《空間向量基本定理》教學(xué)設(shè)計【類比猜想】問題1：你還記得平面向量基本定理的內(nèi)容嗎？答案：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底．問題2：類比平面向量基本定理，空間中的任意向量能不能通過有限個向量的線性運算來表示呢？答案：能．追問1：為了表示空間中的任意向量，我們至少需要幾個向量？兩個不共線的向量還夠用嗎？答案：由向量共面的充要條件可知，至少需要三個向量．追問2：任給三個向量都可以表示空間中的任意向量嗎？答案：當(dāng)三個向量共面時無法表示與其不共面的向量，因而三個基向量必須要求不共面.【操作確認(rèn)】問題3：給定三個不共面的向量，是否可以通過線性運算表示空間中的任意向量呢？答案：可以.追問1：給定三個兩兩垂直的向量i，j，k，顯然它們是不共面的，對于給定的空間向量p，如何用向量i，j，k的線性組合來表示向量p呢？答案：由于向量具有可平移性，我們令表示向量i，j，k的有向線段都以點O作為起點.記以O(shè)為起點的向量i，j所確定的平面為α.作等于向量p，過點P作平面α的垂線PQ，垂足為Q，就是向量p在平面α內(nèi)的投影向量，根據(jù)向量加法的三角形法則，=+，其中與向量i和向量j共面，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x，y），使得=xi+yj；而與向量k共線，由向量共線的充要條件可知，存在唯一的實數(shù)z，使得=zk.從而，=xi+yj+zk.這樣向量p就用向量i，j，k的線性運算表示了，而且這種表示方式是唯一的.定義：我們稱xi，yj，zk分別為向量p在向量i，j，k上的分向量．我們也可以進一步將圖形補成一個長方體，將z倍的向量k平移至以O(shè)為起點，則三個分向量分別對應(yīng)從同一個頂點O出發(fā)的長方體的三條棱，向量p對應(yīng)這個長方體從頂點O出發(fā)的一條體對角線．追問2：空間中的任意向量都可以用向量i，j，k的線性組合表示嗎？答案：GGB軟件驗證任意存在唯一性．追問3：當(dāng)給定的三個不共面向量a，b，c不兩兩垂直時，對于給定的空間向量p，如何用向量i，j，k的線性組合來表示向量p呢？答案：由向量的可平移性，我們以O(shè)為起點，作=p，=a，=b，=c，記平面OAB為平面α.過點P作直線OC的平行線，交平面α于點Q；連接OQ，根據(jù)向量加法的三角形法則，=+，其中與向量a，向量b共面，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x，y），使得=xa+yb；而與向量c是共線的，由空間向量共線的充要條件可知，存在唯一的實數(shù)z，使得=zc.從而，=xa+yb+zc.這樣，就把向量p表示成了不共面向量a，b，c的線性組合，這種表示方式也是唯一的．我們也可以進一步將圖形補成一個平行六面體，將z倍的向量c平移至以O(shè)為起點，則三個分向量分別對應(yīng)從同一個頂點O出發(fā)的平行六面體的三條棱，向量p對應(yīng)這個平行六面體從頂點O出發(fā)的一條體對角線．追問４：空間中的任意向量都可以用向量a，b，c的線性組合表示嗎？答案：GGB軟件驗證任意存在唯一性．【形成定理】問題4：你能類比平面向量基本定理的表述，寫出空間向量基本定理嗎？答案：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．那么，所有空間向量組成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．定義：我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底(base)，a，b，c都叫做基向量(basevectors)．問題5：空間的基底有多少個，需要滿足什么條件？答案：空間的基底有無窮多個．{a，b，c}是空間的一個基底，當(dāng)且僅當(dāng)a，b，c不共面．定義：特別地，如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk．定義：像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．【總結(jié)提升】問題6：平面向量基本定理與空間向量基本定理的聯(lián)系與區(qū)別是什么？答案：向量共線充要條件平面向量基本定理空間向量基本定理向量a(a≠0)與向量b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使