1、平行四邊形專題整理、考點分析年份題型20162015201420132012正方形中全等平行四邊形菱形的性質矩形的性質菱形的概念、三角形的對數的性質及正應用及菱形的性性質及判定選擇題方形的性質質應用應用以菱形為基礎/在正方形中/求最小距離/旋轉三角形/填空題/后求解線段/的長度/以矩形為背平行四邊形平行四邊形平行四邊形平行四邊形面景，探求不規則四邊形周長性質和判定性質和判定面積、和最值積、和最值等的最小值，禾U解答題用對稱等問題的實問題的實際應際應用問題用問題、平行四邊形有關知識點平行四邊形1平行四邊形的概念兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形用符號“ 口ABCD表示，如平行四邊

2、形 ABCD記作“ DABCD'，讀作“平行四邊 形 ABCD'。2、平行四邊形的性質（1 ）平行四邊形的鄰角互補，對角相等。（2）平行四邊形的對邊平行且相等。推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。（3）平行四邊形的對角線互相平分。（4）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線 的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積。3、平行四邊形的判定（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（2）定理1:兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（3）定理2:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形（4）定理3:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

3、（5）定理4: 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4、兩條平行線的距離兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。平行線間的距離處處相等。5、平行四邊形的面積S平行四邊形 =底邊長x咼=ah矩形1矩形的概念有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質(1) 具有平行四邊形的一切性質(2 )矩形的四個角都是直角(3) 矩形的對角線相等(4) 矩形是軸對稱圖形3、矩形的判定(1 )定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形(2) 定理1:有三個角是直角的四邊形是矩形(3) 定理2:對角線相等的平行四邊形是矩形4、矩形的面積S矩形 =長乂寬=ab菱形1、菱形的

4、概念有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、菱形的性質(1) 具有平行四邊形的一切性質(2) 菱形的四條邊相等(3 )菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角(4) 菱形是軸對稱圖形3、菱形的判定(1 )定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(2) 定理1:四邊都相等的四邊形是菱形(3) 定理2:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形4、菱形的面積S菱形=底邊長x高=兩條對角線乘積的一半正方形1正方形的概念有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、正方形的性質（1 ）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質（2）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等（3）正方形的兩條對角線相等，

5、并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角（4）正方形是軸對稱圖形，有 4條對稱軸（5）正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形 分成四個全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的距離相等。3、正方形的判定（1 ）判定一個四邊形是正方形的主要依據是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。先證它是菱形，再證有一個角是直角。（2 ）判定一個四邊形為正方形的一般順序如下：先證明它是平行四邊形；再證明它是菱形（或矩形）；最后證明它是矩形（或菱形）4、正方形的面積設正方形邊長為a,對角線長為bS正方形=a2三、真題演練考點

6、一：平行四邊形和特殊平行四邊形性質和判定題型一、平行四邊形性質和判定1、（ 2011陜西卷9,3分）如圖，在？ABCD中，E、F分別是 AD CD邊上的點，連接 BE AF,他們相交于G,延長BE交CD的延長線于點 H,則圖中的相似三角形共有（）A 2對 B 3對C 4對2、（2015 陜西卷 9,3 分）在口 ABCD中,AB=10, BC=14, E、F分別為邊 BC AD上的點，若四邊形AECF為正方形，則 AE的長為（）A.7B.4或 10C.5或 9D.63、（2012陜西卷18,6分）如圖，在L ABCD中，/ABC的平分線BF分別與AC、AD交于點E、F （1）求證：AB = A

7、F ;AE（2 ）當AB =3, BC =5時，求的值.AC4、（ 2006陜西卷20,8分）如圖。O為'訂的對角線AC的中點，過點O左一條直線分別與AB CD交于點M N, E、F在直線MN上，且OE=OF2、（ 2014?黑龍江龍東，第9題3分）如圖，菱形ABCD 中，對角線 AC=6，BD=8，M、N 分別是BC、CD的中點，P是線段BD上的一個動點，則PM+PN的最小值是_5_題型二、菱形性質和判定1、（2012陜西卷7,3分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,0E _ AB , 垂足為E，若.ADC=130，則.AOE的大小為（）A. 75°B.

8、65°C. 55°3、（ 2014?萊蕪，第17題4分）如圖在坐標系中放置一菱形 OABC，已知/ ABC=60° , OA=1 .先 將菱形OABC沿x軸的正方向無滑動翻轉，每次翻轉 60°連續翻轉2014次，點B的落點 依次為B1,B2 ,B3,，貝UB2014的坐標為（1342,0）.<A<4、（ 2014?四川成都，第24題4分）如圖，在邊長為 2的菱形ABCD中，/ A=60° M是AD 邊的中點，N是AB邊上的一動點，將AAMN沿MN所在直線翻折得到 MN,連接A'C, 則A'C長度的最小值是 L丄-5、

9、（2014?無錫，第18題2分）如圖，菱形 ABCD中，/ A=60° AB=3 ,O A、O B的半徑 分別為2和1 , P、E、F分別是邊CD、O A和O B上的動點，貝U PE+PF的最小值是 3 .題型三、矩形性質和判定1、(2013陜西卷9,3分）如圖，在矩形 ABCD中, AD=2AB點M N分別在上，連接BM DN.若四邊形 MBND!菱形，貝U等于（MDA-3B.D.P CBD2、（2006陜西卷10,3分）如圖，矩形 ABCG（ AB BC ）與矩形CDEF全等，點 B C、D在同一條直線上， APE的頂點P在線段BD上移動，使.APE為直角的點P的個數是（）A.0

10、B.1C.2D.4 3、（ 2014?黑龍江綏化，第18題3分）如圖，在矩形 ABCD中，AD= :AB，/ BAD的平分 線交BC于點E, DH丄AE于點H，連接BH并延長交 CD于點F，連接DE交BF于點O, 下列結論： / AED= / CED ; OE=OD ; BH=HF ; BC - CF=2HE ; AB=HF ,其中正確的有（B ）（第"題圖）題型四、正方形性質和判定1、（2006陜西卷16,3分）將一個無蓋正方形 紙盒展開（如圖），沿虛線剪開，用得到的 5 張紙片（其中4張是全等的直角三角形紙片） 拼成一個正方形（如圖），則所剪得得直角三 角形較短得與較長得直角邊的

11、比是。AG過B, D兩點4、（2011陜西卷18,6分）在正方形ABCD中，點G是BC上任意一點，連接分別作BE! AG DF丄AG 垂足分別為 E, F兩點，求證： ADFA BAE5、（2014?黑龍江龍東，第20題3分）如圖，正方形 ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且 CD=3DE .將AADE沿AE對折至AAFE，延長EF交邊BC于點G,連接AG、CF.則下列 結論： AABGAFG ; BG=CG ; AG / CF; Saegc=Szafe ； / AGB+ / AED=145 .其中正確的個數是（C ）A.2 B.3 C.4 D.56、（2014?黑龍江牡丹江,第20題3分

12、）已知在平面直角坐標系中放置了5個如圖所示的正方形（用陰影表示），點Bi在y軸上且坐標是（0, 2）,點Ci、Ei、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，Ci的坐標是（1, 0） . BiCi / B2C2 / B3C3,以此繼續下去，則點A2014到x軸的距離7、( 2014?重慶A,第18題4分)如圖，正方形 ABCD的邊長為6，點0是對角線AC、BD 的交點，點E在CD上，且DE=2CE，過點C作CF丄BE ,垂足為F,連接OF,貝U OF的長為5 考點二、平行四邊形和二次函數求面積和坐標問題1、(2012陜西卷12,10分)如果一條拋物線 y=ax2+bx+c a = 0與x軸有兩個交

13、點，那么 以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”.(1) “拋物線三角形”一定是三角形；(2) 若拋物線y=-x2+bx b>0的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求b的值；(3) 如圖， OAB是拋物線y=-x +bx b'>0的“拋物線三角形”，是否存在以原點O為對稱中心的矩形 ABCD ?若存在，求出過 O、C、D三點的拋物線的表達式；若不存在，說明理由.2、( 2014陜西卷12,10 分)已知拋物線C: y = -x2 bx c經過 A(-3 , 0)和 B(0, 3)兩點，將拋 物線的頂點記為 M,它的對稱軸與x軸的交點記為N

14、.(1) 求拋物線C的表達式；(2) 求點M的坐標；(3) 將拋物線C平移到拋物線 C'拋物線C'的頂點記為 M、它的對稱軸與x軸的交點 記為N'。如果點 M N M、N'為頂點的四邊形是面積為16的平行四邊形，那么應將拋物線C怎樣平移？為什么？3、( 2010陜西卷24,10分)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線A( -1,0 ) , B( 3,0 ) C( 0,-1 )三點。(1 )求該拋物線的表達式；(2)點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使 Q P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形求所 有滿足條件點P的坐標。考點三、特殊平行四邊形的綜合應用問題1、（ 200

15、6陜西卷25,12分）王師傅有兩塊板材邊角料，其中一塊是邊長為60cm的正方形板子；另一塊是上底為 30 cm，下底為120 cm，高為60 cm的直角梯形板子（如圖），王 師傅想將這兩塊板子裁成兩塊全等的矩形板材。他將兩塊板子疊放在一起，使梯形的兩個直角頂點分別與正方形的兩個頂點重合，兩塊板子的重疊部分為五邊形ABCDE圍成的區域（如圖），由于受材料紋理的限制，要求裁出的矩形要以點B為一個頂點。（1 ）求FC的長；（2）利用圖求出矩形頂點B所對的頂點 到BC邊的距離x（cm）為多少時，矩形的面積最大？最大面積時多少？（3）若想使裁出的矩形為正方形，試求出面積最大的正方形的邊長。4EDI丄*

16、卜VJN CG（第25題圖）2、（ 2009陜西卷25,12分）問題探究（1）請在圖的正方形 ABCD內，畫出使NAPB=90°的一個點P，并說明理由.（2） 請在圖的正方形 ABCD內（含邊），畫出使.APB =60°的所有的點P，并說明理由.3、（2010陜西卷25,12分）問題探究（1）請你在圖中做一條.直線，使它將矩形 ABC酚成面積相等的兩部分；（2） 如圖點 M是矩形ABCD內一點，請你在圖中過點M作一條直線，使它將矩形 ABCD 分成面積相等的兩部分。問題解決（3）如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OBC是某市將要籌建的高新技術開發區用地示意圖，其中 DC/

17、OB,OB=6,CD=4開發區綜合服務管 理委員會（其占地面積不計）設在點 P（4,2 ）處。為了方便駐區單位準備過點P修一條筆直的道路（路寬不計），并且是這條路所在的直線I將直角梯形OBCD分成面積相等的了部分，你認為直線I是否存在？若存在求出直線I的表達式；若不存在，請說明理由2114、（2011陜西卷25,12分）如圖，在矩形ABCD中,將矩形折疊，使B落在邊AD（含端點） 上，落點記為E,這時折痕與邊BC或者邊CD（含端點）交于F,然后展開鋪平，則以B、E、 F為頂點的三角形厶BEF稱為矩形ABCD勺“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定義可知， 矩形ABCD勺任意一個“折痕厶BEF

18、是一個 等腰 三角形(2) 如圖、在矩形 ABCD中, AB=2, BC=4 ,當它的“折痕 BEF的頂點 E位于AD的中 點時，畫出這個“折痕 BEF，并求出點F的坐標；(3)如圖，在矩形 ABCD中，AB=2, BC=4,該矩形是否存在面積最大的“折痕 BEF ？若存在，說明理由，并求出此時點E的坐標？若不存在，為什么?ABC的邊長為3+、3 .ABC及其內部，以A為位似中心，作正方形EFPN '的面積最大(不要求寫作法)；EFPN的位似正方形EFPN '，且使正方形5、( 2012陜西卷25,12分)如圖，正三角形(1)如圖，正方形 EFPN的頂點E、F在邊AB上，頂點N

19、在邊AC上在正三角形圖(2)求(1)中作出的正方形 EFPN '的邊長;(3) 如圖，在正三角形 ABC中放入正方形 DEMN和正方形EFPH , 使得DE、EF在邊AB上，點P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個正方 形面積和的最大值及最小值，并說明理由.6、( 2013陜西卷25,12分)問題探究(1) 請在圖中，作出兩條直線，使它們將圓面四等分；(2) 如圖，M是正方形ABCD內一定點，請在圖中作出兩條直線(要求其中一條直線必須過點M),使它們將正方形 ABCD勺面積四等分，并說明理由。問題解決(3) 如圖，在四邊形 ABCD中, AB/CD,AB + CD=BC點P是AD的中點，

20、如果AB=a ,CD=b,且b a ,那么在邊BC上是否存在一點 Q,使PQ所在的直線將四邊形 ABCD的面積分成相 等的兩部分？若存在，求出BQ的長；若不存在，說明理由。圖7、( 2014?海南，第23題13分)如圖，正方形 ABCD的對角線相交于點 O,/ CAB的平分 線分別交BD , BC于點E, F，作BH丄AF于點H，分別交AC , CD于點G , P,連接GE ,GF.(1) 求證：OAE OBG ;(2) 試問：四邊形 BFGE是否為菱形？若是，請證明；若不是，請說明理由;(3 )試求：丄的值(結果保留根號).8、（ 2014?黑龍江綏化 第26題9分）在菱形 ABCD和正三角形 BGF中，/ ABC=60° , P