1、解三角形常用知識點歸納與題型總結1 三角形三角關系： A+B+C=180 ; C=180° （A+B）; .角平分線性質定理：角平分線分對邊所得兩段線段的比等于角兩邊之比 .銳角三角形性質：若 A>B>C則60 < A : 90 ,0 : C冬60 .3、三角形中的基本關系：sin( A B) = si n C, cos(A B) - - cosC, tan (A B) - - tanC,2、三角形三邊關系：a+b>c; a-b<csin= cosC,cos 口二sinjan口二 cotC2 2 2 2 2（1 ）和角與差角公式sin（、丄二） =sin

2、 ： cosl-：二cos： sin :;cos(圧二 I-) =cos： cos ： +sin ： sin -;(2)二倍角公式tan(、:.二 l ：,)-tanx r- tan :1 + tan ： tan :sin2 a = 2cos a sin a22221 tan c(cos2： = cos ： -sin 2cos ： -1=1-2sin1 +tan a.21 cos2：21 cos2：sin,cos :2 2(3)輔助角公式(化一公式)y =asinx 二bcosx= a2 b2 sin（x 二：）其中 tan = a4、 正弦定理：在EC中，a、b、c分別為角二、2、C的對邊，

3、R為2C的外接 圓的半徑，則有= c 2r .si nA sin E sin C5、正弦定理的變形公式：化角為邊：a =2RsinZ , b = 2Rsin2 , c=2RsinC ；化邊為角：sin2R-,sin 二b-2R，sin C c2R a : b: c 二sin v:sin _ :sin C ；金a +b +cabc=2Rsin Z sin 2 sin Csinsinsin C6、兩類正弦定理解三角形的問題：已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.（對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況（一解、兩解、三解）7、三角形面積公式:1 1

4、1 2S _3cbcsinabsinCacsin_ =2RsinAsinBsinC=abc4R衛 - =.p( p -a)( p -b)(p -c)(海倫公式)28、余弦定理：在 2C 中，有 a2 =b2 c2 -2bccos-l , b2 二 a2 c2 -2accosT ,c2 = a2 b2 -2abcosC .2 2 2 2 2.2 2.2 2 b c - - a a c ba b c9、余弦疋理的推論：cos, cos, cosC2bc2ac2ab注明：余弦定理的作用是進行三角形中的邊角互化，當題中含有二次項時，常使用余弦定理。在變形中，注意三角形中其他條件的應用：10、余弦定理主

5、要解決的問題： 已知兩邊和夾角，求其余的量。 已知三邊求角11、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現邊角轉化，統一成邊的形式或角的形式設a、b、c是.甘已C的角_二、三、C的對邊，則： 若 a2 b2 =c2，則 C =90：； 若 a2 b2 c2，則 C : 90 ； 若 a2 b2 : c2，則 C - 90 .12、三角形的五心：垂心三角形的三邊上的高相交于一點重心一一三角形三條中線的相交于一點外心 三角形三邊垂直平分線相交于一點內心三角形三內角的平分線相交于一點旁心三角形的一條內角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點題型之一:求解斜三角形中的基本元素指已知兩

6、邊一角（或二角一邊或三邊），求其它三個元素問題，進而求出三角形的三線（高）及周長等基本問題.線、角平分線、中線sin 2A1（15北京理科）在 ABC 中，a =4, b =5, c =6，貝Usin Csin 2A2 sin A cos A 2a b2 + c2 - a2試題分析：一sin Csin Cc2bc2 4 2536 - 1616256AC邊上的中線2. （2005年全國高考湖北卷）在厶ABC中，已知ABBD= . 5，求 si nA 的值.分析：本題關鍵是利用余弦定理，求出AC及BC,再由正弦定理，即得 sinA.解：設E為BC的中點，連接 DE，貝U DE/AB,且DE = 1

7、 AB = ，設BE = x 23在厶BDE中利用余弦定理可得：BD2二BE2 ED2 _2BEED cosBED ,5 =x2 8 2 2-6- x，解得 x =1 , x = -7 (舍去).3 363282-'30故 BC=2，從而 ACf 二A扌 BC2 -2AB BCCoB，即 AC又 sin B = -336故sin A工,sinA.3014在厶ABC中,解法2：由題意，得cosB = sinC ，再由余弦定理，得2sin A 2acosB =a2c2 b22aca2 c2 -b22ac，即 a2 = b2, 得 a = b,故選(B).2a評注：判斷三角形形狀，通常用兩種

8、典型方法：統一化為角，再判斷 化為邊，再判斷(如解法2).(如解法1)，統題型之三：解決與面積有關問題主要是利用正、余弦定理，并結合三角形的面積公式來解題.1.答案： BA,且 0° ： A < 1800，二 A = 30°已知 a = 2 , b= 2 2 , C = 15。，求 A。題型之二：判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關系式，判斷此三角形的形狀.1. (2005年北京春季高考題)在 ABC中，已知2sin AcosB二sinC，那么 ABC一定是()A .直角三角形B .等腰三角形C.等腰直角三角形D .正三角形解法 1：由 2sin AcosB = s

9、inC = sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB,即 sinAcosB cosAsinB= 0，得 sin(A B)= 0，得 A = B.故選(B).1（2012 標理科1力（本小題鎬分12分）已知環欣吩別為厶4欲7三個內角4君、的對邊,tzeos C+ 752曲C-e 0(1)求（2）若誓p皿的面積為,求為廠*【解析】由正弦定珅得tr/cos C +i 0 <=b sin -4cos - /3sin sin C = sm sin C <=> sin cos+ 后 sin 4 siu ( sin(*v+ f ) + sin d<=>

10、冒§ sin -cos .4 = 10 sin(30*)=0 心0 =30= O = 60c(2)J = "Sin A 3 he 4”=護 + F _ ?A*cd& A o *+£= 4J22.在 ABC 中，sin A cos A =2 , AC = 2 , AB = 3,求 tan A 的值和 ABC 的面 2積。11263答案：S abc AC AB sin A 23(、 2 ：6)3.(07 浙江理 18)已知 ABC 的周長為 21，且 si nA si n B 二、2 si nC .（I）求邊AB的長;1（II ）若 ABC的面積為一 sinC

11、 ,求角C的度數.6解：（I）由題意及正弦定理，得 AB BC AC =莎2 1, BC AC f2aB ,兩式相減，得AB =1.11 1(II )由 ABC 的面積一BCLAC3 nCsi nC，得 BCLAC 二-,2 6 -2 2 2AC BC - AB 由余弦疋理，得 cosC -acLbc(AC BC)2 -2ACLbC - AB22ACl_BC=丄2，所以C =60”.題型之四：三角形中求值問題b、c,1. （2005年全國高考天津卷）在 ABC中， A、 B、 C所對的邊長分別為 a、 設a、b、c滿足條件b2 c2 - be二a2和-3，求一 A和tan B的值.b 2分析：

12、本題給出一些條件式的求值問題，關鍵還是運用正、余弦定理.解：由余弦定理b2 c22-a2bc因此,A =60在厶 ABC 中，/ C=180 °-Z A -Z B=120 °-Z B.由已知條件，應用正弦定理1 o c sinC sin(120 - B)sin120 COSBY。"20 sinB 二呂cotB 丄sin B222 '" b " sin B 一 sin B1解得cot B = 2,從而tan B -2B +C2 ABC的三個內角為 A、B、C，求當A為何值時，cos A 2cos取得最大值,2并求出這個最大值。解析：由 A

13、+B+C= n，得 B+C=2 A，所以有 cosB+C =sinA。B+CcosA+2cos2_=cosA+2s in=1 2si n2!+ 2si nAa亍2(si nq1 232)+ 2；當 sinA = ，即即 A=3 時,cosA+2cos取得最大值為 3。3在銳角 ABC中，角A B, C所對的邊分別為b,c，已知 sin A =,(1) 求tan2 旦 C sin2jA 的值；(2)若 a =2 , Sabc=、-2，求 b 的值。2 2解析：（1）因為銳角厶ABC 中，A + B + C =二,sinAM3，所以1cosA =-,3tan2+ si n2A =2 2.2 B +

14、 C sin 22 B+ C cos -2+ sin2 A21 cos(B + C)+ 1(1-cosA )=+1 = 71 + cos (B + C)21 cosA 3 3(2)因為 S|_ABC =叮2,又 S_abc =1bcsin A212.2=bc *23，貝V bc= 3。13222將 a= 2, cosA =, c= 代入余弦定理：a = b + c 2bccos A 中，3b得 b4 6b2+ 9 = 0 解得 b =3。點評：知道三角形邊外的元素如中線長、面積、周長等時，靈活逆用公式求得結果即可。4在 ABC中，內角A, B, C對邊的邊長分別是a, b, c,已知c = 2

15、 , C =-.3(i)若 ABC的面積等于,3，求a, b ；(n)若 sin C - sin( B -A) = 2sin 2A，求 ABC 的面積.本小題主要考查三角形的邊角關系，三角函數公式等基礎知識，考查綜合應用三角函數有關知識的能力.解：(i)由余弦定理及已知條件得，a2 ba4 ,又因為 ABC的面積等于 品，所以1absin C = J3，得ab = 4 . 分2a2 b2ab 二 4聯立方程組§'解得a =2, b = 2 .分ab = 4,(n)由題意得 sin(B A) sin(B-A)=4sin AcosA ,即 sin B cosA 二 2sin Ac

16、osA,當 cosA"時，A，, B 亠,a 二心,b二土 ,2633當cosA = 0時，得sin B= 2sin A，由正弦定理得 b = 2a , 聯立方程組a b _a4,解得a二土 , b = 4'3(b=2a,312分所以 ABC的面積S =丄absin C =玉衛23題型之五(解三角形中的最值問題)1. ( 2013江西理)在厶ABC 中，角 A , B, C所對的邊分別為a , b , c ,已知cosC +(cos A J3sin A) cosB = 0 .(1)求角B的大小；若a c =1，求b的取值范圍 答案：(1) 60°2.( 2013新課

17、標n ) ；.在內角的對邊分別為.,已知，- ,> I. >.(i)求;(n)若求厶面積的最大值.答案：(1) 45°"+1(I )由已知及AMKflsin A 二 sin RgC sin (inff.sin A $in(£ *C) - sin ScosC «» B mC 由Q.和CcQO町褂Xe(0. x).所以0#I 近(| ) AXZTCM面枳S產sic亍a tUCft及余他定理料4./.S2xC3f乂 a: *c:弓 2ac 故當H僅當”皿耳號版工囚此厶4眩10!的肚人値為邁兒3. AffC9角兒B、Q所對的邊分別是，久G且

18、(HF丄X.2/ C<1>求sin2=_ + cos2的值：(2)若尼2.求bARC而積的鼠大侑3、解： 由余弦定理$ conB=2力+"sin 2 +cos2B= -r4cos$(2)宙丄，得sin幾亜.44Vb=2,8y/l512 j1a +*右ac十4$2ac,得 acW 3 ,SAABC=acsinB 3 (a=c 時取等號) 返故SAABC的最大值為34.中”已刼內Ax R.所村的邊分別為恥b. g問董“心(春口武(一甘、刃=COS22COS y - 1 p _訕 N 0(I)求說甜B的大小i (in如果力=2,求赫於Q的面積遏r的最大值.4、（I）解：mZii

19、 n 2sinB（2cos2一1）= 一羽cos2BJIrr>2sinBcosB= y/3cos2B n tan2BOJTTTV0<2B<n，二 2B亍，二銳角 -,r TT _51T（2）lh tan2B_ 3 n 可戒當B 時f已知b=2,由余弦定理*得：4=a2 + e2 ac2ac ac=ac(當且僅當a=c = 2時等號成立)ABC 的面積 SAABC = * 恥$inB=HcW邁Hr仁A ABC的面移U；大值為心 1分'1 B時.已知b=2t由余弦定理.得*4 =昂2 筋恥夕2肌:4小恥=(2丨詬)tK(券H,僅專込©=店一£時爭號成:

20、匚、.'.aci4(2 a/s)分A ABC 的面枳 SABC= acsiiiB = ac 2/3Aril/< A ABC的面枳最大值為2-35.(2014新課標i理)已知a,b,c分別為 ABC的三個內角 代B,C的對邊，a =2，且(2 b)(sin A -sin B) =(c -b)sin C U ABC面積的最大值為 2【解析L = 2 目(2 + z>)(sin /-sin = kC即(7+)(sin4sin -(r_Z)sinC.由及正弦定理得 w+勵W-囪一“一巾廠:、Frbc.故 gsh 尸 +" * =丄，/, zJeo'1, :. H

21、*2 _=Z2 A24 +2 - A> £fe ,二 叔 一 -Ar sin 月蘭 J7,6A :-在內角的對邊分別為.，且=一(1)求角A的大小若a=4,求_b-c的最大值答案：(1) 60°(2)87. (2007全國1理)設銳角三角形 ABC的內角A, B, C的對邊分別為a，b, c, a=2bsinA.(I)求 B的大??；(n)求cosA+sinC的取值范圍.解析：1(I)由 a=2bsinA,根據正弦定理得 sinA = 2sin BsinA,所以 sinB=,2n由 ABC為銳角三角形得 B =-6I JI(n) cos A sin C 二 cos A

22、sin 二一 _ A = cos A sin A 16二 cos A 一 cos A si n A -、3s in 1 A .22I 3 丿由 ABC為銳角三角形知,解得一:A :23 .由此有3231 .所以一sin i A 2 ；所以3兀A25 二,6ji-:-二.6所以，cosA - sinC的取值范圍為ji0 : A ：231+ 33 ：、3sin I A -232(鹿3 '，一.I2 2丿)=(a-b)si nB,8.三角形ABC的內角A, B, C的對邊分別為 a, b, c, 2( A-三角形外接圓的半徑為(1) 求角C的大小(2) 求丿面積的最大值 答案：(1) 60&

23、#176;R +C9, J：ABC的三個內角為A、B、C，求當A為何值時，cos A 2cos取得最大值,2并求出這個最大值。解析：由 A+B+C= n，得 B=2 A，所以有 cosB；C =sinA。B+CCOSA+2COS-2_=cosA+2s in q =1 2sin2A22(si nq1 232)+ 2；當sinA = !，即即A= 時,cosA+2cosB+2C取得最大值為 3。題型之六（圖形中的解三角形）注意靈活利用圖形來分析3一 Oo廿新澤標I嶽理科本小題滿分口分）如圖"衽&4BC申，厶BC-PCT, ABnj3 , BC=1* P為ABC內一點ZbPC9D&

24、#176;娓.若求疏；若ZAPB = 150a求tanZPBA由余弦定理得（I'）設/ P3A： a t由已知得，FB= 5 in if ,在A FBA中由正弦宦理得,rana-J742.39.【？0】4年詞南住理1B）】 獻：韶満分亡分） 婦匿乩 在平醫四邊A&Ci）中，A/J=Y，C£=1, AC =4.（I）3 若0山2=_& * sinz= 求欷'的檢L46解：（1）在中，則余弦定理，得cosZ<=/匕唱十昇少2AC-AD所以V217sinZ4/>= Ji 曲 N的6 J】_（宀、迺1414V7由題設cosZZ=Z±lz4

25、 訝2V7(2)設曲Cj、則 q =乙RADSD因為 cosZ<S4Z>=r2LLs cosZZ>=-714sinZCAD & g?zC4Q = L()7于是 skiff = siii(Z = sin Z/tosZ-cosZ/inZ/j1sVTi 2/7萬 Vli()147147在站夂一中，由正菽定理BC ACsins sinZ討fsiiiQsinZ(Z<46A圖1DBBC=題型之七：正余弦定理解三角形的實際應用利用正余弦定理解斜三角形，在實際應用中有著廣泛的應用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識，例析如下：（一.）測量問題1.如圖1所示，為了測河

26、的寬度，在一岸邊 選定A、B兩點，望對岸標記物 C,測得/ CAB=30，/ CBA=75 , AB=120cm，求河 的寬度。分析：求河的寬度，就是求厶 ABC在AB邊上的高，而在河的一邊, / CAB、/ CBA，這個三角形可確定。AC已測出 AB長、AB, AC=AB=120m ,又解析：由正弦定理得 si nNCBA si nNACB 1 . 1S abc AB AC sin CAB AB CD，解得2 2點評：雖然此題計算簡單，但是意義重大，屬于（二.）遇險問題2某艦艇測得燈塔在它的東15。北的方向，此艦艇以 30海里/小時的速度向正東前進，30分鐘后又測得燈塔在它的東30°北。若此燈塔周圍10海里內有暗礁，問此艦艇繼續向東航行有無觸礁的危險？解析：如圖艦艇在 在東15°北的方向上； 達B點，測得S在東CD=60m。不過河求河寬問題A點處觀測到燈塔S 艦艇航行半小時后到 30°北