1、第二章第二章 波函數波函數和和 Schrodinger Schrodinger 方程方程l1 1 波函數的統計解釋波函數的統計解釋 l2 2 態疊加原理態疊加原理 l3 3 力學量的平均值和算符的引進力學量的平均值和算符的引進 l4 Schrodinger 4 Schrodinger 方程方程 l5 5 粒子流密度和粒子數守恒定律粒子流密度和粒子數守恒定律 l6 6 定態定態SchrodingerSchrodinger方程方程 1 1 波函數的統計解釋波函數的統計解釋一波函數一波函數 二波函數的解釋二波函數的解釋三波函數的性質三波函數的性質 3 3個問題？個問題？ 描寫自在粒子的描寫自在粒子的

2、平平 面面 波波),(tr 假設粒子處于隨時間和位置變化的力場中運動，他的動量和能假設粒子處于隨時間和位置變化的力場中運動，他的動量和能量不再是常量或不同時為常量粒子的形狀就不能用平面波量不再是常量或不同時為常量粒子的形狀就不能用平面波描寫，而必需用較復雜的波描寫，普通記為：描寫，而必需用較復雜的波描寫，普通記為：描寫粒子形狀的描寫粒子形狀的波函數，它通常波函數，它通常是一個復函數。是一個復函數。稱為稱為 dedeBroglie Broglie 波。此式稱為自在粒子的波函數。波。此式稱為自在粒子的波函數。(1) (1) 是怎樣描畫粒子的形狀呢？是怎樣描畫粒子的形狀呢？(2) (2) 如何表達波

3、粒二象性的？如何表達波粒二象性的？(3) (3) 描寫的是什么樣的波呢？描寫的是什么樣的波呢？一波函數一波函數 )(expEtrpiA電子源電子源感感光光屏屏兩種錯誤的看法兩種錯誤的看法1. 1. 波由粒子組成波由粒子組成 如水波，聲波，由分子密度疏密變化而構成的一種分布。如水波，聲波，由分子密度疏密變化而構成的一種分布。這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗。這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗。 電子一個一個的經過小孔，但只需時間足夠長，底片上添加呈電子一個一個的經過小孔，但只需時間足夠長，底片上添加呈現出衍射花紋。這闡明電子的動搖性并不是許多電子在空

4、間聚集在現出衍射花紋。這闡明電子的動搖性并不是許多電子在空間聚集在一同時才有的景象，單個電子就具有動搖性。一同時才有的景象，單個電子就具有動搖性。 PPOQQO 現實上，正是由于單個電子具有動搖性，才干了解氫原子現實上，正是由于單個電子具有動搖性，才干了解氫原子只含一個電子！中電子運動的穩定性以及能量量子化這樣一只含一個電子！中電子運動的穩定性以及能量量子化這樣一些量子景象。些量子景象。 波由粒子組成的看法夸張了粒子性的一面，而抹殺了粒波由粒子組成的看法夸張了粒子性的一面，而抹殺了粒子的動搖性的一面，具有片面性。子的動搖性的一面，具有片面性。2. 2. 粒子由波組成粒子由波組成l電子是波包。把

5、電子波看成是電子的某種實踐構造，是三維空電子是波包。把電子波看成是電子的某種實踐構造，是三維空間中延續分布的某種物質波包。因此呈現出干涉和衍射等動搖間中延續分布的某種物質波包。因此呈現出干涉和衍射等動搖景象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動景象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度。速度。 l什么是波包？波包是各種波數長平面波的迭加。什么是波包？波包是各種波數長平面波的迭加。 平面波描寫自在粒子，其特點是充溢整個空間，這是由于平面波描寫自在粒子，其特點是充溢整個空間，這是由于平面波振幅與位置無關。假設粒子由波組成，那么自在粒子將平面波振幅與位置無關。假設粒子由波

6、組成，那么自在粒子將充溢整個空間，這是沒有意義的，與實驗現實相矛盾。充溢整個空間，這是沒有意義的，與實驗現實相矛盾。 l實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區域內。例如在一個原實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區域內。例如在一個原子內，其廣延不會超越原子大小子內，其廣延不會超越原子大小1 1 。 l電子終究是什么東西呢？是粒子？還是波？電子終究是什么東西呢？是粒子？還是波？ “ 電子既不是粒電子既不是粒子也不是波子也不是波 ，既不是經典的粒子也不是經典的波，既不是經典的粒子也不是經典的波， 但是我們但是我們也可以說，也可以說，“ 電子既是粒子也是波，它是粒子和動搖二重性矛電子既是粒子也是波，它是

7、粒子和動搖二重性矛盾的一致。盾的一致。 這個波不再是經典概念的波，粒子也不是經典概念中的粒子。這個波不再是經典概念的波，粒子也不是經典概念中的粒子。經典概念中經典概念中 1. 1.有一定質量、電荷等有一定質量、電荷等“顆粒性的屬性顆粒性的屬性; ; 粒子意味著粒子意味著 2 2有確定的運動軌道，每一時辰有一定有確定的運動軌道，每一時辰有一定 位置和速度。位置和速度。經典概念中經典概念中 1.1.真實的物理量的空間分布作周期性的變化真實的物理量的空間分布作周期性的變化; ; 波意味著波意味著 2 2干涉、衍射景象，即相關疊加性。干涉、衍射景象，即相關疊加性。1.1.入射電子流強度小，開場顯示電子

8、的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣入射電子流強度小，開場顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣; ;QQOPP我們再看一下電子的衍射實驗我們再看一下電子的衍射實驗2. 2. 入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣. .電子源電子源感感光光屏屏二波函數的解釋二波函數的解釋 r r 點附近衍射花樣的強度點附近衍射花樣的強度 正比于該點附近感光點的數目，正比于該點附近感光點的數目， 正比于該點附近出現的電子數目，正比于該點附近出現的電子數目， 正比于電子出如今正比于電子出如今 r r 點附近的幾點附近的幾 率。率。l結論：衍射實驗所提示的電子的動搖性是：結論：衍射實驗所提示

9、的電子的動搖性是： 許多電子在同一個實驗中的統計結果，或者是一個許多電子在同一個實驗中的統計結果，或者是一個電子在許多次一樣實驗中的統計結果。電子在許多次一樣實驗中的統計結果。 l波函數正是為了描畫粒子的這種行為而引進的，在此根波函數正是為了描畫粒子的這種行為而引進的，在此根底上，底上，Born Born 提出了波函數意義的統計解釋。提出了波函數意義的統計解釋。在電子衍射實驗中，照相底片上在電子衍射實驗中，照相底片上 據此，描寫粒子的波可以以為是幾率波，反映微據此，描寫粒子的波可以以為是幾率波，反映微觀客體運動的一種統計規律性，波函數觀客體運動的一種統計規律性，波函數(r)(r)有時也稱有時也

10、稱為幾率幅。為幾率幅。 這就是首先由這就是首先由 Born Born 提出的波函數的幾率解釋，提出的波函數的幾率解釋，它是量子力學的根本原理。它是量子力學的根本原理。 假設衍射波波幅用假設衍射波波幅用 (r) (r) 描畫，與光學類似，描畫，與光學類似， 衍射花紋的強度那么用衍射花紋的強度那么用 |(r)|2 |(r)|2 描畫，但意義與描畫，但意義與經典波不同。經典波不同。 | (r)|2 | (r)|2 的意義是代表電子出如今的意義是代表電子出如今 r r 點附近點附近幾率的大小，確切的說，幾率的大小，確切的說，| (r)|2 x y z | (r)|2 x y z 表示在表示在 r r

11、點處，體積元點處，體積元xyzxyz中找到粒子的幾中找到粒子的幾率。波函數在空間某點的強度振幅絕對值的平方率。波函數在空間某點的強度振幅絕對值的平方和在這點找到粒子的幾率成比例，和在這點找到粒子的幾率成比例，三波函數的性質三波函數的性質在在t t時辰，時辰，r r點，點，d=dxdydzd=dxdydz體積內，找到由波函數體積內，找到由波函數(r,t)(r,t)描寫的粒子的幾率是：描寫的粒子的幾率是：d W( r, t) = C| (r,t)|2 dd W( r, t) = C| (r,t)|2 d，其中，其中，C C是比例系數。是比例系數。根據波函數的幾率解釋，波函數有如下重要性質：根據波函

12、數的幾率解釋，波函數有如下重要性質：1 1幾率和幾率密度幾率和幾率密度在在t t時辰時辰r r點，單位體積內找到粒子的幾率是：點，單位體積內找到粒子的幾率是： w( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|2 w( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|2 稱為幾率密度。稱為幾率密度。在體積在體積 V V 內，內，t t 時辰找到粒子的幾率為：時辰找到粒子的幾率為： W(t) = V dW = Vw( r, t ) d= CV | (r,t)|2 dW(t) = V dW = Vw( r, t ) d= CV | (r,t)|2 d2

13、2 平方可積平方可積由于粒子在空間總要出現不討論粒子產生和湮滅由于粒子在空間總要出現不討論粒子產生和湮滅情況，所以在全空間找到粒子的幾率應為一，即：情況，所以在全空間找到粒子的幾率應為一，即： C | (r , t)|2 d= 1, C | (r , t)|2 d= 1, 從而得常數從而得常數 C C 之值為：之值為： C = 1/ | (r , t)|2 d C = 1/ | (r , t)|2 d這即是要求描寫粒子量子這即是要求描寫粒子量子形狀的波函數形狀的波函數 必需是絕必需是絕對值平方可積的函數。對值平方可積的函數。假假設設 | (r , t)|2 d | (r , t)|2 d ,

14、, 那么那么 C C 0, 0, 這是沒有意義的。這是沒有意義的。 )(exp),(EtrpiAtr留意：自在粒子波函數留意：自在粒子波函數 不滿足這一要求。關于自在粒子波函數如何歸一化問題，不滿足這一要求。關于自在粒子波函數如何歸一化問題，以后再予以討論。以后再予以討論。 3 3歸一化波函數歸一化波函數 這與經典波不同。經典波波幅增大一倍原來的這與經典波不同。經典波波幅增大一倍原來的 2 2 倍，那么倍，那么相應的動搖能量將為原來的相應的動搖能量將為原來的 4 4 倍，因此代表完全不同的動搖形狀。倍，因此代表完全不同的動搖形狀。經典波無歸一化問題。經典波無歸一化問題。 (r , t ) (r

15、 , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 所描寫形狀的相對幾率是一樣的，這里的所描寫形狀的相對幾率是一樣的，這里的 C C 是常數。是常數。 由于在由于在 t t 時辰，空間恣意兩點時辰，空間恣意兩點 r1 r1 和和 r2 r2 處找到粒子處找到粒子的相對幾率之比是：的相對幾率之比是： 由于粒子在全空間出現的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現的幾率由于粒子在全空間出現的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現的幾率只取決于波函數在空間各點強度的相對比例，而不取決于強度的絕對大只取決于波函數在空間各點強度的相對比例，而不取決于強度的絕對大小，因此，將波函數乘上一個常數后，所描寫

16、的粒子形狀不變，即小，因此，將波函數乘上一個常數后，所描寫的粒子形狀不變，即 (r, t) (r, t) 和和 C (r, t) C (r, t) 描畫同一形狀描畫同一形狀221221),(),(),(),(trtrtrCtrC 可見，可見， (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 描畫的是同一幾率波，描畫的是同一幾率波，所以波函數有一常數因子不定性。所以波函數有一常數因子不定性。歸一化常數l假設假設 (r , t ) (r , t ) 沒有歸一化，沒有歸一化， | (r , t )|2 d= A | (r , t )|2 d= A A A 是大于

17、零的常是大于零的常數，那么有數，那么有 l |(A)-1/2 (r , t )|2 d= 1 |(A)-1/2 (r , t )|2 d= 1 也就是說，也就是說，(A)-1/2 (r , t )(A)-1/2 (r , t )是歸一化的波函數，是歸一化的波函數， 與與 (r , t ) (r , t )描寫同一幾率波，描寫同一幾率波，(A)-1/2 (A)-1/2 稱為歸稱為歸一化因子。一化因子。 留意：對歸一化波函數仍有一個模為一的因子不定性。留意：對歸一化波函數仍有一個模為一的因子不定性。 假設假設 (r , t ) (r , t )是歸一化波函數，那末，是歸一化波函數，那末， expi

18、 (r , t ) expi (r , t ) 也是歸一化波函數其中也是歸一化波函數其中是是實數，與前者描畫同一幾率波。實數，與前者描畫同一幾率波。4 4平面波歸一化平面波歸一化I Dirac I Dirac 函數函數 定義：定義： 0000)(xxxxxx )0(1)()(0000 dxxxdxxxxx或等價的表示為：對在或等價的表示為：對在x=x0 x=x0 鄰域鄰域延續的任何函數延續的任何函數 f fx x有：有：)()()(00 xfdxxxxf 函數函數 亦可寫成亦可寫成 Fourier Fourier 積分方式：積分方式：)(0021)(xxikedkxx 令令 k=px/k=px

19、/, dk= dpx/, dk= dpx/, , 那么那么xxxpidpexxx)(0021)( 性質：性質：)()()()(000 xxxfxxxf )(|1)(xaax )()(xx 0 x0 x)(0 xx dxeppxpxpxppixxxxxx)(021)( ，則則，作作代代換換：II II 平面波平面波 歸一化歸一化EtipEtrpiperAetr )(),(寫成分量方式寫成分量方式321)()()()(zpiypixpippprpipzyxzyxeAeAeAzyxAer t=0 t=0 時的平面波時的平面波)(),(),(22*22xxtppippppedxtxtxxxxx 思索一

20、維積分思索一維積分dxxxexxxxpptEEi)()(* dxxxexxxxpptppi)()(*2222 dxxxxxpp)()(* )(221xxppA 假設取假設取 A12 2A12 2 = 1 = 1，那么，那么 A1= 2A1= 2-1/2, 1/2, 于是于是xpipxxex 21)( )(xxpp 平面波可歸一化為平面波可歸一化為函數函數)(xxpp dxtxtxxxpp),(),(* )(xxpp dxeAxppixx21 dxeppxppixxxx)(21)( )()()()(000 xxxfxxxf 三維情況：三維情況：EtipEtrpiperetr )(21),(2/3

21、 drredtrtrpptEEipp)()(),(),(* )()()()()()(*ppppppppdrrzzyyxxpp 2/332121 AAAA)()(ppppetEEi 其中其中2/321)(rpiper 留意：這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度，留意：這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度，依然只是表示平面波所描寫的形狀在空間各點找到粒子的幾率依然只是表示平面波所描寫的形狀在空間各點找到粒子的幾率一樣。一樣。作作 業業 補補 充充 題題波波函函數數是是否否等等價價？兩兩種種情情況況，得得到到的的兩兩個個取取、對對是是否否等等價價？和和、波波函函數數請請問問：已已

22、知知下下列列兩兩個個波波函函數數：2)()()(, 3 ,2, 1|0|)(2sin)(, 3 ,2, 1|0|)(2sin)()2(12121 nxIIxxInaxaxaxanAxnaxaxaxanAx .)24(,3,)1 (/26/ )2(5/24/33/22/211xixixixixixieieeeee 描描寫寫同同一一狀狀態態？些些與與請請問問下下列列波波函函數數中中，哪哪2 2 態疊加原理態疊加原理l一一態疊加原理態疊加原理l二二動量空間表象的波函數動量空間表象的波函數一態疊加原理l微觀粒子具有動搖性，會產生衍射圖樣。而干微觀粒子具有動搖性，會產生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質在于波

23、的疊加性，即可相加性，涉和衍射的本質在于波的疊加性，即可相加性，兩個相加波的干涉的結果產生衍射。因此，同兩個相加波的干涉的結果產生衍射。因此，同光學中波的疊加原理一樣，量子力學中也存在光學中波的疊加原理一樣，量子力學中也存在波疊加原理。由于量子力學中的波，即波函數波疊加原理。由于量子力學中的波，即波函數決議體系的形狀，稱波函數為形狀波函數，所決議體系的形狀，稱波函數為形狀波函數，所以量子力學的波疊加原理稱為態疊加原理。以量子力學的波疊加原理稱為態疊加原理。思索電子雙縫衍射思索電子雙縫衍射 l= C11 + C22 = C11 + C22 也是電子的能夠形狀。也是電子的能夠形狀。 l空間找到電子

24、的幾率那么是：空間找到電子的幾率那么是： l|2 = |C11+ C22|2 |2 = |C11+ C22|2 l = (C1 = (C1* *11* *+ C2+ C2* *22* *) (C11+ C22) ) (C11+ C22) l = |C1 1|2+ |C22|2 + C1 = |C1 1|2+ |C22|2 + C1* *C21C21* *2 + C1C22 + C1C2* *1212* * P1 122S1S2電子源電子源感感光光屏屏電子穿過狹縫電子穿過狹縫出如今點出如今點的幾率密度的幾率密度電子穿過狹縫電子穿過狹縫出如今點出如今點的幾率密度的幾率密度相關項相關項 正是由于相關

25、項的正是由于相關項的出現，才產生了衍出現，才產生了衍射花紋。射花紋。一個電子有一個電子有 1 1 和和 2 2 兩種能夠的形兩種能夠的形狀，狀， 是這兩種形是這兩種形狀的疊加。狀的疊加。態疊加原理普通表述：態疊加原理普通表述： 假設假設1 1 ，2 ,., n ,.2 ,., n ,.是體系的一系是體系的一系列能夠的形狀，那么這些態的線性疊加列能夠的形狀，那么這些態的線性疊加 = C11 + = C11 + C22 + .+ Cnn + . C22 + .+ Cnn + . ( (其中其中 C1 , C2 ,.,Cn ,. C1 , C2 ,.,Cn ,.為復常數為復常數) )。 也是體系的一

26、個能夠形狀。也是體系的一個能夠形狀。 處于處于態的體系，部分的處于態的體系，部分的處于 1 1態，部分的處于態，部分的處于22態態.，部分的處于，部分的處于nn，.普通情況下，假設1和2 是體系的能夠形狀，那末它們的線性疊加= C11 + C22 也是該體系的一個能夠形狀.其中C1 和 C2 是復常數，這就是量子力學的態疊加原理。例：例： )(expEtrpiAp( , )()( , )( , )()( , )pppxyzr tc pr tr tc pr t dpdpdp dp dpp ，其 中 由 于是 連 續 變 化 的 ，所 以 后 式 應 用 積 分 代 替 了 求 和 。電子在晶體外

27、表反射后，電子電子在晶體外表反射后，電子能夠以各種不同的動量能夠以各種不同的動量 p p 運運動。具有確定動量的運動形狀動。具有確定動量的運動形狀用用dedeBroglie Broglie 平面波表示平面波表示根據疊加原理，在晶體外表反射后，電子的形狀根據疊加原理，在晶體外表反射后，電子的形狀可表示可表示成成 p p 取各種能夠值的平面波的線性疊加，即取各種能夠值的平面波的線性疊加，即而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結果。而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結果。 dpp二動量空間表象的波函數二動量空間表象的波函數l (r,t) (r,t)是以坐標是以坐標 r r 為自變量的波函數，為自變量的

28、波函數， 坐標空間波函數，坐標表象波函數；坐標空間波函數，坐標表象波函數； lC(p, t) C(p, t) 是以動量是以動量 p p 為自變量的波函數，為自變量的波函數， 動量空間波函數，動量表象波函數；動量空間波函數，動量表象波函數； l二者描寫同一量子形狀。二者描寫同一量子形狀。exp21)(2/3rpirp ）（ 波函數波函數(r,t) (r,t) 可用各種不同動量的平面波表示，可用各種不同動量的平面波表示， 下面我們給出簡單證明。下面我們給出簡單證明。rdtrrtpcp),()(),( 同同描描述述方方式式。是是同同一一量量子子態態的的兩兩種種不不一一一一對對應應，與與所所以以的的。

29、變變換換式式，故故而而總總是是成成立立顯顯然然，二二式式互互為為),(),(tpctrFourier 展開展開系數系數pdrtpctrp)(),(),( 令令那么那么 可按可按p p 展開展開dxdydzrpitrexp),(212/3 ）（ zyxdpdpdprpitpcexp),()2(12/3 假設假設 (r,t) (r,t)已歸一化，那么已歸一化，那么 C(p, t) C(p, t)也是歸一化的。也是歸一化的。pdtpctpcpdtpc),(),(| ),(|2 證證明明：pdrdrtrrdrtrpp ) (), ()(),( pdrrrdrdtrtrpp) ()(), (),( )

30、(), (),(rrrdrdtrtr 1),(),(rdtrtr函函數數的的目目的的。平平面面波波歸歸一一化化為為由由此此我我們們也也可可以以看看出出把把關關系系式式其其中中使使用用了了 ) () ()(rrpdrrpprdtrrtpcp),()(),( 體體積積元元內內的的幾幾率率；點點附附近近時時刻刻粒粒子子出出現現在在rdrtrdtrtrdW 2|),(|),(具具有有類類似似的的物物理理含含義義與與),(),(trtrc 體體積積元元內內的的幾幾率率。點點附附近近時時刻刻粒粒子子出出現現在在動動量量pdptpdtrctpdW 2|),(|),(3 3 力學量的平均值和算符的引進力學量的

31、平均值和算符的引進 一力學量平均值一力學量平均值 1 1坐標平均值坐標平均值 2 2動量平均值動量平均值 二力學量算符二力學量算符 1 1動量算符動量算符 2 2動能算符動能算符 3 3角動量算符角動量算符 4 4Hamilton Hamilton 算符算符一一力學量平均值力學量平均值在統計物理中知道：在統計物理中知道： l當能夠值為離散值時當能夠值為離散值時: : 一個物理量的平均值等于物理一個物理量的平均值等于物理量出現的各種能夠值乘上相應的幾率求和；量出現的各種能夠值乘上相應的幾率求和； 當能夠值當能夠值為延續取值時：一個物理量出現的各種能夠值乘上相為延續取值時：一個物理量出現的各種能夠

32、值乘上相應的幾率密度求積分。應的幾率密度求積分。 基于波函數的幾率含義，我們基于波函數的幾率含義，我們馬上可以得到粒子坐標和動量的平均值。先思索一維馬上可以得到粒子坐標和動量的平均值。先思索一維情況，然后再推行至三維。情況，然后再推行至三維。1 1坐標平均值坐標平均值 dxxxxx2|)(| drxxx2|)(|為簡單計，剩去時間變量或者說，先不思索隨時間的變化為簡單計，剩去時間變量或者說，先不思索隨時間的變化 設設(x) (x) 是歸一化波函數，是歸一化波函數，| (x)|2 | (x)|2 是粒子出如今是粒子出如今x x點的幾率密點的幾率密度，那么度，那么對三維情況，設對三維情況，設(r)

33、 (r) 是歸一化波函數，是歸一化波函數，|(r)|2|(r)|2是粒子出如是粒子出如今今 r r 點的幾率密度，那么點的幾率密度，那么x x的平均值為的平均值為2 2動量平均值動量平均值一維情況：令一維情況：令(x)(x)是歸一化波函是歸一化波函數，相應動量表象波函數為數，相應動量表象波函數為xxxxxxxxxdppcpppppcdxxipxpc222/1|)(|)(|)/exp()()2(1)( 的的幾幾率率密密度度，則則粒粒子子動動量量為為 既然既然(x) (x) 是歸一化波函數，相應動量表是歸一化波函數，相應動量表象波函數為象波函數為c(px) c(px) 一一 一一 對應，相互等價的

34、描對應，相互等價的描畫粒子的同一形狀，那末動量的平均值也應可畫粒子的同一形狀，那末動量的平均值也應可以在坐標表象用以在坐標表象用(x)(x)表示出來。但是表示出來。但是(x)(x)不不含含pxpx變量，為了能由變量，為了能由(x)(x)來確定動量平均值，來確定動量平均值，動量動量 px px必需改呵斥只含自變量必需改呵斥只含自變量 x x 的方式，這的方式，這種方式稱為動量種方式稱為動量 px px的算符方式，記為的算符方式，記為二力學量算符二力學量算符簡言之，由于量子力學和經典力學完全不同，它是用波函數簡言之，由于量子力學和經典力學完全不同，它是用波函數描寫形狀，所以力學量也必需改呵斥與經典

35、力學不同的算符描寫形狀，所以力學量也必需改呵斥與經典力學不同的算符方式稱為第一次量子化。方式稱為第一次量子化。xp 1 1動量算符動量算符一維情況：一維情況：xxxxxxxxxdppcppcdppcppp)()(| )(|2 xxxxpidppcpdxexx)()(21 xxxxpidxdppcpexx)()(21 xxxpidxdppcedxdixx)()(21 )(21)(xxxpidppcedxdixdxx dxxpxdxxdxdixx)()()()( 比較上面二式得兩點結論：比較上面二式得兩點結論： izkyjxiiprrxx 體系形狀用坐標表象中的波函數體系形狀用坐標表象中的波函數

36、(r) (r) 描寫時，描寫時，坐標坐標 x x 的算符就是其本身，即的算符就是其本身，即闡明力學量在本身表象中的算符方式最簡單。闡明力學量在本身表象中的算符方式最簡單。dxdipx 而動量而動量 px px 在坐標表象非本身表象中的方式必在坐標表象非本身表象中的方式必需改呵斥動量算符方式：需改呵斥動量算符方式：三維情況：三維情況： 由歸一化波函數由歸一化波函數(r)(r)求求 力學量平均值時，必需把該力學量平均值時，必需把該力學量的算符夾在力學量的算符夾在* *(r)(r)和和(r)(r)之間之間, ,對全空間積分，即對全空間積分，即()()()()()()xxxxxxxxd xppxpxd

37、 xFFxFxd x 一 維 情 況 ： rdrrrdrFrFF)()()()(若若波波函函數數未未歸歸一一化化，則則F F 是任一是任一 力學量算符力學量算符 rdrFrFFrdrprpprdrxrxxxxx)()()()()()(三三維維情情況況：2 2動能算符動能算符rdrTrTTmpTmpT)()(2222 則則所所以以動動能能算算符符在在經經典典力力學學中中，3 3角動量算符角動量算符prLprL )()()(xyyxipypxLzxxzipxpzLyzzyipzpyLxyzzxyyzx 三三個個分分量量：rdrLrL)()( 四四章章中中討討論論。將將在在第第算算符符之之間間更更深

38、深刻刻的的關關系系學學量量與與相相應應算算符符的的寫寫法法以以及及力力量量，對對于于有有經經典典對對應應的的力力學學的的粒粒子子在在勢勢場場中中)(2)()(22rVmrVTHVTHrV 4 4Hamilton Hamilton 算符算符作作 業業 補充題補充題、動動能能平平均均值值。；、歸歸一一化化系系數數為為實實常常量量，求求：其其中中狀狀態態中中，一一維維諧諧振振子子處處于于實實數數，則則）證證明明：如如果果波波函函數數是是（IIAIAexpxx 2/22)()2(. 01 4 Schrodinger 4 Schrodinger 方程方程一一引引 二二引進方程的根本思索引進方程的根本思索

39、 三三自在粒子滿足的方程自在粒子滿足的方程 四四勢場勢場V(r)V(r)中運動的粒子中運動的粒子 五五多粒子體系的多粒子體系的SchrodingerSchrodinger方程方程這些問題在這些問題在19261926年年Schrodinger Schrodinger 提出了動搖方程之后提出了動搖方程之后得到了圓滿處理。得到了圓滿處理。 微觀粒子量子形狀用波函數完全描畫，波函數微觀粒子量子形狀用波函數完全描畫，波函數確定之后，粒子的任何一個力學量的平均值及其丈確定之后，粒子的任何一個力學量的平均值及其丈量的能夠值和相應的幾率分布也都被完全確定，波量的能夠值和相應的幾率分布也都被完全確定，波函數完全

40、描寫微觀粒子的形狀。因此量子力學最中函數完全描寫微觀粒子的形狀。因此量子力學最中心的問題就是要處理以下兩個問題：心的問題就是要處理以下兩個問題：(1)(1)在各種情況下，找出描畫系統的各種能夠的波函數在各種情況下，找出描畫系統的各種能夠的波函數: : (2)(2)波函數如何隨時間演化。波函數如何隨時間演化。一一引引二二引進方程的根本思索引進方程的根本思索 從牛頓方程，人們可以確定以后任何時辰從牛頓方程，人們可以確定以后任何時辰 t t 粒子的粒子的形狀形狀 r r 和和 p p 。由于初條件知道的是坐標及其對時。由于初條件知道的是坐標及其對時間的一階導數，所以方程是時間的二階常微分方程。間的一

41、階導數，所以方程是時間的二階常微分方程。讓我們先回想一下經典粒子運動方程，看能否能給我們以啟發。讓我們先回想一下經典粒子運動方程，看能否能給我們以啟發。1 1經典情況經典情況0000,ttdtrdmprtt 時時刻刻，已已知知初初態態是是：22dtrdmF 方方程程：粒粒子子滿滿足足的的方方程程是是牛牛頓頓2 2量子情況量子情況 3 3第三方面，方程不能包含形狀參量，如第三方面，方程不能包含形狀參量，如 p, Ep, E等，否那么等，否那么方程只能被粒子特定的形狀所滿足，而不能為各種能夠的形狀方程只能被粒子特定的形狀所滿足，而不能為各種能夠的形狀所滿足。所滿足。1 1由于，由于，t = t0

42、t = t0 時辰，知的初態是時辰，知的初態是( r, t0) ( r, t0) 且只知道這且只知道這樣一個初條件，所以，描寫粒子形狀的波函數所滿足的方程樣一個初條件，所以，描寫粒子形狀的波函數所滿足的方程只能含只能含對時間對時間 的一階導數。的一階導數。2 2另一方面，另一方面，要滿足態疊加原理，即，假設要滿足態疊加原理，即，假設1( r, t ) 1( r, t ) 和和2( r, t )2( r, t )是方程的解，那末。是方程的解，那末。 ( r, t)= C11( r, t ) + C22( r, t ) ( r, t)= C11( r, t ) + C22( r, t ) 也應是該

43、方程的解。這就要求方程應是線性的，也就是說方程也應是該方程的解。這就要求方程應是線性的，也就是說方程中只能包含中只能包含, , 對時間的一階導數和對坐標各階導數的一次對時間的一階導數和對坐標各階導數的一次項，不能含它們的平方或開方項。項，不能含它們的平方或開方項。三三自在粒子滿足的方程自在粒子滿足的方程 這不是所要尋覓的方程，由于它包含形狀這不是所要尋覓的方程，由于它包含形狀參量參量 E E 。將。將對坐標二次微商，得：對坐標二次微商，得：）（1 EtiEit )(expEtrpiA描寫自在粒子波函數描寫自在粒子波函數: :應是所要建立的方程的解。應是所要建立的方程的解。將上式對將上式對 t

44、t 微商，得：微商，得：， 2222)(xxEtzpypxpipxpiAexxzyx 12222222222zyxpppzyx 22222222zypzpy同同理理有有)2(221222222 pp或或 )2()2(222 pEti滿足上述構造方程滿足上述構造方程的三個條件的三個條件討論：討論：經過引出自在粒子動搖方程的過程可以經過引出自在粒子動搖方程的過程可以看出，假設能量關系式看出，假設能量關系式 E = p2/2 E = p2/2 寫成如下方程方式：寫成如下方程方式： 22224ppipptiE）（做算符交換做算符交換4 4即得自在即得自在粒子滿足的方程粒子滿足的方程3 3。）（所所以以

45、3222 ti 22pE 對對自自由由粒粒子子，0)2(2 pE(1)(2)(1)(2)式式四勢場四勢場 V(r) V(r) 中運動的粒子中運動的粒子該方程稱為該方程稱為 Schrodinger Schrodinger 方程，也常稱為動搖方程。方程，也常稱為動搖方程。量量。算算符符，亦亦常常稱稱為為是是體體系系的的式式中中HamiltonHamiltonHtrHtrrVtrti),(),()(2),(22 假設粒子處于勢場假設粒子處于勢場 V(r) V(r) 中運動，那么能動量關系變為：中運動，那么能動量關系變為：HrVpE )(22 )(22rVpE 將其作用于波函數得：將其作用于波函數得：

46、做做4 4式的算符交換得：式的算符交換得：( (五五) )多粒子體系的多粒子體系的 Schrodinger Schrodinger 方程方程 設體系由設體系由 N N 個粒子組成，個粒子組成， 質量分別為質量分別為 i (i = 1, 2,., N) i (i = 1, 2,., N) 體系波函數記為體系波函數記為 ( r1, r2, ., rN ; t) ( r1, r2, ., rN ; t) 第第i i個粒子所遭到的外場個粒子所遭到的外場 Ui(ri) Ui(ri) 粒子間的相互作用粒子間的相互作用 V(r1, r2, ., rN) V(r1, r2, ., rN) 那么多粒子體系的那么

47、多粒子體系的 Schrodinger Schrodinger 方程可表示為：方程可表示為：);,(),()(2);,(211212221trrrrrrVrUtrrrtiNNiNiiiiN 多粒子體系多粒子體系 Hamilton Hamilton 量量 ZjijiZrrerrrV|),(221iiirZerU2)( 對有對有 Z Z 個電子的原子，電子間相互作用為個電子的原子，電子間相互作用為 Coulomb Coulomb 排排斥作用：斥作用：而原子核對第而原子核對第 i i 個電子的個電子的 Coulomb Coulomb 吸引能為：吸引能為：假定原子核位于坐標原點，無窮遠為勢能零點。假定原

48、子核位于坐標原點，無窮遠為勢能零點。 NiNiiiirrrVrUH12122),()(2 例如：例如：5 5 粒子流密度和粒子數守恒定律粒子流密度和粒子數守恒定律一定域幾率守恒一定域幾率守恒 二再論波函數的性質二再論波函數的性質一一 定域幾率守恒定域幾率守恒 思索低能非相對論實物粒子情況，因沒有思索低能非相對論實物粒子情況，因沒有粒子的產生和湮滅問題，粒子數堅持不變。對粒子的產生和湮滅問題，粒子數堅持不變。對一個粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應一個粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應不隨時間改動，即不隨時間改動，即2( , )( , )( , )|( , ) |w r tr tr tr t

49、 (,)0dwrtdd t 在討論了形狀或波函數隨時間變化的規律后，在討論了形狀或波函數隨時間變化的規律后，我們進一步討論粒子在一定空間區域內出現的幾我們進一步討論粒子在一定空間區域內出現的幾率將怎樣隨時間變化。粒子在率將怎樣隨時間變化。粒子在 t t 時辰時辰 r r 點周圍點周圍單位體積內粒子出現的幾率即幾率密度是：單位體積內粒子出現的幾率即幾率密度是：證：思索思索 Schrodinger Schrodinger 方程及其共軛式：方程及其共軛式：)5(222 Vti )6(222 Vti 式式得得：將將)6()5( 2222 titi22 ）（ti取共軛取共軛 dddtdi22 ）（在空間

50、閉區域在空間閉區域中將上式積分，那么有：中將上式積分，那么有：閉區域閉區域上找到粒上找到粒子的總幾子的總幾率在單位率在單位時間內的時間內的增量增量J J是幾率流密度，是幾率流密度，是一矢量。是一矢量。所以所以(7)(7)式是幾率粒子數式是幾率粒子數守恒的積分表示式。守恒的積分表示式。令令 Eq. Eq.7 7趨于趨于 ，即讓積分對全空間進展，即讓積分對全空間進展，思索到任何真實的波函數應該是平方可積的，波函思索到任何真實的波函數應該是平方可積的，波函數在無窮遠處為零，那么式右面積分趨于零，于是數在無窮遠處為零，那么式右面積分趨于零，于是 Eq.Eq.7 7變為：變為：(, )0dwrt dd

51、t0wJt 其微分方式與其微分方式與流膂力學中延流膂力學中延續性方程的方續性方程的方式一樣式一樣 diddtd2 ）（( , )dw r t dJddt ( , )7( , )Sdw r t dJdSdtw r tS （ ）是 體 積的 表 面 。運用運用 Gauss Gauss 定理定理單位時間內經過單位時間內經過的封鎖外表的封鎖外表 S S 流入面積分前面的負號流入面積分前面的負號內內的幾率的幾率2 iJSdS (, )0dw r t ddt討論：闡明，波函數歸一化不隨闡明，波函數歸一化不隨時間改動，其物理意義是時間改動，其物理意義是粒子既未產生也未消滅。粒子既未產生也未消滅。1 1 這里

52、的幾率守恒具有定域性質，當空間某處這里的幾率守恒具有定域性質，當空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率添加，使總幾率幾率減少了，必然另外一些地方幾率添加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來實現這種變化。不變，并伴隨著某種流來實現這種變化。2 2 以以乘延續性乘延續性方程等號兩邊，得到：方程等號兩邊，得到：0wJt 量子力學的質量量子力學的質量守恒定律守恒定律同理可得量子力學同理可得量子力學的電荷守恒定律：的電荷守恒定律：0eewJt 闡明電荷總量闡明電荷總量不隨時間改動不隨時間改動2|( , )|()2wwr tiJJ 質量密度和質量流密度矢量質量密度和質量流密度矢量2|( , )|()2eew

53、ewer tiJeJe 電荷密度和電流密度矢量電荷密度和電流密度矢量二再論波函數的性質二再論波函數的性質1. 1. 由由 Born Born 的統計解釋可知，描寫粒子的波函數知后，就知的統計解釋可知，描寫粒子的波函數知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即道了粒子在空間的幾率分布，即 d W(r, t) = |(r, t)|2 d d W(r, t) = |(r, t)|2 d 2. 2. 知知 (r, t) (r, t)， 那么恣意力學量的平均值、能夠值及相應那么恣意力學量的平均值、能夠值及相應的幾率就都知道了，也就是說，描寫粒子形狀的一切力學量的幾率就都知道了，也就是說，描寫粒子形狀的一切力

54、學量就都知道了。所以波函數又稱為形狀波函數或態函數。就都知道了。所以波函數又稱為形狀波函數或態函數。 3.3.知道體系所受力場和相互作用及初始時辰體系的形狀后，由知道體系所受力場和相互作用及初始時辰體系的形狀后，由SchrodingerSchrodinger方程即可確定以后時辰的形狀。方程即可確定以后時辰的形狀。1 1波函數完全描畫粒子的形狀波函數完全描畫粒子的形狀l式右含有式右含有及其對坐標一階導數的積分，由于積分區域及其對坐標一階導數的積分，由于積分區域是是恣意選取的，所以恣意選取的，所以S S是恣意閉合面。要使積分有意義，是恣意閉合面。要使積分有意義，必必需在變數的全部范圍，即空間任何一

55、點都應是有限、延續且需在變數的全部范圍，即空間任何一點都應是有限、延續且其一階導數亦延續。其一階導數亦延續。 l概括之，波函數在全空間每一點通常應滿足單值、有限、延概括之，波函數在全空間每一點通常應滿足單值、有限、延續三個條件，該條件稱為波函數的規范條件。續三個條件，該條件稱為波函數的規范條件。( , )2SSdw r t dJdSdtidS 2.2.根據粒子數守恒定律根據粒子數守恒定律 : :1. 1. 根據根據BornBorn統計解釋統計解釋 w(r, t) = w(r, t) = * *(r, t) (r, t)(r, t) (r, t)是粒是粒子在子在t t時辰出如今時辰出如今 r r

56、點的幾率，這是一個確定的數，所以要點的幾率，這是一個確定的數，所以要求求(r, t)(r, t)應是應是 r, t r, t的單值函數且有限。的單值函數且有限。2 2波函數規范條件波函數規范條件3 3量子力學根本假定量子力學根本假定 I I、 IIII量子力學根本假定量子力學根本假定 I I 波函數完全描畫粒子的形狀波函數完全描畫粒子的形狀量子力學根本假定量子力學根本假定 II II 波函數隨時間的演化服從波函數隨時間的演化服從 Schrodinger Schrodinger 方程方程6 6 定態定態SchrodingerSchrodinger方程方程 一定態Schrodinger方程 二Ha

57、milton算符和能量本征值方程 三求解定態問題的步驟 四定態的性質 一定態一定態SchrodingerSchrodinger方程方程),()(2),(22trrVtrti )()(),(tfrtr )(2)()()(22rVtftfdtdri 如今讓我們討論如今讓我們討論 有外場情況下有外場情況下的定態的定態 Schrodinger Schrodinger 方程：方程：E )()(2)()(22rErVtEftfdtdi 令：令：/)(iEtetf Etiertr )(),( 于是：于是：V(r)V(r)與與t t無關時，可以無關時，可以分別變量分別變量代代入入)(2)(1)()(122rV

58、rtfdtdtfi )()(tfr 兩兩邊邊同同除除等式兩邊是相互等式兩邊是相互無關的物理量，無關的物理量，故應等于與故應等于與 t, t, r r 無關的常數無關的常數 該方程稱為定態該方程稱為定態 Schrodinger Schrodinger 方程，方程，(r)(r)也也可稱為定態波函數，或可看作是可稱為定態波函數，或可看作是t=0t=0時辰時辰(r,0)(r,0)的定的定態波函數。態波函數。 此波函數與時間此波函數與時間t t的關系是正弦型的，其角頻的關系是正弦型的，其角頻率率=2E/h=2E/h。 由由de Brogliede Broglie關系可知：關系可知： E E 就是體系處于

59、波函數就是體系處于波函數(r,t)(r,t)所描寫的形所描寫的形狀時的能量。也就是說，此時體系能量有確定的狀時的能量。也就是說，此時體系能量有確定的值，所以這種形狀稱為定態，波函數值，所以這種形狀稱為定態，波函數(r,t)(r,t)稱為稱為定態波函數。定態波函數。Etiertr )(),( )()(222rErV 空間波函數空間波函數(r)(r)可由方程可由方程和詳細問題和詳細問題(r)(r)應滿足的邊境條件得出。應滿足的邊境條件得出。二二HamiltonHamilton算符和能量本征值方程算符和能量本征值方程1 1Hamilton Hamilton 算符算符),()(2),(22trrVtr

60、ti 算算符符。亦亦稱稱量量，稱稱為為與與經經典典力力學學相相同同，HamiltonHamiltonH )()(2)()(22rErVtEftfdtdi EVEti22 二方程的特點：都是以一個算符作用于二方程的特點：都是以一個算符作用于(r, t)(r, t)等于等于E(r, t)E(r, t)。所以這兩個算符是完全相當的作用于波函數上的效果一樣。所以這兩個算符是完全相當的作用于波函數上的效果一樣。 HVti222 是相當的。這是相當的。這兩個算符都稱兩個算符都稱為能量算符。為能量算符。也可看出，作用于任一波函數也可看出，作用于任一波函數上的二算符上的二算符)(r ，得得：注注意意到到/ex