1、研究生學期論文題目：模糊變量的運算及模糊微分方程學院數學與計算機學院專業運籌學與控制論學號20111063姓名王燁指導教師 尤翠蓮2011年12月16日i模糊變量的運算模糊集合(Fuzzy Set)的概念最早由L.A.Zadeh在1965年提出，用來表達模糊性概念 的集合，又稱為模糊集、模糊子集。模糊集合這一概念的出現使得數學的思維和方法可以 用于處理模糊性現象。Zadeh在1978年又提出了可能性理論(Possibility Theory)，定義 了可能性測度。在2002年，劉寶碇和劉彥奎提出了可信性測度的概念，從而開創了一個 數學分支可信性理論(Credibility Theory)。基于

2、可信性測度，可以進一步研究模糊變量的計算及其相關性質。模糊微分方程是描述不確定系統的有效工具，在物理學、化學、生物、計算機、管理、統計，以及社會科學等各個領域都發揮了重要的作用，因此研究模 糊微分方程就顯得十分有意義。本文在簡要介紹一些常見的模糊變量計算和模糊過程的相 關內容的基礎上，引進由Liu過程驅動的模糊微分方程。關鍵詞：模糊變量；Zadeh擴展原理；模糊過程；模糊微分方程1 模糊變量及其運算1.1 模糊變量定義1.1.1 模糊變量：從(0,P,Cr)到R的一個函數.定義1.1.2 模糊向量：(1, 2,., n)為模糊向量= 為模糊變量，i = 1,2,., n.1.2 模糊變量的運算

3、亠f ： Rn T R, © ,匕，.，©模糊變量n t = (©,© ,.,© )為模糊變量.定義 1.2.112 n1 2 n且(r) = f (),'(百,.，'U).12nC )(旳 (刃(旳，C )(旳)'(旳1 2 1 2 1 2 1 2刻畫模糊變量，用分布函數，密度函數，隸屬函數。定義1.2.2隸屬函數：是定義在(，P，Cr)上的模糊變量，則隸屬函數：.二(x) =2Cr F： = x 1, x .二R注：一個隸屬函數不唯一對應一個模糊變量，即給定 '可能與幾個模糊變量對應。隸屬函數的充要條件(判斷

4、準則)：: R > 0 ,1,若"是隸屬函數=supMx)".M1CrE B =(supA(x)+1 supA(x) 定理1.2.1 可信性反演定理：2 x Bx Bc幾類特殊的模糊變量："1 ,a蘭x蘭b(1)k ( x) = *等可能的模糊變量：0,其他3#J(x)二三角模糊變量:0,其他梯形模糊變量:"(x)二xd,c _ xc - d0,其他指數分布模糊變量:兀x丄i(x) =2(1 exp( )，其中 X _ 0, m 0a/6 m-x - e(x) = 2 (1 exp(正態分布模糊變量：定義1.2.3可信性分布函數:)二其中 x R

5、,二 0、6 c為模糊變量，門(x)二Cr " O乞 x ,： R； 0,1#注：可信性分布函數既不左連續，也不右連續。 定理1.2.2可信性分布的充要條件：lim (x)蘭 0.5 蘭 lim (x)(1) xx- J :.lim 癥(y) .0.5 或"(x) _ 0.5,貝則 lim “ ( y)二：(x)y *xy例1.10蘭a蘭0.5蘭b蘭14(x) =«1,x = 0門(x)= CrBwo 壬蘭 x=su p(y)y .：x1 _ su p .二(y)y .x24#2a +1 1當x ： 0時，上式a21 +1 2 +2b當x=0時，上式b21 +1

6、2 +2b當x，0時，上式b2a , x c 0所以，(x)=處(x) = 1, lim 處(x) = 0,xjqb, 0芒為模糊變量，若lim 定義1.2.4 可信性密度函數：x >x(x) =( y )dy ,則稱為模糊變量的密度函數.J-oO定理1.2.3對于可信性密度函數(x)，有以下性質：(1)：(x)0；f ®(x)dx =1; *x2(x)dx(x2) - (x1).x1®(y)dy xxCr 空 x = i皆(y)dy;Cr - xjoO定義1.2.5幾類模糊變量的概念:非負模糊變量的概念：Cr "0 =0;即Cr - 0 =1 ；正則模糊變

7、量的概念：Cr 0 =0連續模糊變量的概念：C 二X關于x連續;簡單模糊變量的概念：Cr ' X： = X2，.- Xn"定理1.2.4 幾類模糊變量的性質：非負.C r ： 0 = 0 u :(x) = 0, x ： 0 ：=(x) = 0, x ： 0;t 正則.CrE$0=0 二 (x)=0,x 蘭 0二 4(x)=0,x 蘭 0;連續：Cr：=x關于x連續u J (x)關于x連續=G(x)關于x連續；'簡單.CrC = Xi- X2,., = Xn =0,即在 Xi,X2,., Xn中取 二l(x)為簡單函數=G(X)為簡單函數.5#定理 1.2.5lim G

8、 (x) =1, lim G (x) = 0,且：(x)X ,x .X.J(y)dy"(x)絕對連續，才#能保證密度函數存在。定理1.2.6模糊變量的獨立性：1, 2,., m獨立mCr <BJ =mi nCr BJ ,其中 Bj 為 Borel 集；i 4m二 Cr Bi =maxCr Bi,其中 Bj 為 Borel 集;1生弐1i 4u J ( X1, X2,., Xm)二 m in1生笑其中J(x1,x2,., xm)為聯合隸屬函數，譏為的隸屬函數； :：J (X1, X2,., Xm)二 m ini (Xi),1其中G (x1, x2,., xm)為聯合分布函數，門為

9、的分布函數.定理 1.2.7為獨立的模糊變量，fi：R > R,i=1,2,., m=f1( 1), f2( 2),., fm( m)仍獨立.定理1.2.8Zadeh擴展原理：n.1, '2,.,；是獨立的模糊變量，對應的隸屬函數分別為S"2,.f : Rn >- f ( 1, 2,., n)也是模糊變量，它的隸屬函數(x) = su p m in , ( x,).X=f (Xi, X2，Xm) 1 豈包例1-27為等可能模糊變量且相互獨立,J (aiQ)=(64),則 = (a1 a2,b1 b2)還是等可能的模糊變量.1,玄1蘭蘭a?#1(X1)=丿0,其他&

10、quot;1, S 蘭 x2 蘭 b2卩2(X2) = «0,其他"1, at + 6 蘭 x 蘭 a2 + b2 卩(X)= SUP (卩1(X1)入巴(X2)=乂芻也0,其他類似的，等可能模糊變量的乘積還是等可能的模糊變量。三角模糊變量相加還是三角模糊變量，梯形模糊變量相加還是梯形模糊變量。2 模糊過程2.1模糊過程定義2.1.1模糊過程從Tx(O,P,Cr)T R的一個映射,稱為模糊過程.記為 X (t,二)二 Xt(r)二 Xt定義2.1.2模糊過程的分布函數：一維可信性分布：叮J(t,X) =CrX X；Xt的n維可信性分布：對有限個St?,., J * T ,(

11、Xt ,X t ,., Xt )的可信性分布：12n(匕江2,., tn, X1 , X2,., Xn) =CrX J 蘭 X1,X t2 蘭 X2,., X.蘭 Xn.rr 申(t v)dv =6 (t x)；定義2.1.3可信性密度函數：-：(,V) V (,)；2.2 幾類重要的模糊過程定義2.2.1獨立的模糊過程:對- tt2 ,， T ,若X ti , X t2，X 獨立，則稱X t為獨 立的模 糊過程 定義222獨立增量過程：對 - 0 _ ti : t2 ： tn, n _ 3,Xt : Xt - Xt , Xt - X t , X t - Xt獨立，則稱xt為獨立增量過程213

12、2nn 丄注: Xt 獨立增 u Xt Xg 獨立增 u Yt = Xt XtrYgu 0；一般獨立增量過程，規定：Xo定義223穩態增量過程：對- t 0, X t .s 一 X s是同分布的，其中S為固定數定義224模糊更新過程：X1 , X 2，X n為獨立同分布的模糊變量，令Sn = X 1十X 2 + x n,則N t = m ax n Sn蘭t為模糊更新過程 n塁注：(1) M的每一條樣本路徑右連續，單增階梯函數，只能取非負整數;(2) N七的每次跳躍長度總為19#定義225L iu過程：Ct#J(t)二2(1 exp(二 x - et.1)x et1 + ex p(-)2t#的，

13、當e = 0,T時,得到標準L iu過程定義226幾何Liu過程：Yt = exp(et飛6).定理 221 Liu過程的性質:(1) Liu過程存在性;若Ct是標準Liu過程=-Ct，aCt，Ct.s - cs也是標準Liu過程; aCt是標準 L iu 過程二 C rlim C t = C s = 1； t >s Liu 過程 L ip sch itz 連續：即 f (x) f ( y) c L x y ;Ct幾乎處處可微，且不可導點稠密；6是有限變差函數，可求長.一個常用的運算結果:dx2 3 Li過j程和L iu積分定義2.3.1 Liu積分用Ct表示標準L iu過程，Xt表示模

14、糊過程，在a.b中任意插入n 1個分點， a = t0 ： I ： . : tn = b, 表 示小區 間的最 大長度，n若lim a Xt(Ct- Ct )取左端點且為模糊變量，r y '' 1'bn則X tdCt =lim a Xt (Ct -Ct ).a - ' ' 1 '2EdCJ 二 0； V dCJ 二 dt ;2224EdCt = dt ;V dCt : 7dt .定理2.3.1模糊變量序列的收斂性: 幾乎處處收斂：©為模糊變量，若三CrA=1，s.t.lim 釘代)©(日)=0,對V0 = A，則幾乎處處收斂到

15、©.ilim E © E = 0.(2) 依均值收斂：卡lim C r畤 一 © =呂 = 0.(3) 依可信性收斂：F依分布收斂：i " "i，"門，若門i "，對門的連續點.Liu積分是幾乎處處收斂的10例2.1CtdCt例2.2二 I町C/Ct-CJ)Cs22li叮 1(Ct Ct ) =5 C° 二 Cs.i A11#bX tdCt 二lim 7 X t (Ct - 6 ) 0i i +定理 2.3.2 Liu積分性質:(1)存在性：Xt在a,b上關于t連續;#Xt在a,b上絕對可積;Xt在a,b上 可積;

16、X t關于t單調有界.線性性質:(kXt kzYJdCt 二-akiX tdCt k2YtdCt.-a區間可加性:XtdCt xtdCt X tdCt.弋a=a若Xt絕對可積=tX sdCt關于t連續.a分部積分公式：F(t)絕對連續0F(t)dCtF (s)C (s) - 0 CtdF (t).#定義232 h(t,c)連續可微，Ct為標準Liu過程，Xt為未知的模糊過程,dXt =U tdt VtdCt，其中U t,Vt為絕對可積的模糊過程，定義 Yt = h(t, X t) = d Ytjh;:hdtdX:t: c稱dYt.:h'hdtd X t為L iu公式.ft例2.30Ct

17、dCtt2213例2.4C t d C t = C s . 03定義2.3.3 推廣Liu公式 得到多維Liu公式：(C1t,C2t,，Cmt)稱為m維標準Liu過程,其中Cit為標準Liu過程，i =1,2,., m,h(t,x1,x2,., xn)連續可微.(X 1t, X 2t,., X nt)為未知的模糊過程,"dXitdX.dX2tnt二 uid t ViidC it . VimdC mt= u2dtV2idCit - .V2mdCmt= undtVnidCit .VnmdCmt12#n;：h：hdtdXjti ; X i稱dYt；:h dt；:t;XdX it為多維L i

18、u公式其中u i , Vjj為已知的絕對可積的模糊過程.定義：Yt 二 h(t, Xit,X2t,., Xnt)二 dYt定義2.3.4b把X tdCt推廣為多維L iu積分.a(Cit,C2t,., Cmt)為 m 維標準 Liu 積分，Vt =Vjt ,V n m為n行m列矩陣集心11tV 12t.V1mtd C itbbV21tV22t.V2mtd C 2tVtd Ct = fa*an itVn2t.V nmt<dCmtmj呂bVjtdC jt； a_ I -1如果h = h2 ,則dYitn；:hi；:hi-d t一 dX jt, i = 1,., p；:tj ；:X j14#3

19、 模糊微分方程定義31 dXt = f (t,Xt)dt + g(t, Xt)dCt,其中Xt為未知模糊過程， f , g給定，Ct為標準L iu過程，稱為由Liu過程驅動的模糊微分方程.滿足該式的模糊過程，則稱為模糊微分方程的解.例3.1dX t 二 ad t bd Ctsss等式兩邊同時積分，得：dXt二adt bdCt 0$00s二 Xs-X0 = as b d C t0所以，Xs=X0 as bC s.例3.2dX t 二 aX tdt bXtdCt#等式兩邊同時除以Xt,得：町二adt bdCtXt取積分，得dX tXtadt 亠 | bdCt0- 0二 In X sInX 0 二

20、as bC s#所以，Xs=X0 ex p( as b C s).能求出顯式解的模糊微分方程(1)線性模糊微分方程：dX(a bX*)dt (c dXt)dCt;(2)廣義線性模糊微分方程:dXt =(u1tU2tXt)dt(v1tV2tXt)dCt;(3)可約模糊微分方程：經過一定的變量替換，最終可以轉化成廣義模糊微分方程 齊次模糊微分方程：dXt " U2tXtdt V2tXtdCt.例3.3 求解線性模糊微分方程:令 X t =Ut Vt且 u。=1,貝y Vo =Xo，d ut = u 2tutdt v2tutd Ct,dvt = atdt - btdCt,其中 at,bt待

21、定,15# ut=In -uou2td t 0 v2tdC t.#廣義齊次模糊微分方程的通解:ssUs "0 exp(.ou2tdt oV2tdCt)dX t = ut d vt vtd ut二 ut at dt bt ut d C tvt u 2t ut d tvt v2t ut dCt.對比廣義模糊微分方程的形式，得到：#ut at u 2t X t 二 u 1tu2tX t 二 atu1tut#bt u tv 2t X t* v2t X t n bt#utvs = v0s v1Gd C t.utut#(u° exp(u 2tdt06)UtdtviLdCt).utut#

22、dX t1dCt.例3.4對比廣義線性模糊微分方程，得1 1u1t = 0,u2t 二,v1t -，v2t - 0,1 t1 +tCt帶入公式得:s = us vs t -t1 t例3.5dX t 二utd t vtX t dC t.等式兩邊都乘以ex p( _vtCt),即：ex p(vtC t) dX t 二 exp (vtCt) utd t ex pvtCt )vtX tdCt移項,得：exp( -vtCt)dX t - exp( -vtC t)vt X tdC exp( -vtCt )utdtd (ex p ( _vtC t) X t = ex p( _vt Ct) dX t _ ex p( _vtC t) X t vtd C tsn exp(_VsCs)Xs exp(_v°Co)Xo = ex pvtCt)utdts所以，X s 二 ex p(VsC s) Xo