1、數列通項公式的求法集錦非等比、等差數列的通項公式的求法，題型繁雜，方法瑣碎結合近幾年的高考情況，對 數列求通項公式的方法給以歸納總結。一、累加法形如an an 1 f(n)(n=2、3、4)且f f(2) . f(n 1)可求，則用累加法求an。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例1. 在數列an中，a1=1,anan 1n 1 (n=2、3、4)，求 an的通項公式。解： na2a11a3a2a4a3n-1個等式累加得：an a1.(n-1 )=叫anan 1 na1-且a11也滿足該式 an(nN ).例2.在數列an中，a1=1, a* 1(n N ),求an。解:

2、n=1時,印=12 時,a2a3a2a4a322223以上n-1個等式累加得n 1anan 12ana12 222n1 = 21 = 21 22，故 an 22a12n1且a11也滿(n N )。足該式二、累乘法形如衛f (n)an 1(n=2、3、4)，且f(1) f(2)f(n1)可求，則用累乘法求an。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例3 .在數列 an中，a1=1, an 1nan ,求 an。a解：由已知得 亠 n ，分別取n=1、2、3（n-1）,代入該式得ann-1個等式累乘，即a2 a3 a4 a1 a? a3出=1X 2 x 3X-X (n-1)=(

3、n-1)! 所以時,an 1引(na11)!故 an(n 1)!且ai0! =1也適用該式 an(n1)!(n N ).2例4 已知數列 an滿足a1=, an 1 an，求 an。n 1解：由已知得旦,ann 1分別令n=1, 2, 3,.(n-1),代入上式得n-1個等式累乘，即an1所以一，又因為厲印 n三、構造等比數列法原數列 an既不等差，也不等比。若把 an列，使之等比，從而求出an 。an 1 = ban cn其中b、c為不相等的常數,an ._ 12 3n 1an 123 4n所以an2。3nJ中每-一項添上一個數或一個式子構成新數形如an 1 := banc 或 an 1 =

4、 ban f nn為次式。)或2 、 、 也滿足該式，3a?a3 a4a1 a2 a3例5、（06福建理22 ）已知數列 an滿足a1=1, an 1= 2an1 (n N），求數列 an的通項公式。解：構造新數列 an p，其中p為常數，使之成為公比是an的系數2的等比數列即an 1 p =2(an p)整理得：an 1 = 2an p使之滿足an1 = 2an 1 p=1即an 1是首項為a1 1=2, q=2的等比數列 an 1 = 2 2n 1an=2n 1例6、（ 07全國 理21）設數列 an的首項a1(0,1) , an 3 an1,n=2、3、4（）求 an的通項公式。解：構造

5、新數列 an p，使之成為q1即 an p= 2(an 1 p)整理得：an1-的等比數列21 32 an 1- P 滿足 an3 an 12 p=-1 即新數列an1首項為ai1, q等比數列印 0()n1故 an =(a11)2)例 7、(07全國 理 22)已知數列 an中，a1=2, an1=(.21)(an()求 an的通項公式。解：構造新數列 an p，使之成為q . 21的等比數列an 1 P=(、2 1) (an p)整理得：an 1=G. 2 1)an + (、2 2)p使之滿足已知條件an1 = c、2 1) an +2 G-2 1) G.2 2)p 2(.2 1)解得P

6、. 2 an.2是首項為2 .2 q 、2 1的等比數列，由此得an.2=(2.2) ( J 1)n 1 an=、2(、21)n .2例8、已知數列an中，a1=1, an1 = 2an 3n，求數列的通項公式。分析：該數列不同于以上幾個數列，該數列中含3n是變量，而不是常量了。故應構造新數列an3n，其中 為常數，使之為公比是 an的系數2的等比數列。解：構造數列an3n, 為不為0的常數，使之成為q=2的等比數列即 an 13n1 = 2(an3n)整理得：an1=2an(23n3n1)滿足an1 = 2an3n得23n3n13n1新數列®3n是首項為a1 3=2, q=2 的等

7、比數列 an 3 = 2 2“ 1an = 3 2n3n 1，求數列的通項an 。例 9、( 07 天津文 20)在數列an中，a1=2, an 1 = 4an解:構造新數列ann，使之成為q=4的等比數列，則an 1 (n 1) = 4(an n)整理得：an 1= 4an 3 n 滿足 an 1 = 4an 3n 1，即 3 n3n 1 得1 新數列an n的首項為a111, q=4的等比數列n 1n 1 an n 4an 4 n四、構造等差數列法n 1數列 an既不等差，也不等比，遞推關系式形如an 1 ban b f (n),那么把兩邊例 10. (07 石家莊一模)數列 an滿足 a

8、n 2an 1 2' 1 (n 2)且 a4 81。求(1)印、a2、a3 (2)是否存在一個實數，使此數列篤 為等差數列？若存在求出的值及an ； 若不存在，說明理由。1 =33 得 a? =13 ；解：(1)由 a4 = 2a3 21 =81 得 a3 =33 ；又t a3 = 2a2 22又t a2 = 2a121 =13 ,. a1 =5(2)假設存在一個實數，使此數列2_為等差數列an 1an 2an 12* 1=2*2n 12n12n該數為常數1 即旦異為首項即2，d=1的等差數列an 1亍=2+51) 1=n+1 an = (n 1) 2n 1例11、數列 an滿足an

9、1 =2ann 1(2)(n N),首項為 a12，求數列 an的通項公式。解：an 1= 2an (2)n1兩邊同除以(2)n1得芳=冷+1數列占是首項為dr，d=1的等差數列舌=1+ (n 1) 1 n故 an = n( 2)n例 12數列an中，a1 =5，且 an 3an 131(n=2、3、4)，試求數列 an的通項公式。解：構造一個新數列備為常數，使之成為等差數列,即3nan 1亍d整理得an3an 1 3nd +3，讓該式滿足an 3an 13n 1 取d 3n 3n ,an 故12 3n1，d=12(n 1) 11，即亍是首項為亍a12，公差d=1的等差數列。1 1 n 1n-

10、 - an = (n )32 2 2例13、（07天津理21）在數列an中，a1=2,且an 1an(2 )2其中> 0,（）求數列an的通項公式。解:n 1的底數與an的系數相同，則兩邊除以n 1得 an 1得2* 1n 12nn五、列。an1 2n1 an 2nn 1na仁.-n 2nn公差d=1的等差數取倒數法0 (n1) n an(n 1) n2n。有些關于通項的遞推關系式變形后含有anan1項，直接求相鄰兩項的關系很困難,兩邊同除以anan 1后，相鄰兩項的倒數的關系容易求得，從而間接求出例 14、已知數列 an, a1 =1, a* 1ann1 anN，求 an=?解：把原式

11、變形得an 1 an 1 an an兩邊同除以anan 1 得anan 1 4 是首項為 1, d= 1的等差數列故anan(n 1)( 1)3例15、（ 06江西理22）已知數列an滿足a12且an3nan 12an 1 n 1求數列 an的通項公式。解：把原式變形成2anan 1 (n 1總 3n a. 1兩邊同除以anan 1得即an構造新數列an，使其成為公比1q=的等比數列3即an3(3 an 1）整理得:an-滿足式使3an 133數列n11是首項為 1ana11丄的等比數列3an1(1)3 3(3)n ann 3n例16. (06江西文22)已知各項均為正數的數列 n N求數列a

12、n的通項公式。a.滿足：ai 3，且空口 幻 an an 12an an 1解：把原式變形為2an 1ananan 1 (2a n兩邊同除以anan1得 212anan 1anan 1所以新數列丄an是首項為11a1ana13故an12n2解關于an的方程得an3六利用公式an Sn Sn 1 (n 2)求通項解：由an 1(an 1an 1 )11移項得：an 1 2(an)an 1an38q=2的等比數列。31 n 12n 2an(2、29) o3有些數列給出 an 的前n項和Sn與an的關系式Sn= f(an),利用該式寫出Sn 1 f (an 1 )，兩式做差，再利用an 1 Sn 1

13、 Sn導出an 1與an的遞推式，從而求出an o例17.(07重慶21題)已知各項均為正數的數列an的前n項和為Sn滿足S1 > 1且6Sn =(an 1)(an 2) n N 求 an的通項公式。1a1S1 =11)12)解得a1 =1 或 a1=2,由已知a1S1> 1,因此a1=2 又由611Sn 1 Sn =何 11)1 2) 1)® 2)得66an )(an 1an3) =0- an >0 - - an 1 an 3從而 an是首項為2,公差為3的等差數列，故 an的通項為an =2+3(n-1)=3n-1.1例18.(07陜西理22)已知各項全不為0的

14、數列 ak的前k項和為Sk，且Sk = akak1(k N )2其中印=1，求數列ak的通項公式。1解：當 k=1 時，a1 S1 = a1a2 及 a1=1 得 a2=2 ；當 k>2 時，2, 11/由 ak = SkSk1 = akak 1 ak1ak 得 ak(ak1 ak 1) =2 ak丁ak豐 0 二ak1ak1 =2從而 a2m 1 =1+(m-1)2=2m-1 a2m =2+(m-1)2=2m ( m N )例19.（07福建文21）數列 an的前n項和為Sn, a1=1, an 1故 ak =k (k N ).2Sn ( n N ),求a.的通解：由 a1=l, a2

15、2S1=2，當n> 2時an = Sn盼弓時2an ）得一口 =3，因此 an 是an首項為a2=2,q=3的等比數列。故an = 2 3n 2 （n > 2）,而a1=1不滿足該式1所以an =2(n=1)3n 2(n 2)°例20.（06全國i理422）該數列 an的前n項和Sna.2* 1(n=1、2、3)求項公式。 an的通項公式。41解：由 Sn 3 an 3(n=1、2、3)得ai5 =茁所以a1 =2 再Sn1 =an 1將和相減得:an = Sn122“(n=2、3)33Sn 1 = 4 (an an 1) g (2332n)整理得an 2n 4(an 1

16、n 12) (n=2、3)因而數列 an2是首項為ai 24 ,q=4的等比數列。即an2n = 4 4n 1 = 4n，因而 an4n 2n。七重新構造新方程組求通項法有時數列 an和 bn的通項以方程組的形式給出，要想求出an與bn必須得重新構造關于an和bn的方程組，然后解新方程組求得 an和bn。an例21. （07遼寧第21題）：已知數列an, bn滿足a1 =2, D=1且bn3an 141匚an 141bn 114_3bn 1 14（n 2），求數列 an, bn的通項公式。解析：兩式相加得 an bn an 1 bn 1 2則 an bn是首項為a1bi3 , d=2的等差數1

17、 1 1而兩式相減得 an bn = an 1 1 = (an 11bn =(2)的等比數列，故anan聯立(1)、得anbn 2n 1b，(釘由此得an分析該題條件新穎bn 1)則 an bn是首項為印 0=1 ,q=gn i (J，bn n g 中。,給出的數據比較特殊， 兩條件做加法、減法后恰好能構造成等差或等比數列，從而 再通過解方程組很順利求出 an、bn的通項公式。若改變一下數據，又該怎樣解決呢？下面給出一種通法。an例 22.在數列 an、 bn中 a1=2, b1=1，且bn1 2an 6bn (n N1 an 7bn)求數列 an和 bn的通項公式。解析：顯然再把 an 1與

18、bn 1做和或做差已無規律可循。不妨構造新數列anbn其中為an 1 bn 1 = 2an 6bn(an7bn ) = (2) an + (76)bn = (2)(anbn)令762-得 1 =2 或 2 =3 則 anbn為首項 a1b1, q= +2的等比數列。即1=2時， an 2bn是首項為4,q=4的等比數列，故ann 1 n2bn=4x 4=4 ;2=3時，an 3bn是首項為5,q=5的等比數列，故ann 1 n3bn =5x 5= 5聯立二式n n 解得an 3nan 3bn 54n 2 5n , bn 54n。注：該法也可適用于例21,下面給出例21的該種解法解：構造新數列 an bn，則anbn = (3 1 )an1 +(丄4443gw )=蔦anbn 1(11 3令得1 =1或2 = 1即31=1時，新數列an bn中,anbn = an 1bn 1d=2的等差( an bn ) (an 1 bn 1)2新數列 an bn是首項為玄1(1)數列 an bn = 3 2(n 1) = 2n 11當2= 1時，新數列 an bn是首項為a b1=1, q= 的等比數列2二 anbn =聯立(1)、(2)anbn2nanbn得ann，tn例23.在數