們希望等式右端應該為E或者或者kE。.01121311221AA求求是是否否可可逆逆，如如果果可可逆逆，判判斷斷例例解：解：211312110A 11 |AAA 20 21112112431 111221112231222 【P115，例，例5】【P117P117，例，例6 6】設設A A是非奇異矩陣，且是非奇異矩陣，且AB=AC,AB=AC,求證：求證：B=CB=C將將AB=AC AB=AC 兩端同乘以兩端同乘以 得得1A 證明：由于證明：由于A A是非奇異矩陣，故是非奇異矩陣，故 存在。存在。1A

12、 11()()AABAAC 11()()A A BA AC BC 即即從而從而同理，同理，A A 可逆時，由可逆時，由 AB=O AB=O 可得可得 B=O B=O。, ,即消去律成立即消去律成立【例】【例】 設設A A的逆矩陣為的逆矩陣為1102022 ,002A 求求解：解：14A A 14 11A 1A * *（）404022002 1 *1* *1*1() () () () () 342TAAAAAAAAAAA 、 、A A 1004100.41004 A 31A 116 1 *1* *1*1() () () () () 342TAAAAAAAAAAA 、 、AA A I * A1A A 10210224002 11042110221002 1()A 1()A 404022002 1 *1* *1*1() () () () () 342TAAAAAAAAAAA 、 、11042110221002 ()TA ()TA T10041002111222 1 *1* *1*1() () () () () 342TAAAAAAAAAAA 、 、()A 1()AA 116 40