1、保密學 號:課程設計說明書題 目:平面度誤差的測量及數據處理 學生姓名：保密學院：保密班級：保密指導教師：保密摘要平面度誤差是將被測實際表面與理想平面進行比較， 兩者之間的線值距離即為平 面度誤差值；或通過測量實際表面上若干點的相對高度差，再換算以線值表示的平面 度誤差值。本文就平面度誤差的數學模型與按最小二乘法建立理想平面（評定基準） 的數學模型展開分析討論；并結合案列分析，得出比較客觀地評定平面度誤差或者測 量較大平面的平面度誤差，最小二乘法是最佳方法 關鍵詞：最小二乘法；平面度誤差；最佳方法AbstractFlatness error is measured by actual surf

2、ace with an ideal plane are compared, the line between the two values of distance, which is the flatness error values, or by measuring the actual surface on several points of relative height difference, conversion to line value representation of flatness error value .This paper studies the mathenati

3、cal model of flatness error and ideal plane made by least square method .With illust ration of practical cases, the author reaches the conclusion that least sauare method is the best one in judging and measuring larger plane' s flatness error.Keywords : Leastaquare method ;Flatness error ； Best

4、method目錄第一章 平面度的測量方法 11.1 引言 11.2 平面度誤差的測量 1第二章 平面度的評定 321 最小區域法 32.2 最小二乘法測量平面度誤差的原理 42.21 建立被測實際表面的數學模型 4第三章 用 MATLA 實現的過程 63.1 軟件編程 63.2 平面度誤差的最小二乘法評定及其評定結果的不確定度 1.03.3 小結 1.2第一章 平面度的測量方法1.1 引言平面度誤差是指被測實際表面對其理想平面的變動量。 理想平面是評定平面度誤 差的評定基準， 而評定基準的方位不同求得的平面度誤差值也不同。 若用水平儀、 自 準直儀按節距法測量實際表面上各點相對于測量基準的平面

5、度誤差時， 確定評定基準 的方法可用：簡便法、最小二乘法、和最小包容區域法 2 。本文著重分析介紹最小二 乘法來確定評定基準， 從而求得平面度誤差值。 最小二乘法能準確而充分地利用全部 的原始觀測數據提供的信息，比較客觀地評定出不需要經過多次試算的平面度誤差， 而且可直接運用于電子計算機運算，列入 MATLAB 軟件，是的平面度誤差的計算達 到迅速、準確、可靠 7 。1.2 平面度誤差的測量平面度誤差的測量方法很多，常用的有如下所列的方法： 光隙法： 將被測直線和測量基線間形成的光隙， 與標準光隙比較， 測量不同方 向的若干個截面上的直線度誤差， 取其中最大值， 作為平面度誤差近似值的方法。

6、該 方法適用于磨削或研磨加工的小平面的平面度誤差測量。 指示器法： 將被測零件支撐在平板上， 平板工作面為測量基準， 按一定的方式 布點，如圖 3 所示，用指示器對被測面上各點進行測量并記錄所測數據，然后， 按一 定的方法評定其誤差值。該方法適用于中、小平面的平面度誤差測量。 光軸法： 以幾何光軸建立測量基面， 測出被測面相對測量基面的偏離量， 進而 評定平面度誤差值的方法，該方法適用于一般精度大平面的平面度誤差測量。 干涉法：利用光波干涉原理，根據干涉條紋形狀、條數，來確定平面度誤差值 的方法，該方法適用于精研表面的平面度誤差測量。 三坐標測量機 ：三坐標測量機是綜合利用精密機械、微電子、光

7、柵和激光干涉儀等先進技術的測量儀器，其原理是在三個相互垂直的方向上，有導向機構、測長元件、數顯裝置，有一個能夠放置工件的工作臺，測頭可以以手動或機動方式， 輕快地移動到被測點上， 由讀數設備和數顯裝置， 把被測點的坐標值顯示出來的一種 測量設備 4。除上面介紹的幾種方法外， 還有液面法、自準直儀法等， 婁底工貿職業中專學校 實驗室在教學中，常采用光學合像水平儀測定平板的平面度誤差。第二章 平面度的評定平面度誤差是被測實際表面相對理想平面的變動量。根據GB T11337-2004 平面度誤差檢測 對形狀誤差的定義，理想平面的位置應符合最小條件， 平面度誤差大小， 等于包容實際表面且距離為兩平行平

8、面之間的寬度。 平面度誤差的 評定方法有：最小包容區域法，對角線法，三遠點法和最小二乘法 5 。2.1 最小區域法它是兩平行包容平面與實際被測要素的接觸狀態符合平面度誤差判別法中某一 準則時， 此時兩平行平面之問的距離， 為平面度誤差。 用最小條件評定平面度誤差有 3 種判斷準則：三角形準則，交叉準則，直線準則。平面度誤差的最小區域判別方法 是：由兩個平行平面包容被測實際表面時，至少有 3 點或 4 點相接觸，接觸點的高 低分布，有下列 3 種形式之一者，即符合最小區域。 三角形準則：如果被測實際表面上有 3個最高（低）點及一個最低（高）點分別與 兩個包容平面相接觸， 并且最高 （低）點能投影

9、到 3 個最低（高）點之間，形成最小包容， 稱為三角形準則。 交叉準則： 兩個高點與兩個低點某些實際表面具有鞍形的形狀特征， 其與上下 包容面各有兩個接觸點， 若兩高點的投影位于兩低點連線之兩側， 形成最小包容， 稱 為交叉準則。 直線準則：如果被測表面上的同一截面內有兩個最高 （低）點與一個低（高）點分 別和兩個平行的包容面相接觸，并且有一個最低 （高）點的投影要落在兩高 （或兩低）點 連線之上，此時也形成最小包容，稱為直線準則。 對角線法：評定基準平面是通過實際平面的一條對角線和平行于另一條對角線 的平面，各測點對此平面的偏差中最大正值與最大負值的絕對值之和為被測實際平面 的平面度誤差值。

10、 三點法：評定基準平面是通過被測實際平面上相距較遠且不在一條直線上的三 點建立的平面。偏離此平面的最大值和最小值的絕對值之和為平面度誤差這三種方法雖然都是針對同一被測平面， 但由于評定基準平面選取不同，得到的 誤差值也不同。2.2最小二乘法測量平面度誤差的原理最小二乘平面是個理想的平面，它使從實際被測輪廓上各點到該平面的距離的平 方和為最小。因此，最小二乘法的目標函數，即各測點到最小二乘基準平面的距離的f djmaxdj iIJ min(2-2)平方和F (A,B,C) = " d 21 1 J(2-1 )其滿足最小化時，F (A,B,C )的(A,B,C)即最小二乘基準平面的法向量

11、,即為最小二乘法平面度誤差值3建立被測實際表面的數學模型平面度誤差是指被測實際表面不平的程度，而平面在空間直角坐標系中，它的一般方程為;AX+BY+CZ+D=O;假設測得的點的坐標是(xi,yi,z ) ( i=1,2，,n )，其A,B,C 為中A,B,C為待定參數。根據最小二乘法原理得到最小二乘平面的待定系數B=nX|ziyi/:x2XiYiXiYiXZXi Yi22YiYi ZiyiyiXiYiYiA=ZiXinxiyi2xixi yi22XiXiyi xiyiYixi ZiyizixiYiX|YiYi(2-3 )(2-4)ZiXiyinXiyiXiZi2XiXi yi/Xi2XiXiy

12、iyiZiXiyiy2yiXi yi2yiC=(2-5)由于現在知道A,B,C的系數，即確定了最小二乘平面。接下來就是就能知道改平面 的上方的點和下方的點到該平面的距離，由于在該平面上下方都有點，所以點的本身就帶有矢量性。點到平面的距離公式為di乙 Axi By i C、(1 A2 B2)(2-6)根據最小二乘法的原理有:di2min(2-7)由于觀測到的數據位于最小二乘平面 （基準平面）的上下兩側，所以有點到平面的距 離有最大值和最小值的兩個點！即平面度為djmaxdijmin(2-8)第三章 用 MATLA 實現的過程3.1 軟件編程A,B,C，將最根據觀測本文是通過 MATLAB 軟件求

13、得最小二乘平面（基準平面）的系數 小二乘平面（基準平面） 擬合在三維坐標中和求出基準平面的平面度誤差 到的數據如下：x（mm ）y （mm ）z（mm ）110.13243.982-0.003219.64144.092-0.001330.44444.217-0.002430.61829.359-0.002517.74129.210-0.00165.45029.068-0.00774.91246.453-0.012815.88746.580-0.0049 29.745 46.740 -0.0021030.10415.7460.0031118.72115.614-0.004125.73815.46

14、4-0.0101317.63047.032-0.0101429.96647.174-0.007155.98944.945-0.0111616.80845.071-0.0051728.76145.209-0.0021828.90133.1250.0001917.10832.988-0.007203.97532.836-0.008214.18814.508-0.0082217.69014.6640.0032330.90914.8170.0042430.14032.118-0.0032518.37831.981-0.007264.37131.820-0.0042718.42131.982-0.008

15、2830.88932.127-0.0042931.11113.1760.0013017.42213.018-0.005現在將MATLAB代碼輸入軟件中：clc;clear all;close all;%讀入數據data = xlsread(' 數據.xls');% 3列對應x,y,zxdata = data(:,2);ydata = data(:,3);zdata = data(:,4);%畫出原始數據點，紅色figure;plot3(xdata,ydata,zdata,'r*');hold on;%初始值a b c都為0x0 = 0 0 0'funct

16、ion testis qnon li n111注解：將數據放入到 excel表格中如下圖所示BcDE1t < mm )y "mm)E f mTi)'2110B 13243. 3BZ- CL DQG3219.44. C92-0. DOI4330.44. 217DOE43Qb 613353-Q. 0026517. 74129 210-0. DOI7A片 d.F：Aca am-h注解：將保存好的數據文件與MATLAB的代碼文件放到同一個文件夾下。然后就可以啟動 MATLAB軟件打開代碼文件運行一下，就可以出 來結果圖啦。祝你好運！%調用最小二乘法非線性擬合函數x =ls qn

17、on li n( (x) myfun( x,xdata,ydata,zdata),xO)%求平面度誤差%平面方程的系數a = x(1);b = x(2);c = x( 3);%根據公式求 didi = (zdata - a*xdata - b*ydata - c)/sqrt(aA2+bA2+1);dmax = max(di);dmin = mi n(di);f = dmax - dmin% 就是要求的平面度誤差%畫擬合的平面xx = lin space( min( xdata),max(xdata),200);yy = lin space( min( ydata),max(ydata),200

18、);X,Y = meshgrid(xx,yy);Z = a*X+b*Y+c;surf(X,Y,Z)；colormap;hold on ;grid on;%按照這個函數去擬合，使得式(2)成立function F = myfun(x,xdata,ydata,zdata)F = (zdata - x(1)*xdata - x(2)*ydata - x(3)/sqrt(1 + x(1)A2+x(2F2);得到結果為：. 0003-0. OOC1-0. OOG8a. 0097圖1最小二乘平面系數與平面度誤差X I n'-5 j-"八圖2 MATLAB最小二乘法平面方程三維圖3.2平面

19、度誤差的最小二乘法評定及其評定結果的不確定度測量不確定度是指測量結果變化的不肯定，是表征被測量的真值在某個量值范圍 的一個估計，是測量結果含有的一個參數，用以表示被測量值的分散性。這種測量不 確定度的定義表明，一個完整的測量結果應該包含被測量值的估計與分散性參數兩部 分9。根據測量不確定度定義，在測量實踐中如何對測量不確定度進行合理的評定，這 是必須解決的基本問題。對于一個實際測量過程，影響測量結果的精度有多方面的因 素，因此測量不確定一般包含若干個分量， 各確定度分量不論性質如何，皆可用兩類 方法進行評定，即A類評定與B類評定。其中一些分量由一系列觀測數據的統計分 析來評定，稱為A類評定；另

20、一些分量不是用一系列觀測數據的統計分析法，而是 基于經驗或其他信息所認定的概率分布來評定，稱為B類評定。所有的不確定度分量均用標準差表征，它們或是由隨機誤差而引起的，或是由系統誤差而引起的，都對 測量結果的分散性產生相應的影響10。現在將平面方程的系數A,B,C的表達式分別展開nZiyi(3-1)令 V=Xix/Xi yi2yiXiyiyiP= E? q= X?,u = X?%,® = E? t =刀?？?整理后得到(3-2 )，帶入公式2 2 2V = nu 3 + 2ptq - uq 2 - ®p2 - ntC= ( u 3-t2) Ezj + (qt-p 3) Exj

21、Zj+(pt-qu) XyiZi/VA= ( qt -p w) Ezi + (n 3-q2) Exi 乙 + (pt -nt) Xyi Zj /VB=(pt-uq) Ezi + (pq - nt) Exizi+( nu -p2) Eyj zi/V設按最小二乘法評定公式得到最大偏離值點和最小偏離值的坐標分別為fdijdijmaxmin得到f平面 Ls=zR-(C+AxR+By r)- zl (C+Ax L+By L) 令？ x=xr-xl , ?= yR- yL , ?= z?- zl再令£ = ( qt - p w) ? + (pt - uq )? /V1xy?2 = ( ? ?)?

22、+ (? ? /?2= (? ?+ (? ?內？?？/?得到？?平面 LS = ?- ? E?- ? E?- ? E?展開fc=?- £ + £ y x + £ z1 + 平面 LS Z12 o 031Zo+Zn £+ £2x1+ £3丫1+ £+ £2xn+ £3$.轉化為矩陣形式，令？?= (Z1Z2Z3 Zn)-(£+ £2x0+ £3y0)-(£ + £ Xi+ £ y1)123 1Y二-(£+ £2xn+ £

23、;3yn)得到?平面 ? 1 -(汀$Xr+%yR)Zr- 1 + (汀$Xl+%yL)Zl+ Yz因被測點的X,Y坐標值在平面度的非敏感方向上，其不確定度可以忽略，因此上式為 坐標值Z的線性函數，若被測點的測量結果間互相獨立，且具有相同的標準差，即 有相同的不確定度則可以用不確定度的公式，得到用最小二乘法評定的平面度的不確 定度為若各點被測點直接測量結果間有關，且各自的確定度不同，則要計入協方差的影響， 為將表達式簡化起見，將矩陣增廣，即當時，令，當時，這時候最小二乘法評定的平 面度誤差的不確定度為1?U02 2 2 ?2 u平面 LS= 仁(丁；XR+£3yR)+ 1+ (壽+&

24、#163;2XL+ £3yL)+馬0(:+ £2xi+£3yi) 由于測量了 30組數據，所以n=30。由excel表格就可求出，所以P=571.190、 q=965.116u=13762.216w=35543.224t=18360.108v=3.86x。由于最小二乘平面的方程系數已經算出來，即 A=0.0003，B=-0.0001 ，C=-0.0058,在利用 點到excel計算出最小二乘平面的距離(3-3 )di 驚Axi By C靈A2B2)所以能夠得到偏離最小二乘平面的最大值和最小值所對應的坐標 (17.690,14.664,0.003 )此為最大值，(29.966,47.174 ，-0.007 )為最小值，將數 據帶入到公式中得到的結果不確定度為 ？?尸1.5?3.3小結：最小二乘法評定平面度誤差從數理統計分析觀點來看，能夠準確地和充分地處理 原始觀測數據所提供的信息，比較客觀地評定平面度誤差，有利于采用電子計算機進 行運算，尤其適用于測量較大平面的平面度誤差，測量較大平面時，因其布點較多， 若不用最小二乘法，則往往需要經過許多次試算，使得計