1、勻速圓周運動典型問題剖析勻速圓周運動問題是學習的難點，也是高考的熱點，同時它又容易和很多知識綜合在 一起，形成能力性很強的題目，如除力學部分外，電學中“粒子在磁場中的運動”涉及的 很多問題仍然要用到勻速圓周運動的知識，對勻速圓周運動的學習可重點從兩個方面掌握 其特點，首先是勻速圓周運動的運動學規律，其次是其動力學規律，現就各部分涉及的典 型問題作點滴說明。（一）運動學特征及應用勻速圓周運動的加速度、線速度的大小不變，而方向都是時刻變化的，因此勻速圓周運動是典型的變加速曲線運動。為了描述其運動的特殊性，又引入周期（T）、頻率（f）、角速度（o ）等物理量，涉及的物理量及公式較多。因此，熟練理解、

2、掌握這些概念、公 式，并加以靈活選擇運用，是我們學習的重點。1.基本概念、公式的理解和運用例1關于勻速圓周運動，下列說法正確的是（）A.線速度不變B.角速度不變C.加速度為零D.周期不變解析：勻速圓周運動的角速度和周期是不變的；線速度的大小不變，但方向時刻變化， 故勻速圓周運動的線速度是變化的，加速度不為零，答案為B、Do例2在繞豎直軸勻速轉動的圓環上有A、B兩點，如圖1所示，過A、B的半徑與豎直軸;向心加速度之比為的夾角分別為30°和60° ,則A、B兩點的線速度之比為OA/ 130°cc。 B 601圖1解析：A、B兩點做圓周運動的半徑分別為13rA =Rsi

3、n30=R rB =Rsin60 = R22它們的角速度相同，所以線速度之比vAAA1、33加速度之比曳aBa、b兩輪靠皮帶傳動,A、B分別為兩輪邊緣上的點，C與A同在a2.傳動帶傳動問題 例3如圖2所示， 輪上，已知上 =2g, OC =b,在傳動時，皮帶不打滑。求:(1)8 C：0°B=； (2) vc：vB=； (3) ac：aB=/ C.-; " O.rrBrAb 名- a圖2解析：A、C兩點在同一皮帶輪上，它們的角速度相等，即 0 A = 0 C ,由于皮帶不打 滑，所以A、B兩點的線速度大小相等，即 VA=VB。(1)根據.=丫知.C J'A =B =

4、1r ' B ' ' B rA 2(2)根據丫 =。知包=幺=電=匡=Vb Vaaa2(3)根據 a” 知aC =Vc®c =1J =1aBVb ' 1 b 2 2 4點評：共軸轉動的物體上各點的角速度相同，不打滑的皮帶傳動的兩輪邊緣上各點線 速度大小相等，這樣通過“角速度”或“線速度”將比較“遙遠”的兩個質點的運動學特 點聯系在一起。(二)動力學特征及應用物體做勻速圓周運動時，由合力提供圓周運動的向心力V2, 2二、2且有 F合 =5向=ma向=m- = mr0 = mr() rT方向始終指向圓心1.基本概念及規律的應用例4如圖3所示，質量相等的小球

5、 A、B分別固定在輕桿的中點和端點，當桿在光滑水平面上繞O點勻速轉動時求桿 OA和AB段對球A的拉力之比。解析：隔離A、B球進行受力分析，如圖 3所示。因A、B兩球角速度相同，設為 8,選用公式F向=m-2r,并取指向圓心方向為正方向，則對 A 球：F1 -F2 =m«2LOA對 b 球：F2=m02LOB兩式聯立解得 Fl . = 3F22圖3點評：向心力F向是指做勻速圓周運動物體受到的合力，而不一定是某一個力，要對物 體進行正確的受力分析。例5如圖4所示，一個內壁光滑的圓錐筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固定不動，有兩 個質量相同的小球 A和B緊貼著內壁分別在圖中所示的水平面內作勻速

6、圓周運動，則下列 說法正確的是（）A.球A的線速度必定大于球 B的線速度B.球A的角速度必定小于球 B的角速度C.球A的運動周期必定小于球 B的運動周期D.球A對筒壁的壓力必定大于球B對筒壁的壓力IIhI,/II/Fn J/ / / I一、/A1rFa|/G H j 1 GAFnc 梟Lb、FbGb心l/7圖4解析：對小球A、B受力分析，兩球的向心力都來源于重力mg和支持力Fn的合力，其合成如圖4所示，故兩球的向心力 Fa = Fb = mgcota2比較線速度時，選用 F =mv分析得r大，v 一定大，A答案正確。 r比較角速度時，選用 F =mco2r分析得r大，缶一定小，B答案正確。2

7、二.2比較周期時，選用 F =m（） r分析得r大，T 一定大，C答案不正確。小球A和B受到的支持力Fn都等于工 , D答案不正確。sin 二點評：“向心力始終指向圓心”可以幫助我們合理處理物體的受力；根據問題討論需要，解題時要合理選擇向心力公式。2.軌跡圓（圓心、半徑）的確定例6甲、乙兩名滑冰運動員，M甲=80kg, M乙=40kg,面對面拉著彈簧秤做勻速圓周運動的滑冰表演，如圖 5所示，兩人相距0.9m,彈簧秤的示數為 9.2N,下列判斷中正確 的是（）A.兩人的線速度相同，約為 40m/sB.兩人的角速度相同，為 6rad/sC.兩人的運動半徑相同，都是 0.45mD.兩人的運動半徑不同

8、，甲為 0.3m,乙為0.6m圖5解析：甲、乙兩人做圓周運動的角速度相同，向心力大小都是彈簧的彈力，則有M甲62r甲=M乙82r乙即M甲r甲=乂乙乙且r甲+r乙=0.9m, M甲=80kg, M乙=40kg解得 r甲=0.3m, r乙=0.6m 由于F =乂甲62r甲所以.= F =92 =0.62 (rad/s)1甲甲T 80x0.3而v=cor, r不同，v不同。所以答案選 D。點評：有些勻速圓周運動的軌跡圓是比較“隱蔽”的，一旦理解錯誤，就會給解題帶來麻煩，如本題中兩人做勻速圓周運動的半徑并不是兩人的間距，例 2中A、B做圓周運 動的圓心并不是圓環的中心O等。3.聯系實際問題例7司機開著

9、汽車在一寬闊的馬路上勻速行駛突然發現前方有一堵墻，他是剎車好還是 轉彎好？(設轉彎時汽車做勻速圓周運動，最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等。)解析：設汽車質量為 m,車輪與地面的動摩擦因數為N ,剎車時車速為 v0,此時車離墻距離為So,為方便起見，設車是沿墻底線的中垂線運動。若司機采用剎車，車向前滑行22的距離設為s,則s= v° =常數，若司采取急轉彎法，則 Nmg = m幺(R是最小轉彎半2日gR2徑)，R = v_=2s。Jg討論：(1)若s0 A R,則急剎車或急轉彎均可以；(2)若Rs0 AS,則急剎車會平安無事，汽車能否急轉彎與墻的長度和位置有關， 如圖6所示，質點P表示汽車

10、，AB表示墻，若墻長度l <2R,如圖6, l =2(R- Rcos0), 則墻在AB和CD之間任一位置上，汽車轉彎同樣平安無事；(3)若S0 <S,則不能急剎車，但由(2)知若墻長和位置符合一定條件，汽車照樣 可以轉彎。點評：利用基本知識解決實際問題的關鍵是看能否將實際問題轉化為合理的物理模型。圖6三.勻速圓周運動的實例變形課文中的圓周運動只有汽車過橋和火車轉彎兩個實例，而從這兩個實例可以變化出很 多模型。試分析如下：(一)汽車過橋原型：汽車過凸橋如圖1所示，汽車受到重力 G和支持力Fn,合力提供汽車過橋所需的向心力。2假設汽車過橋的速度為 v,質量為m,橋的半徑為r, G-Fn

11、 =由“。分析：當支持力為零時,G圖1只有重力提供汽車所需的向心力，即1 .當汽車的速度vav。，汽車所受的重力 開橋面飛起來。2 .當汽車的速度V = V。，汽車所受的重力2橋面的最高點。(g = mv0 , v。=.Jgr)r.G小于過橋所需的向心力，汽車過橋時就會離G恰好等于過橋需要的向心力，汽車恰好通過3.當汽車的速度v<v。，汽車所受的重力 G大于所需的向心力，此時需要的向心力要由2重力和支持力的合力共同來提供。(G - FN = mv )r因此，汽車過凸橋的最大速度為Jgr。模型一：繩拉小球在豎直平面內過最高點的運動。如圖2所示，小球所受的重力和繩的拉力的合力提供小球所需的向

12、心力，即 2v mg + Ft = m。rvG Ft圖2 2分析：當繩的拉力為零時，只有重力提供小球所需的向心力，即6=地,弘=，不r,1 .當小球的速度vav。，物體所受的重力 G已不足以提供物體所需的向心力。不足的部 分將由小球所受的繩的拉力來提供，只要不超過繩的承受力，已知物體的速度，就可求出2對應的拉力。(mg Ft =mv-) r2 .當小球的速度v = v。，物體所受的重力 G剛好提供物體所需的向心力。2mv。一(G =, v。= gr)r3 .當小球的速度v<v。，物體所受的重力 G大于所需的向心力，此時小球將上不到最高因此，繩拉小球在豎直平面內過最高點時的最小速度為實例：

13、翻轉過山車如圖3所示：由于過山車在軌道最高點所受的力為重力和軌道的支持力，故分析方法 與模型一類似。請同學們自己分析一下。G圖3模型二：一輕桿固定一小球在豎直平面內過最高點的運動。如圖4所示，物體所受的重力和桿對球的彈力的合力提供物體所需的向心力，即2Vmg -Ft = m rFt圖4分析：2 mv。 G =r，V。二 ,gr當桿對球的彈力為零時，只有重力提供小球所需的向心力，即1 .當小球的速度VAV0,物體所受的重力 G已不足以提供物體所需的向心力。不足的部分將由小球所受的桿的拉力來提供。（此時桿對小球的彈力為向下的拉力，參考圖3）。已2知物體的速度，就可求出對應的拉力。（mg + FT

14、= m）r2 .當小球的速度V = V0,物體所受的重力 G剛好提供物體所需的向心力。 2_ mV0_（G -, V。一 , gr）r3 .當小球的速度v<v0,物體所受的重力 G大于所需的向心力，多余的部分將由桿對小2球的支持力來抵消。（此時桿對小球的彈力為向上的支持力）。（mg - Ft = m）r4 .當小球的速度V = 0 ,物體所受的重力 G等于桿對小球的支持力。（mg = Ft）因此，一輕桿固定一小球在豎直平面內過最高點的最小速度為0。（二）火車轉彎原型：火車轉彎如圖5所示，火車在平直的軌道上轉彎，將擠壓外軌，由外軌給火車的彈力提供火車 轉彎所需的向心力，這樣久而久之，將損壞

15、外軌。圖5故火車轉彎處使外軌略高于內軌，火車駛過轉彎處時，鐵軌對火車的支持力Fn的方向不再是豎直的，而是斜向彎道的內側，它與重力的合力指向圓心，提供火車轉彎所需的向 心力（如圖6所示）。這就減輕了輪緣與外軌的擠壓。Fn1r-KF.匚/G圖6分析：當火車的速度為v0時，火車所需的向心力全部由重力和支持力的合力來提供， 2即 mg tan 日=m -0-, v0 =，gr tan日。 r1 .若火車的速度VAVo,將擠壓外軌；2 .若火車的速度V<Vo,將擠壓內軌。7所示）模型一：圓錐擺小球所需的向心力由重力和繩的拉力的合力來提供（如圖L/0|/ 1 FtI I上 7一 :G圖7模型二：小球

16、在漏斗中的轉動小球所需的向心力由重力和漏斗的支持力的合力來提供（如圖8所示）G圖8四.勻速圓周運動的多解問題勻速圓周運動的多解問題常涉及兩個物體的兩種不同的運動，其中一個做勻速圓周運動，另一個做其他形式的運動。由于這兩種運動是同時進行的，因此，依據等時性建立等 式來解待求量是解答此類問題的基本思路。特別需要提醒同學們注意的是，因勻速圓周運 動具有周期性，使得前一個周期中發生的事件在后一個周期中同樣可能發生，這就要求我 們在表達做勻速圓周運動物體的運動時間時，必須把各種可能都考慮進去，以下幾例運算 結果中的自然數“ n”正是這一考慮的數學化。例1如圖1所示，直徑為d的圓筒繞中心軸做勻速圓周運動，

17、槍口發射的子彈速度為v,并沿直徑勻速穿過圓筒。若子彈穿出后在圓筒上只留下一個彈孔，則圓筒運動的角速度為 多少？ 3v圖1解析：子彈穿過圓筒后做勻速直線運動，當它再次到達圓筒壁時，若原來的彈孔也恰 好運動到此處。則圓筒上只留下一個彈孔，在子彈運動位移為d的時間內，圓筒轉過的角度為2nn +兀，其中n =0,1,2,3，即色=空上上。v 解得角速度的值* =2n“+"v, n =0,1,2,3d例2質點P以。為圓心做半徑為 R的勻速圓周運動，如圖 2所示，周期為T。當P經過 圖中D點時，有一質量為 m的另一質點Q受到力F的作用從靜止開始做勻加速直線運動。為使P、Q兩質點在某時刻的速度相同

18、，則F的大小應滿足什么條件？C 3A圖2解析：速度相同包括大小相等和方向相同，由質點P的旋轉情況可知，只有當 P運動3 .到圓周上的C點時P、Q速度萬向才相同，即質點 P轉過(n+一)周(n =0,1,2,3)經4一一 ，、一3. 一 一 一'歷的時間 t =(n+3)T(n =0,1 ,2,3一)42-R質點P的速率v =T在同樣的時間內，質點 Q做勻加速直線運動，速度應達到v,由牛頓第二定律及速度公式得v = Ft m聯立以上三式，解得 f=8：mR 2 (n =0,1, 2,3 )(4n 3)T2例3如圖3所示，在同一豎直平面內，A物體從a點開始做勻速圓周運動，同時 B物體從圓心

19、O處自由落下，要使兩物體在b點相遇，求A的角速度。3b圖3解析：A、B兩物體在b點相遇，則要求 A從a勻速轉到b和B從O自由下落到b用 的時間相等。 3、_,3、2二， A從a勻速轉到b的時間t1 =(n + )T =(n + )(n = 0,1,2,3)44-B從O自由下落到b點的時間t22Rg,3 g由 =t2,解得切=2n(n+)J±-4 2R(n = 0,1,2,3 )例4如圖4,半徑為R的水平圓盤正以中心 O為轉軸勻速轉動，從圓板中心 O的正上方h高處水平拋出一球，此時半徑OB恰與球的初速度方向一致。 球的初速度及圓盤的角速分別為多少？要使球正好落在B點，則小hBL O解析

20、：要使球正好落在 (n =1,2,3)。，一、1 O對小球h二ggt圖4B點，則要求小球在做平拋運動的時間內，圓盤恰好轉了對圓盤 2nn =©t(n =1,2,3")區聯立以上三式，解得 =n. , 2g (n =1,2,3 ) ,hv0 - R1 2h【模擬試題】一.選擇題(在每小題給出的四個選項中，有的小題只有一個選項正確， 有的小題有多個選項正確)1 .下列說法正確的是()A.做勻速圓周運動的物體的加速度恒定B.做勻速圓周運動的物體所受合外力為零C.做勻速圓周運動的物體的速度大小是不變的D.做勻速圓周運動的物體處于平衡狀態2 .如圖1所示，把一個長為 20cm,系數為

21、360N/m的彈簧一端固定，作為圓心，彈簧的另一端連接一個質量為 0.50kg的小球，當小球以360r/min的轉速在光滑水平面上做勻速耳圓周運動時，彈簧的伸長應為()A. 5.2cm B. 5.3cm C. 5.0cm D. 5.4cmO ,圖13 . 一圓盤可以繞其豎直軸在圖2所示水平面內轉動，圓盤半徑為Ro甲、乙物體質量分別是M和m (M>m),它們與圓盤之間的最大靜摩擦力均為正壓力的倍，兩物體用一根長為L(L <R)的輕繩連在一起。若將甲物體放在轉軸位置上，甲、乙之間連線剛好沿半徑 方向被拉直，要使兩物體與圓盤間不發生相對滑動，則轉盤旋轉角速度的最大值不得超過(兩物體均看作質點)()J(M -m)g(M-m)gmL ML(M m)g(M m)gC.D.ML mLMm圖24 .如圖3所示，一個球繞中心線 OO'以0角速度轉動，則()A. A、B兩點的角速度相等- B. A、B兩點的線速度相等C.若8 =30",則Va : Vb =也：2 D.以上答案都不對O5 . 一圓盤可繞圓盤中心 O且垂直于盤面的豎直軸轉動，在圓盤上放置一小木塊A ,它隨圓盤一起運動（做勻速圓周運動），如圖 4所示，則關于木塊 A的受力，下列說法正確的 是（）A.木塊A受重力、支持力和向心力B.木塊A受重力、支持力和靜摩擦力，