1、.數與數系數是最古老的數學概念之一。在長達數十世紀的漫長歲月中，人們對數的認識得到了不斷的深化，然而，這一司空見慣的概念中卻蘊涵了無窮無盡的奧秘。即便是連小學生都“熟知”的自然數，也向數學家們，甚至向全人類的智慧提出了挑戰，有些貌似平凡的數論問題，仿佛在我們面前豎起了一道道千丈陡壁，有意考驗攀登者的勇氣和決心。具有一定性質的數放在一起構成了數系，通常我們所熟知的數系有：自然數系，整數系，有理數系，實數系和復數系。討論數和數系有各種方法，例如分析方法，代數方法等，本文主要從代數角度來討論數與數系的基本概念和理論。1 數系是怎樣擴張的數系概念具有以下兩個方面的意義：其一，數系是一些數的集合；其二，

2、在一個數系內可以進行某些運算（通常是指數的加法和乘法），這些運算滿足一定的運算律。所謂數系的擴張往往同運算的逆運算的可行性，或更一般的說同某些方程解的存在性的討論有關。在自然數系中，人們可以進行加法和乘法運算。在一定條件下，還可以進行減法和除法運算。相應地，方程x+a=b和cx=d(c0)并非總有解。為了使減法順利進行，即要使方程x+a=b總有解，我們便將自然數系擴充為整數系。但即使在整數系中，方程cx=d(c0)也不是總有解存在。因此我們又須把整數系擴充為有理數系。最初人們對有理數系很滿意，因為加減乘除（除數非零）都可以暢通無阻地進行。但人們很快就發現了缺陷，方程x2=2（即求邊長為1的正方

3、形的對角線之長）沒有有理數的解，人們認為這簡直不可思議，因而把2這樣的數稱為無理（！）數。但實數系遠不只包含有理數和2這種可以作為某個實數系方程的根的數。要完成有理數向實數系的擴張，必須通過更為復雜的過程，從而也產生了許多復雜的擴張理論和方法。這里我們就不再多加以表達了。實數系向復數系的擴張卻出人意料地簡單。首先，擴張的“動機”產生于求解方程：x2+1=0,而引進虛數單位i（即x2+1=0的一個解）后，復數集可以寫成C=a+bia.bR,其中R表示實數集。為下文討論方便，我們列舉自然數系的一些性質：A1àD整數系的大小順序關系：01à0M.A1 (x+y)+z=x+(y+z

4、) (加法結合律)A2 x+y=y+x（加法交換律）A3 若x+z=y+z,則x=y（加法消去律）M1 (xy)z=x(yz)（乘法結合律）M2 xy=yx（乘法交換律）M3 若xz=yz,z0,則x=y（乘法消去律）D z(x+y)=zx+zy（乘法對加法的分配律）010203 對任一對整數x,y總有x>y或y>x或x=y.0A 0M 在數系的擴張過程中，全部運算性質，即A1,A2,A3,M1,M2,M3及D，對自然數系，有理數系，實數系和復數系全部適用，但在復數系中不可能定義大小順序。不過，在復數系中仍可以定義順序，例如我們可以這樣定義,令其中a,b,c,d均為實數。不難驗證，

5、這樣規定的順序01，02，03均成立。我們還可以定義其他的順序，但所有這些順序都不可能是大小順序，問題在于對于復數域中任意順序，都可以由0A和0M導出矛盾。假如我們在復數系中規定了一種大小順序，不失一般性，可假定在這一順序之下，有i0（實際上等號不成立）,則依0M;ii0,即-10,又由0A,0=i+(-i) i+0=i,即0i,矛盾。我們能否進一步構造一個包含復數系的新的數系，且使原來的運算性質全部保留下來？一個很自然的想法是考察一元復系數高次方程的解，如果我們能找到一個復系數方程，它在復數范圍內沒有解，就有可能得到一個復系數的擴張系，但實際上這樣的方程不可能找到。高斯證明了：任何一個一元n

6、次復系數方程都在復數范圍內有一個解。實際上，這就說明了該方程的n個解全部屬于復數系。由于這一定理十分重要，故人們稱之為“代數基本定理”。下面我們給出它的一個證明。定理（代數基本定理）任意n次復系數多項式f(x)=a0xn+a1xn-1+an-1x+an,a00至少有一個復數根。為證明這一定理，我們不加證明而承認這一事實：總存在復數系的擴張系（注意，這種擴張系不一定是數系），能使f(x)在其中有n個根。下面我們給出該定理的證明。證明：10 我們僅須對實系數多項式證明該定理。這是因為，若我們已證明，對實系數多項式定理成立，那么設f(x)為復系數多項式，則F(x)為實系數多項式，從而F(x)必至少有

7、一復數根,即有或,故或為f(x)的根。20 下面證明，任意實系數方程至少有一個復數根。假定f(x)的次數n=2m,為非負整數，m為奇數，我們對實施歸納。若=0,則f(x)為奇次多項式，眾所周知，f(x)至少有一實根。假定對-1命題成立，現考察的情況。設E為復數系的一個擴張系，f(x)在其中有n個根，記為.任取實數C,作：對每個C恰有.令 則g(x)為次多項式，其系數恰為ij的對稱多項式，從而也是的對稱多項式。但的初等對稱多項式為f(x)的系數，故為實數，而的任意對稱多項式又可表為的初等對稱多項式的多項式，從而g(x)為一實系數多項式，由歸納假定，g(x)至少有一復根。即對任一C，至少有一復數i

8、j為g(x)的根。但實數個數無窮，而(i,j)僅有n(n-1)/2對，因此在上述復數根中，必存在這樣的復數，能使,均為復數。由韋達定理，和均為復系數二次方程的根，故,都是復數。這樣，f(x)至少有一個復數根。定理得證。由復數系的這一性質，人們把復數系稱為代數閉域。2 代數數與超越數早在古希臘時期，無理數便引起了科學家的注意，但是不少人不敢正視它的存在。甚至對它諱莫如深。即使為了避免困境而不得不正視它時，也只是把它視為一種幾何上的存在，而不承認它是數。例如，著名的古希臘三大難題，其中有兩個就直接用到無理數的作圖：化圓為方問題，需要作出長為的線段；立方倍積問題，須用尺規作出長為32的線段。畢達哥拉

9、斯甚至能夠證明的2無理性，但是他仍然堅持認為有理數才是數。隨著社會的發展，無理數終于獲得了作為“數”的權利。 然而有許多數如，其無理性在很長時間內都無法證明，那么，無理數之間是否有區別呢？長期以來，無理數似乎始終處于一片混沌之中。到了十八世紀，才有人證明的無理性。下面我們來比較一下與的區別。的無理性的證明：令p,q為互素的正整數，則2q2=p2,從而可得2p且2q，矛盾，所以不是有理數。的無理性的證明：設,b>0,a,b均為有理整數。令,又令,則f(x)及其導數對于0和均取整數值，故F(0)和F()為整數。從而為一整數。但當0<x<及n充分大時，有這樣，矛盾。故不是有理數。到

10、了十九世紀，問題獲得了人們意料之外的進展，其原因卻是因為想證明費爾瑪(Fermat)大定理。這一定理斷言，對于n3，方程xn+yn=zn不存在正整數解。許多大數學家都想在這一問題上一試身手，并且各自獨立地得到了不少結果。十九世紀中葉，庫默爾(Kummer)通過建立所謂“理想數”理論而獲得了豐富成果。戴笛金(Dedekind)注意到了他的理論，并加以發展，從而建立了所謂代數理論。定義：一個數，若它是有理數系數方程a0xn+a1xn-1+an-1x+an=0的根，且不是次數小于n的有理數系數方程的根，則稱為n次代數數。若可以滿足一個首項系數為1的有理整系數方程，則叫做一個代數整數。按照以上定義，有

11、理數是一次代數數，是n次代數數，i是2次代數數，等等。還有許多代數數無法用一個“顯然”的寫法表達出來，例如x5-x-1=0的根就是這樣的代數數。非代數數被稱為超越數。是否存在超越數呢？數學家們從兩個方面來討論這個問題。一個是看一看實的代數數是否能夠“填滿”整個數軸，其結果大大出乎人們意料之外，原來，幾乎“所有”的實數都是超越數！（實數集是不可數的，而代數數集是可數的）這是一種純粹的“存在性”證明方法。另一條途徑是直接證明一些數，如e,等的超越性，然而這也是荊棘叢生的“羊腸小路”。1873年愛爾米特(Hermite)證明了e的超越性，1882年林德曼(Lindermann)證明了的超越性。但是，

12、有一些看來頗為“平凡”的數卻使數學家們束手無策，例如就在很長時期內使數學家們困惑莫解。著名的希爾波特第七問題就是一個關于某些數的超越性問題：證明為超越數，其中0,1,是一個代數數，是無理代數數。這一問題正是上述問題的推廣，希爾伯特預言，這一問題將在Fermat定理解決之后才能加以解決。1929年 ，蘇聯數學家蓋爾馮特證明了為虛2次無理數的結果。1930年，庫茲明和西格爾把蓋爾馮特的方法推廣到實二次型的情況，這也就解決了的超越性問題。蓋爾馮特和施奈德分別獨立地于1934年和1935年完全解決了第七問題。作為例子，我們來證明e的超越性。設e滿足整系數代數方程amxm+am-1xm-1+a1x+a0

13、=0則記其中P為素數且P>maxa0,m則記易知其中b為整數，從而有 (*)我們先證明（*）左端為非零整數。f(i)(0)=0,i=1,2,m; 諸多項式的系數為整數，且可以被P整除；又由f(x)內含(x-h)p因子（其中h=1,2m）知：f(x),f(x) ,f(p-1)(x)皆可被x-h整除，從而有：F(1),F(2), ,F(m)均為整數且為P的倍數。又F(0)=0+f(p-1)(0)+ +f(m+1)p-1)(0)其中f(p-1)(0)=(-1)mm!p,而f(p)(0), f(m+1)p-1)(0)都是P的倍數，所以F(0)(-1)mm!p (mod p)，故由此為一正整數。再

14、觀察（*）式的右端：因故有估計式記,則最后一式當P趨于時趨于零，矛盾。這說明了e的超越性。30年代以后的將近三十年間，蓋爾馮特和施耐得的工作成了超越數理論的一座豐碑。正當人們對此感到彷徨無計時，年輕的英國數學家阿蘭。貝克開辟出了一條新途徑，他在六十年代里得出了一系列關于代數對數的線形型的定理。其中典型的是這樣一條“貌不驚人”的定理。是非零代數數，在有理數域上線性獨立,令為不全為零的滿足某些條件的數，則對任何k>n+1，又，其中C是可以“有效計算”的。這一定理的證明極為困難，用途也異常廣泛。應用這一套定理和方法，貝殼在數論各個分支里取得了輝煌成果，其中包括如下的超越數論定理：若是代數數（非

15、零1）是線性獨立的代數無理數，則是超越數。不難看出，著名的蓋爾馮特定理只是這一定理的簡單特例由于上述一系列工作，貝克得到了1970年度菲爾滋獎。其后，貝克總結了他在超越數論方面的研究成果，寫出了只有一百二十八頁的超越數論一書，這本書已被當作代數數論方面的經典著作。為此，他又獲得了亞當斯獎。在超越數論一書中貝克寫了下面一段話，我們以此作為本節的結束語：“盡管它（指超越數論）有悠久的歷史，但還是青春煥發，許多課題必將取得進展，同時還有一些著名的問題有待解決。作為例子，我們只要提一下e,的代數獨立性和歐拉常數的超越性這幾個著名猜想就行了，這幾個中的任意一個獲得解決，都將標志著巨大的進展。”3 數系的

16、進一步擴張上面我們談到，人們對數系的認識與解方程有密切的關系。從古代起，人們便能夠解二次甚至某些高次方程，然而一個最其貌不揚的二次方程x2+1=0卻使得數學家狼狽不堪。難道存在平方為1的數嗎？經過長期的猶豫，徘徊，到了16世紀，一些勇敢的數學家作出了大膽選擇：引進虛數單位，并從而建立了一個復數系。經過貝努力，歐拉和高斯等人的努力，復數理論得到了廣泛的傳播和應用。高斯還創立了高斯平面，從而在復數與復平面上建立了11對應。到了18世紀，復數理論已經比較成熟，人們很自然的想到了這樣的問題：復數系還可能進行擴張嗎？是否可以找到一個可以真包含復數系的“數系”，它們承襲了復數系的運算和運算率？通過求某個復

17、系數方程的解是否可以得到新的數系呢？18世紀末高斯所證明的“代數基本定理”明確無誤的宣告了“此路不通”。于是不屈不撓的數學家們不得不尋求新的途徑。由于復數面上的點和復數的11對應關系，故任意復數都可以表示為一有序實數對兒，實數可以看作序對（a,0），因此有人把復數叫做“二元數”。那么尋求新數系的一個自然途徑就是便是設法建立“三元數系”，“三元數系”應當承襲復數系的運算和運算率，復數系可以看作是三元數系的子數系。然而，數學家的辛勤努力并未給他們帶來預期的成果。數以千計的失敗經歷給他們帶來了意外的收獲：他們終于敢于設想，三元數系可能是不存在的；同時，為了建立新的“多元數系”，可能不得不放棄某些運算

18、性質。新的多元數系的四元數系的發現者是英國數學家哈密爾頓。他最初也設法尋找滿足乘法交換率的三元數。經過數十個寒暑，靈感終于照亮了他，這是在1843年10月16日，當時他剛好散步走過勃洛翰橋，他當場抽出筆記本，記下了這一劃時代的結果。四元數的發現，其意義遠不止獲得了新的數系，更重要的是，數學家們離開了實數和復數的固有性質去開拓新的數學領域：線性代數和線性結合代數。下面我們具體構造四元數系，為了使文章不太冗長，我們不得不離開原來的歷史線索，而采取一些比較近代的觀點和方法。為了下文的進一步討論，我們先考察一下復數的有關運算。記=（a,b）a,bR.我們說復數（a,b）=（c,d）當且僅當a=c,b=

19、d.復數=（a,b）,=（c,d）相加由公式：=（ac，bd）定義，由此立知：=，()=()，其中也是復數。又記0=（0，0），則0=0=。規定實數c與相乘為c=(c，c)。不難驗證，對于實數c1，c2，成立：c1(c2)=(c1c2)，c1()=c1c1，(c1c2)=c1c2由上述討論可知，復數系仍是實數域上的一個二維向量空間。數1=（1,0）和i=（0,i）是這個向量空間的一組基。事實上，由于為R上2維向量空間，故對于任意非零復數，只要c，都可以當作在R上的一組基。但并非普通的向量空間，它自己本身還可以進行乘法運算。設=（a,b），=（c，d）則：·=（a,b）·（c

20、,d）=（acbd,adbc）對此易驗證，有（1）；（2）（）=；（3）（）=（）；（4）=；（5）x=和y=在中有解。現在我們從實數系R出發，構造新的數系。首先，我們構造二元數系*，并證明從本質上說，和*是相同的。設*為R上的二維線性空間，且*中規定了乘法運算。現仍用小寫希臘字母記*中的元。，*，當有·*。假定 1）（）=，（）=；2）（）=（）；3）x=和y=在*中有解。則可證明i) *中有單位元，能使=；ii）乘法交換率成立，即=，*。證明：i）由假定3），x=有解，記此解為。*，y=有解，記y為這一解，則=y·，故=（y）=y（）=y=。這說明從右邊乘*中的任一元得

21、次元本身，一般記=。同樣還可以的一元l，l從左邊乘*中任一元還得此元本身。又r=l·r=l，記r=l=，則便是*的單位元。ii）易知0。又由于*維數為2，則*中必有與線性相關的元，從而，為*的一組基，*=aba,bR。設=ab，=cd，a、b、c、dR=(ab)（cd）=（ac）2（bc）（）（bd）2=（ca）2（cb）（）（da）（）（db）2=（cd）（ab）=即*中乘法交換律成立。現在我們討論*與的關系，為此我們證明，*中可以找到一個元能使2=。眾所周知，任一實系數多項式都可分解為一次和二次不可分解因式之積，上述與必然滿足滿足一個二次三項方程：2St2=0。由于與線性無關，故

22、S24t<0。記r2=tS2/4，并令=，則有22=0，即2=2=。由此我們看出，實際上我們可以把*看作，只不過在*中取代了，中的1，i的地位而已現在可以正式提出復數系的擴張問題了:是否可以構造三元或三元以上的數系,即建立實數域上三維或多維空間,并定義適當乘法,能使關于復數的運算律仍保持?由以上討論*的過程中所得到的經驗可知,不妨暫時“放棄”交換性.那么或者交換性是其他運算性質的自然結果,或者在沒有交換性假設條件下,我們已經得到了某種限制,甚至得到矛盾.現假設我們已建立起了一個這樣的數系M,M包含,同時M具有乘法與加法運算,對這兩種運算, *中的算律1)3)成立.又M作為R上線性空間,其

23、維數大于或等于3.我們稱這樣的為復數系.下面我們證明的維數只能為4.首先證明M的維數大于3。由于包含在M，故存在M，由實系數多項式分解定理可知，必然滿足一實系數二次方程，不失一般性，可設這一方程為X2+PX+q，其中P2-q0令r2=q-p2/4,r為實數，并記=，便有2=-1若dimM=3，則1,i,k構成M的一組基。設+i與-i分別滿足二次方程：X2=ax+b和x2=cx+d,a,b,c,dR則: -2+i+i=(i+)2=a(i+)+b-2-i-i=(i-)2=a(i-)+b兩式相加得 -4=(a+c)i+(a-c)+(b+d)因1,i,k線性無關，故a+c=a-c=0，故a=c=0。所以i+i=b+2，記t= (b+2), j0=+ti,則有j0+j0=i(+ti)+(+ti)i=0從而j02=-1+t(i+i)-t2=-1-t20.令j02=-S2,并取j=j0,則j2=-1,且有ij+ji= (ij0+j0i)=0易知1,i,j線性無關。下面再證明ij不可能由1,i,j線性表出。否則,ij=a+bi+cj,a,b,cR則用i左乘兩端。得：-j=i(ij)=i(a+bi+cj)=ai-b+cij=ai-b+c(a+bj+cj)=(ca-b)+(a+bc