1、例題講解：米勒問題教學設計數學科學學院118班 蔡潔慧20110008008教材分析1 .本例題是在學習了直角三角形中角的正切值、基本不等式、圓的相關知識例如圓周角等等 進行講解的，因此知識基礎比較扎實。2 .本例題是著名的經典題目，用于解決最大角問題，涉及到最大值問題，在今后的最值問題 解決中有著重要的地位，為解決最大角問題提供有力的工具，省去很多繁瑣的步驟。3 .本例題運用了數形結合的思想，引導學生善于把問題幾何和代數之間相互代換得以解決。4 .本課對學生的動手能力，觀察能力都有一定的要求，對培養學生靈活的思維，提高學生解 決實際問題的能力都有重要的意義。5 .本課內容安排上難度和強度不高

2、，適合學生討論，可以充分開展合作學習，培養學生的合 作精神和團隊競爭的意識。學情分析1 .授課班級學生基礎較好，教學中應給予充分思考的時間，并且以引導學生思考為主。2 .該班級學生在平時訓練中已經形成了良好的合作精神和合作氣氛，可以充分發揮合作的 優勢，兼顧效率和平衡。3 .本班為自己任課的班級，平時對學生比較了解，在解決具體問題的時候可以兼顧不同能力 的學生，充分調動學生的積極性。教學目標知識與能力目標1 .了解米勒問題，并且理解米勒定理。2 .學會解決米勒問題，并能夠運用一定的空間想象能力3 .培養學生在解決實際問題與生活實際聯系的能力。過程與方法目標1 .經歷探索解決米勒問題的過程，進一

3、步探索米勒定理的證明過程。2 .經歷應用米勒定理解決問題的過程。情感與態度目標1 .學生在探索的過程中，感受動點移動時帶來的角度變化的動態美， 體會數學的奇妙性；2 .在交流的過程中，體會與別人交流的重要性。教學中的重點、難點重點難點主要教學手段及相關準備：教學手段1.使用導學法、討論法2.運用多媒體輔助教學3.調動學生積極性，幫助理解準備工作多媒體課件片斷，輔助難點突破教學設計策略依據教學目標和學生的特點，依據教學時間和效率的要求，在此課教學方 法和教學模式的設計中主要表達設計思想策略1.回歸學生主體，一切圍繞著學生的學習活動和當堂的反饋程度安排教學 過程。2.原則性和靈活性相結合，既要完成

4、教學計劃，在教學過程中又可以根據 現實的情況，安排問題的難度，表達一些靈活性。3.教學的形式上注重個體化，充分給予學生討論和發表意見的時機，注重 學習的參與性，努力防止以教師活動為主體的教學過程。教學步驟及說明學生活動1、學生跟著教師的 思路進行想象教師活動1、介紹問題：1471年德國數學家米勒 向諾德爾教授提出如下 一個十分有趣問題： 在地球外表的什么部位， 一根垂直的懸桿呈現最 長即可見角最大？教學目標 教學說明培養學生的空間想象能 力，并引導學生解決問題用多媒體軟件進行教 學，給學生直觀的形 象，引導學生學會運用 已知條件去探索未知 量。培養學生根據題目給出 讓學生了解題目，并讓 的信息

5、動手作圖，培養學同學想象，培養學生自 生學會運用數形結合的 主探索的學習能力，以 思想方法。 及學生們交流能力。2、根據幾何畫板的 2、幾何畫板演示：演示并跟著教師的把文字的問題轉化為幾思路思考問題何圖形表示出來3、觀察并思考，跟 著教師解決問題3、把幾何問題轉化為代培養學生學會幾何與代運用直角三角形和基數問題，引導學生進行答 數進行轉換本不等式的知識解決復問題，本節課的重點之"o4、思考并積極答復 卜列問題4、根據代數方法得到答 培養學生運用已知知識這是本節課的難點，學案，并把結論轉換為幾何解決一般簡單問題能力，生難以突破結論，復習切割弦定理 同時對于知識的回憶， 加深穩固。5、隨

6、著教師思路進 行思考5、得到關于米勒問題的培養學生善于思考探索拋出問題引導學生思幾何結論，并提出為什么 的精神考要總結幾何結論6、學生按照教師的 提示進行思考問題6、給出一般米勒問題：學生體驗從特殊到一般由特殊問題過渡到一在已知直線l的同側有 的過程。加深對一般情況 般問題，循序漸進，關P、Q兩點，試在直線l和特殊情況的理解，提高鍵在于引導和啟發，給 上求一點M,使得M對學生對問題的敏感度。 予學生充分的時間，必P、Q兩點的張角，即最要時候使用事先準備大？的多媒體輔助教學，從實際結果看，學生在多 媒體的啟發作用卜，應 該會有一個思維上的7、通過教師演示，7、用幾何圓板演不，把 培養字生迎過比較

7、兩者我破。得到特殊米勒問題特殊米勒問題與一般米 得到兩者的區別的能力 與一般米勒問題的勒問題進行比照，說明兩區別者的不問，并說明用類似 的代數方法無法解決8、跟隨教師的思路 8、引導學生善于應用幾培養學生善于巧妙地運 并積極答復下列問何結論去解決問題，并進用新的結論來解決新的 題，學習新的知識行證明，注意新知識的補問題，培養學生嚴謹的數充并說明學態度，對得到的答案給予嚴謹的證明9、做好筆記并進行 知識穩固9、總結，說明米勒問題 實質上是求最大角問題， 因此得出的結論就是為 了解決一般的米勒問題, 即一般的求最大角問題。培養學生學會總結的能 力，并養成舉一反三的能 力，到達學以致用的目的在課堂最

8、后進行總結， 并得到結論，告知學生 該結論用于解決最大 角問題，讓學生能夠學 以致用。課后小結：由于運用了一定的教學方法和理念,知識從不同的方向得到了滲透。基本完成了課前制定的教學目標和教學要求，為進一步的深入理解打下了基礎。教學分析1 .米勒問題是求最大角問題的特例，通過解決米勒問題得到幾何結論，根據這個結論可以事 半功倍得解決一般最大角問題，因此講解這道題對于學生解決問題十分有必要。2 .米勒問題應該安排在高二第二個學期，因為米勒問題應用的知識比較綜合，并且要有一定 的空間想象力，而且要對幾何與代數之間的轉換有一定的了解，因此放在高二第二個學期講解比較合適。3 .米勒問題是一道經典的數學題

9、，對于培養學生對于研究數學和拓展課外知識很有必要，讓 學生領略到數學的美妙神奇之處。4 .在證明一般米勒問題的時候，需要補充圓外角的相關知識，在解決問題的同時，可以讓學 生初步了解圓外角知識并學會應用。教學設計腳本教師：同學們好，今天我們要解決一道世界著名的經典題目一一米勒問題。 點開PPT既然是是米勒問題，那么我們就先了解一下米勒問題是什么？1471年德國數學家米勒向諾德爾教授提出如下一個十分有趣問題：在地球外表的什么部位，一根垂直的懸桿呈現最長即可見角最大？這是一個非常著名的 100道經典數學問題其中的一道題，大家先自己理解一下題目的意思。請同學們在草稿本上面畫一下草圖好，現在老師用幾何畫

10、板演示一下點開超鏈接，出現幾何畫板教師：大家看一下，我們把垂直懸桿簡化成這個AB這段線段。大家在初中的時候已經學習地理， 知道地球是一個球面， 但是為了研究問題的需要， 我們就 把地球外表看成是一個平面， 所以問題就轉化為， 在地球上面找到一個點 D,使得人在這個 位置時，懸桿呈現最長，也就是可見角ADB是最大的。教師：老師延長線段 AB到平面并交于點 C,再連接CD,以點C為圓心，CD為半徑作圓 幾何畫板演示大家想象一下，點 D在圓上移動的時候，ADB有沒有變化？學生1:老師，是沒有變化的。教師：很好，也就是說，在這個圓上的點都不會影響可見角ADB ,在圓心不變的情況下,只有半徑不同的其他圓

11、才會影響ADB的大小對不對？學生：對。教師：也就是說，我們可以把這個空間的問題轉化為平面問題。幾何畫板演示那么是不是說，就一定會存在這個點D使得 ADB到達最大呢?學生1:應該是存在的教師：如果存在的話，應該在什么位置呢？學生1:老師，肯定越近可見角越大學生2：不，我覺得是越遠可見角越大教師：那好，有爭議的話，我們再用幾何畫板演示一下現在我讓點D 一直向中間移動，同學們要留意ADB是如何變化的？幾何畫板演示學生： ADB是先變大，后來又慢慢變小教師：對了，也就是說，在這條直線上，總會存在一個點，使得ADB最大，對不對？學生：對。教師：那么我們要在這條直線上找到這個點呢？學生：可以轉化為求點 D

12、到交點C的距離。教師：對了，要求 CD的長度，那么我們設 CD的長度為x,問題就轉化為當x為多少時， ADB最大？為了解決這個問題，我們把 AC、BC的長度當成是已知的，AC=m,BC=n,把一些需要的角標一下， 、，這里的 也就是 ADB打開PPT4人證明CQ已知AC=m,BC=n,CD=x ,x>0，求當x為多少時，最大?黑板板書教師：那么我們就要用這些已知的條件來解決這個問題了。大家先看一下aACD，剛剛說了懸桿是垂直于地球外表的，所以a ACD是一個什么三角形?學生：直角三角形教師：那么AC、CD與 之間有什么關系？學生2： tan m教師板書出來 x教師：很好，那么我們再看 a

13、BCD呢？學生1:同樣是一個直角三角形教師：所以也可以同樣得到怎樣的關系式？學生1： tan 口教師板書出來 x教師：那再看看、 之間有什么關系?學生2:教師：也就是板書出來我們在上面已經求出了、的正切值了，那么可以求出的正切值嗎？要怎樣求？學生1 ：. tttan tan 教師板書出來tantan()1 tan tan教師：請繼續。學生1：把剛剛tanmtan”代入上式教師：很好，那么大家動手把數據代入并進行化簡。那么有那位同學化簡得到最終的結果?學生2： tan m n 教師板書出來 m n x x教師：好的。那么我們看看，我們要求的最大值，是不是就是求 tan的最大值？學生：是的。教師：

14、看看上面式子，那些是已知的？學生：m,n教師：所以說，m-n就是一個定值，那么要求 tan的最大值，只需要求式子的分母的最小 值，對不對？學生：對。教師：那好，我們就把分母別離出來，x m上板書出來x現在要求的是x m的最小值，也就是應該要 x m上 板書出來 xx同學們看出什么了嗎？學生：基本不等式教師：那要怎樣做下去呢？學生1 ： x m-n- 2jm n教師板書出來 x教師：什么時候等號成立？學生1：當x m時，算得x jmn教師板書出來 x教師：也就是，x2 mn o好，到這里已經把結果算出來了，同學們答復一下題目提出問題的答案？學生：當x 而滯時，tan取得最大值，也就是取得最大值。

15、教師：同學們看一下，我們解決這個問題的時候， 先把幾何的問題轉化為代數問題，再用代 數的方法把問題解決了， 但是如果每次都遇到這種問題，都要算這么多是不是很麻煩？我們 在上面的計算過程，有沒有得到什么啟示？學生1：當x Jmn時，取得最大值。教師：很好，這也算是一個結論，有沒有一個關于幾何方面的結論呢？學生：思考教師：剛剛所說的，CD x 7m-n JAB BC ,也就是CD2 AC BC ,那么根據這個式子有沒有想到關于圓的一些性質？老師在這里提示一下，大家還記得切割線定理嗎？ PPT展示A這里PA是圓O的切線，BC是圓O的一條割線，那么切割線定理是怎么描述的？學生：PA2 PB PC教師：

16、這個等式跟上面所說的，CD2 AC BC在形式上是不是有點相似啊？學生：PA對應CD, PB、PC分另灰應BC、AC,也就是CD、AB分別是某個圓的切線、割 線。教師：對了，表示出來就是這樣子的圖形 PPT展示所以我們有下面的結論：結論：當且僅當過ABD三點作外接圓且 CD與該圓相切的時候,ADB最大。同學們可能在這個時候就要問，得出這個結論有什么用？老老實實用代數的方法去算不就行了嗎？帶著這個問題，下面我們再看一道題目PPT展示在已知直線l的同側有P、Q兩點，試在直線l上求一點M使得M對P、Q兩點的張角，PMQ最大？教師：那我們來看看這道題跟第一題有什么區別？幾何畫板演示我們連接PQ,再延長

17、PQ到直線l交于點O,跟第一題畫的圖比較一下幾何畫板演示同學們看一下，PQ是不是相當于把懸桿 AB倒置了一樣，還有哪些是相對應的?學生2： PO對應AC , PMQ對應 ABD ,教師：既然有那么多相似的地方，大家嘗試著解決。學生在草稿本上解決教師：有沒有同學算出來？學生1：用剛剛的代數方法算不出來。教師：為什么？學生1: PO不垂直于直線1,無法用到直角三角形的性質。教師：那么除了這種方法，剛剛不是還有一個結論嗎？學生2:類似于剛剛的結論，那么有結論，當且僅當 PMQ三點所作的外接圓與直線 1相切于點M的時候， PMQ最大。教師：很好幾何畫板演示P那我們現在用幾何畫板演示可以知道此時PMQ是

18、最大的，但是僅僅用幾何畫板是不夠的，我們需要用數學的方法去證明。現在要證明我們找到的點M是使得 PMQ是最大的，應該要怎樣去證明呢？學生1：我們可以在直線l上任取一點M,只要 PMQ< PMQ即可。教師：那我們就在直線 l上再找一點M幾何畫板演示現在的目標是什么？學生：證明PM'Q< PMQ教師：看看兩個角跟圓有什么關系？學生1： PMQ是圓周角， PM Q在圓的外面，好似沒學過。教師：好的，那么老師今天就補充一點新的知識，頂點在圓外 ，并且兩邊都和圓相交或相切的角叫圓外角，圓外角的度數等于它所夾的兩弧度數的差（較大弧的度數減去較小弧的度數）的一半。看看 PM Q滿足上述的特征嗎？. 一 . 一一. » ,學生：滿足，所以 PM Q是圓外角。教師：再看看，圓外角的度數等于它所夾的兩弧度數的差（較大弧的度數減去較小弧的度數 ）的一半，這句話表達了什么信息？對照著上圖來看看學生：也就是 PM'Q的度數等于線段PM PQf夾的兩段弧的度數之差的一半，即弧PC®數的一半減去小弧度數的一半。教師：那 PMQ的度數怎么表示？學