1、溫馨提示： 此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節適宜的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(十三)柱、錐、臺的體積一、選擇題(每題3分，共18分)1.(2021·濟源高一檢測)高為3的直三棱柱ABC-ABC的底面是邊長為1的正三角形，那么三棱錐B-ABC的體積為()A.14B.12C.36D.34【解析】選D.由題意知SABC=34×12=34，所以VB-ABC=13SABC×3=34.2.(2021·駐馬店高一檢測)圓柱的側面展開圖是矩形，其面積為S，圓柱的底面周長為C，那么圓柱的體積是()A.C24SB.

2、4SC2C.CS2D.SC4【解析】選D.由圓柱的底面周長為C，可得底面圓的半徑為R=C2，又由圓柱的側面積為S可得圓柱的高為h=SC，所以圓柱的體積V=×C22×SC=SC4.3.(2021·宿州高一檢測)將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使BD=a，那么三棱錐D-ABC的體積為()A.a36B.a312C.312a3D.212a3【解析】選D.設正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點E，沿AC折起后依題意得，當BD=a時，BEDE，所以DE平面ABC，于是三棱錐D-ABC的高為DE=22a，所以三棱錐D-ABC的體積V=13·12a2&#

3、183;22a=212a3.【誤區警示】解答此題時常因弄不清折疊前后線段的位置關系及數量關系的變化而導致錯誤.【變式訓練】如圖，E，F分別為正方形ABCD的邊BC，CD的中點，沿圖中虛線將邊長為2的正方形折起來，圍成一個三棱錐，求此三棱錐的體積.【解析】折疊起來后，B，D，C三點重合為S點，那么圍成的三棱錐為S-AEF，這時SASE，SASF，SESF，且SA=2，SE=SF=1，所以此三棱錐的體積V=13·12·1·1·2=13.4.如下圖，在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一點，且PB1=14A1B1，那么多面體P-BCC

4、1B1的體積為()A.83B.163C.4D.16【解析】選B.由題意可得PB1=14A1B1=1，且PB1平面BCC1B1，由棱錐的體積公式VP-BCC1B1=13×4×4×1=163.5.(2021·安徽高考)一個多面體的三視圖如下圖，那么該多面體的外表積為()A.21+3B.18+3C.21D.18【解題指南】將三視圖復原為原幾何體，原幾何體是一個正方體截去兩個全等小正三棱錐所得的組合體.【解析】選A.由三視圖可知原幾何體是一個正方體截去兩個全等的小正三棱錐.正方體的外表積為S=24，兩個全等的三棱錐是以正方體的相對頂點為頂點，側面是三個全等的直角

5、邊長為1的等腰直角三角形，這6個等腰直角三角形面積的和為3，三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，這2個正三角形面積的和為3，故所求幾何體的外表積為24-3+3=21+3.6.(2021·佛山高一檢測)圓臺的上、下底面的面積分別為，4，側面積是6，這個圓臺的體積是()A.233B.23C.736D.733【解題指南】設出上下底面半徑及母線長，可構造它們的方程組，進而求出，代入體積公式解決.【解析】選D.設圓臺上、下底面半徑為r，r，母線長為l，那么所以圓臺的高h=3， 所以V圓臺=13(+·4+4)·3=733.二、填空題(每題4分，共12分)7.(2021·

6、;遼寧高考)某幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積是_.【解析】由三視圖可以得到原幾何體是一個圓柱里面挖去了一個長方體，所以該幾何體的體積為V=4×4-16=16-16.答案：16-168.(2021·天津高考)一個幾何體的三視圖如下圖(單位：m)，那么該幾何體的體積為_m3.【解析】所給幾何體由一個圓錐和一個圓柱組合而成，V=13×2××22+×12×4=203(m3).答案：2039.圓錐的母線長為5cm，側面積為15cm2，那么此圓錐的體積為_cm3.【解析】設圓錐的底面半徑為r，高為h，那么有rl=15知r=3，

7、所以h=52-32=4.所以其體積為V=13Sh=13r2h=13××32×4=12.答案：12三、解答題(每題10分，共20分)10.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，點E在線段AD上，且CEAB.(1)求證：CE平面PAD.(2)假設PA=AB=1，AD=3，CD=2，CDA=45°，求四棱錐P-ABCD的體積.【解析】(1)因為PA平面ABCD，CE平面ABCD，所以PACE.因為ABAD，CEAB，所以CEAD.又PAAD=A，所以CE平面PAD.(2)由(1)可知CEAD.在RtECD中，DE=CD·cos 45

8、°=1，CE=CD·sin 45°=1.又因為AB=CE=1，ABCE，ABAD，所以四邊形ABCE為矩形.所以S四邊形ABCD=S矩形ABCE+SECD=AB·AE+12CE·DE=1×2+12×1×1=52.又PA平面ABCD，PA=1，所以V四棱錐P-ABCD=13S四邊形ABCD·PA=13×52×1=56.11.(2021·濱州高一檢測)一幾何體按比例繪制的三視圖，如下圖(單位：m)：(1)試畫出它的直觀圖.(2)求它的外表積和體積.【解析】(1)直觀圖如下圖：(2

9、)由三視圖可知該幾何體是長方體被截去一個角，且該幾何體的體積是以A1A，A1D1，A1B1為棱的長方體的體積的34，在直角梯形AA1B1B中，作BEA1B1于E，那么AA1EB是正方形，所以AA1=BE=1m.在RtBEB1中，BE=1m，EB1=1m，所以BB1=2m.所以該幾何體的外表積S=S正方形AA1D1D+2S梯形AA1B1B+S矩形BB1C1C+S正方形ABCD+S矩形A1B1C1D1=1+2×12×(1+2)×1+1×2+1+1×2=7+2(m2).該幾何體的體積V=34×1×2×1=32(m3).【

10、一題多解】幾何體也可以看作是以AA1B1B為底面的直四棱柱，其外表積求法同方法一，V直四棱柱D1C1CD-A1B1BA=12×(1+2)×1×1=32(m3).所以幾何體的外表積為(7+2)m2，體積為32m3.【拓展延伸】求體積時應注意的兩點(1)求一些不規那么幾何體的體積常用割補的方法轉化成體積公式的幾何體進行解決.(2)與三視圖有關的體積問題注意幾何體復原的準確性及數據的準確性.一、選擇題(每題4分，共16分)1.(2021·蚌埠高一檢測)如圖是一個幾何體的三視圖，假設它的體積是33，那么圖中主視圖所標a=()A.1B.32C.3D.23【解析】選

11、C.由三視圖可知，該幾何體為一個平臥的三棱柱，結合圖中的尺寸可得V=12×2×a×3=33，解得a=3.2.(2021·亳州高一檢測)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，EFAB，EF=32，EF與平面ABCD的距離為2，那么該多面體的體積為()A.92B.5C.6D.152【解析】選D.連接EB，EC，AC.四棱錐E-ABCD的體積VE-ABCD=13×32×2=6.由于AB=2EF，EFAB，所以SEAB=2SBEF.所以VF-BEC=VC-EFB=12VC-ABE=12VE-ABC=32，所以VABC

12、DEF=VE-ABCD+VF-BEC=6+32=152.3.(2021·佛山高一檢測)圓錐的過高的中點且與底面平行的截面把圓錐分成兩局部的體積之比是()A.11B.16C.17D.18【解析】選C.如圖，設圓錐底面半徑OB=R，高PO=h，O為PO中點，所以PO=h2，因為O'AOB=PO'PO=12，所以OA=R2，所以V圓錐PO=13·R22·h2=124R2h.V圓臺OO=3·R22+R2+R2·R·h2=724R2h.所以V圓錐PO'V圓臺O'O=17.4.棱長為a的正方體中，連接相鄰面的中心，

13、以這些線段為棱的八面體的體積為()A.13a3B.14a3C.16a3D.112a3【解析】選C.八面體可以看成兩個正四棱錐拼接而成，其中正四棱錐的棱長為22a，高為12a.那么V=2·13·22a2·12a=16a3.二、填空題(每題5分，共10分)5.(2021·遼寧高考改編)某幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為_.【解題指南】結合三視圖的特點，該幾何體是由一個正方體在相對的兩個角上各割去四分之一個圓柱后剩下的局部.【解析】截得該幾何體的原正方體的體積為2×2×2=8；截去的圓柱(局部)底面半徑為1，母線長為2，截去的兩局

14、部體積為14(×12×2)×2=；故該幾何體的體積為8-.答案：8-6.如圖所示，一個正三棱柱形容器，高為2a，內裝水假設干，將容器放倒使一個側面成為底面，這時水面恰為中截面，如圖，那么未放倒前的水面高度為_.【解題指南】容器放倒前后水的體積不變，即圖三棱柱的體積與圖中的直四棱柱的體積相等.【解析】設圖中水面的高度為h，水的體積為V，那么V=Sh=34S·2a，所以h=34S·2aS=3a2.答案：32a【變式訓練】如圖，一個直三棱柱形容器中盛有水，且側棱AA1=8cm.假設側面AA1B1B水平放置時，液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的

15、中點.當底面ABC水平放置時，液面高多少？【解析】設原三棱柱ABC-A1B1C1的底面積為Scm2，高為hcm.因為DEAB，所以EDCABC，且SEDCSABC=CEAC2=14，所以SEDC=14S.所以當側面AA1B1B水平放置時，無水的空間即CDE-C1D1E1為一小三棱柱.此時水的體積為V水=Sh-14S·h=34Sh(cm3).當底面ABC水平放置時，水占有的空間為一個三棱柱，設該三棱柱的高為hcm，那么34Sh=Sh，所以h=34h=34×8=6(cm)，那么液面高6cm.三、解答題(每題12分，共24分)7.(2021·宿州高一檢測)如圖，三棱柱A

16、BC-A1B1C1中，假設E，F分別為AB，AC的中點，平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1，V2的左右兩局部，求V1V2的值.【解題指南】V1對應的幾何體AEF-A1B1C1是一個棱臺，一個底面的面積與棱柱的底面積相等，另一個底面的面積等于棱柱底面積的14；V2對應的是一個不規那么幾何體，顯然V2無法直接表示，可以考慮間接的方法，用三棱柱的體積減去V1來表示.【解析】設三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，那么V=V1+V2=Sh.因為E，F分別為AB，AC的中點，所以SAEF=14S，V1=13hS+14S+S·S4=712Sh，V2=Sh-V1=512Sh，故V1V2=7

17、5.【變式訓練】如圖是一個正方體，H，G，F分別是棱AB，AD，AA1的中點.現在沿GFH所在平面鋸掉正方體的一個角，求鋸掉的局部的體積與原正方體體積的比.【解析】設正方體的棱長為a，那么正方體的體積為a3.三棱錐的底面是RtAGF，而FAG為90°，G，F分別為AD，AA1的中點，所以AF=AG=12a.所以AGF的面積為12×12a×12a=18a2.又AH是三棱錐的高，H又是AB的中點，所以AH=12a.所以鋸掉的局部的體積為13×12a×18a2=148a3.所以鋸掉的局部的體積與原正方體體積的比為148a3÷a3=148.【拓展延伸】等積法等積法包括等面積法和等體積法.等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是求三角形的高和三棱錐的高.這一方法回避了具體通過作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數值.8.(2021·咸陽高一檢測)底面半徑為1，高為1的圓柱，內接長方體如圖，設矩形ABCD的面積為S，長方體A