1、 多自由度體系多自由度體系 4-1 兩個自由度體系的兩個自由度體系的自由振動自由振動多層房屋振動多層房屋振動不等高排架振動不等高排架振動。多自由度體系多自由度體系簡化簡化多自由度體系多自由度體系建立運動方程建立運動方程剛度法（剛度法（平衡方程平衡方程）柔度法柔度法（位移協調）（位移協調）1.1.剛度法剛度法無阻尼自由振動微分方程無阻尼自由振動微分方程取質量取質量 和和 作隔離體作隔離體 1m2m隔離體隔離體 1.1.慣性力慣性力 和和11m y22m y2.2.彈性力彈性力 和和 1r2r根據達朗伯原理，列平衡方程根據達朗伯原理，列平衡方程 圖圖10-30c10-30c中，結構所受的力中，結構

2、所受的力 、 與結構的位移與結構的位移 、 之間之間滿足剛度方程。滿足剛度方程。11122200m yrm yr(a)(a)1r2r1y2y11111222211222rk yk yrk yk y(b)(b) 式（式（b b） 式（式（a a）, ,得：得：ijk 是結構的剛度系數（圖是結構的剛度系數（圖10-30d10-30d）代入代入1111112222211222( )( )( )0( )( )( )0m y tk y tk y tm y tk y tk y t(4-1)(4-1)1111112222211222( )( )( )0( )( )( )0m y tk y tk y tm y

3、 tk y tk y t(4-1)(4-1)兩個自由度無阻尼體系的自由振動微分方程兩個自由度無阻尼體系的自由振動微分方程求解：求解：假設兩個質點為簡諧振動，則式假設兩個質點為簡諧振動，則式(4-1)的解可設：的解可設：1122( )sin()( )sin()y tYty tYt(c)(c)式式(c)所示運動的特點所示運動的特點: :1)1)在運動過程中，兩質點具有相同的頻率和相同的相在運動過程中，兩質點具有相同的頻率和相同的相位角，位角， 和和 是位移幅值；是位移幅值；2 2）兩質點的位移在數值上隨時間而變化，但二者比）兩質點的位移在數值上隨時間而變化，但二者比值始終保持不變。值始終保持不變。

4、1Y2Y即即1122( )( )y tYy tY常數 這種結構位移形狀保持不變的振動形式稱為這種結構位移形狀保持不變的振動形式稱為主振型或主振型或振型。振型。 式（式（c c）代入式（）代入式（4-14-1），得：），得：21111122221 12222()0()0km Yk Yk Ykm Y(4-2)(4-2) 和和 不全為零的解答，則：不全為零的解答，則：1Y2Y211121kmDk(4-3a)(4-3a)式式(4-3a)稱為頻率方程或特征方程，可求頻率。稱為頻率方程或特征方程，可求頻率。1222220kkm將式（將式（4-3a4-3a）展開：）展開：221112221221()()0k

5、mkmk k（4-3b)4-3b)2221122112212211212()0kkk kk kmmm m2211221122112212211212121122kkkkk kk kmmmmm m（4-4)4-4)可見：具有兩個自由度的體系有兩個自振頻率。可見：具有兩個自由度的體系有兩個自振頻率。 其中最小的圓頻率，稱為第一圓頻率或基本圓頻率。其中最小的圓頻率，稱為第一圓頻率或基本圓頻率。 ：第二圓頻率。：第二圓頻率。12由自振圓頻率由自振圓頻率 和和 ，確定它們各自相應的頻率。，確定它們各自相應的頻率。121代入代入（4-24-2）21111122221 12222()0()0km Yk Yk

6、 Ykm Y11122211111YkYkm 這個比值確定的振動形式：第一圓頻率這個比值確定的振動形式：第一圓頻率 相對應相對應的振型，稱為的振型，稱為第一振型或基本振型第一振型或基本振型。 1第一振型中質點1的振幅第一振型中質點2的振幅同樣，由同樣，由（4-5a4-5a）12122221121YkYkm 第二振型中質點1的振幅2得：得：（4-5b4-5b）第二振型中質點2的振幅求出的兩個振型分別如圖求出的兩個振型分別如圖10-31b10-31b、c c 在一般情況下，兩個自由振動體系的自由振動可在一般情況下，兩個自由振動體系的自由振動可看作是兩個頻率及其主振型的組合振動，即，看作是兩個頻率及

7、其主振型的組合振動，即，11 11112 122221 211122222( )sin()sin()( )sin()sin()y tAYtA Yty tAYtA Yt方程（4-1）的全解從以上的討論中，歸納：從以上的討論中，歸納：（1）在兩個（多個）自由度體系自由振動問題中，主要問題是確定體系）在兩個（多個）自由度體系自由振動問題中，主要問題是確定體系 的全部自振頻率及其相應的主振型。的全部自振頻率及其相應的主振型。（2）兩個（多個）自由度體系的自振頻率不止一個，其個數與自由度）兩個（多個）自由度體系的自振頻率不止一個，其個數與自由度 的個數相等。自振頻率可由特征方程求出。的個數相等。自振頻率

8、可由特征方程求出。（3）每個自振頻率有自己相應的主振型。主振型就是多自由度體系）每個自振頻率有自己相應的主振型。主振型就是多自由度體系 能夠按單自由度振動時所具有的特定形式。能夠按單自由度振動時所具有的特定形式。 （4）與單自由度系統相同，多自由度的自振頻率和主振型也是本身的）與單自由度系統相同，多自由度的自振頻率和主振型也是本身的 固有性質固有性質。 例例4-1 圖圖10-32a所示兩層剛架、其橫梁為無限剛性。設質所示兩層剛架、其橫梁為無限剛性。設質量集中在樓層上，第一、第二層的質量分別為量集中在樓層上，第一、第二層的質量分別為m1、m2。層。層間側移剛度分別為間側移剛度分別為k1 、k2,

9、即層間產生單位相對側移時候所即層間產生單位相對側移時候所施加的力，如圖施加的力，如圖10-32b所示。試求剛架水平振動時的自振所示。試求剛架水平振動時的自振頻率和主振型。頻率和主振型。解：解：由圖由圖10-32c和和d可求可求 出結構的剛度系數：出結構的剛度系數：1112212122222kkkkkkkkk 將剛度系數代入到將剛度系數代入到式（式（4-3b）,得：得：222121222()()0kkmkmk（a）分兩種情況討論：分兩種情況討論：（1）當）當 時，時，212,mm kkk222(2)()0km kmk由此求得：由此求得：2122(35)0.381972(35)2.618032kk

10、mmkkmm此時式（此時式（a）變為）變為120.618031.61803kmkm求主振型求主振型時，可由式（時，可由式（4-5a）和（）和（4-5b）求出振幅比值，從）求出振幅比值，從而畫出振型圖。而畫出振型圖。1121120.381971.618YkYkk1222122.618030.618YkYkk 第一主振型第二主振型如圖10所示-33（2）當）當 時，時，代入代入式（式（4-5a）和（）和（4-5b），可求出主振型：），可求出主振型：1212,mnm knk由此求得：由此求得：22222222(1)()0nknmknmk此時式（此時式（a）變為）變為2212221141(2)2knn

11、nm211124YnY如當如當n=90時，時，1112212211,109YYYY 由此可知，當頂部質量和剛度由此可知，當頂部質量和剛度突然變小時，頂部位移比下部突然變小時，頂部位移比下部位移大很多。建筑結構中，這位移大很多。建筑結構中，這種因頂部質量和剛度突然變小，種因頂部質量和剛度突然變小，在振動中引起巨大反響的現象，在振動中引起巨大反響的現象，稱為鞭稍效應。稱為鞭稍效應。2.柔度法柔度法思路：在自振運動中的任一時刻思路：在自振運動中的任一時刻 ，質量，質量 、 的位的位移移 、 應當等于體系在當時慣性力應當等于體系在當時慣性力 、 作用下所產生的靜力位移。據此可列方程如下：作用下所產生的

12、靜力位移。據此可列方程如下：t1m2m1( )y t2( )y t11( )m y t22( )m y t111112212211212222( )( )( )( )( )( )y tm y tm y ty tm y tm y t （4-6）柔度系數下面求微分方程（下面求微分方程（4-6）的解。仍設解為如下形式：）的解。仍設解為如下形式：這里，假設多自由度體系按某一主振型象單自由度體系那樣這里，假設多自由度體系按某一主振型象單自由度體系那樣作自由振動，作自由振動， 和和 是兩質點的振幅（圖是兩質點的振幅（圖10-24c）.有式（有式（a）可知兩質點的慣性力為：可知兩質點的慣性力為：1122(

13、)sin()( )sin()y tYty tYt（a）1Y2Y2111122222( )sin()( )sin()m y tmYtm y tmYt （b）質點慣性力的振幅( )( )ab代入式（4-6）2211 11122122221 1212222()()()()YmYm YYmYm Y（4-7）2211 11122122221 1212222()()()()YmYm YYmYm Y（4-7）主振型的位移幅值12()YY、主振型慣性力幅值 作用下所引起的靜力位移。221 122()mYm Y、111112222211 1222221010mYm YmYmY（c）111112222211 12

14、22221010mYm YmYmY（c）120YY11112222112222101mmDmm11122212221122110mmmm11122212221122110mmmm212111222112212122112()()0mmmmmm 2111222111222112212211212()()4()2mmmmm m (4-8)11221112式式(c)11122211112112122221112211YmYmYmYm 主振型(4-9)(4-9)例例4-2試求圖試求圖10-35a所示等截面簡支梁的自振頻率和主振型。設所示等截面簡支梁的自振頻率和主振型。設梁在三分點梁在三分點1和和2處有

15、兩個相等的集中質量處有兩個相等的集中質量m解：解：先求柔度系數。為此，先求柔度系數。為此，作作 圖如圖圖如圖10-35b、c所示。由圖乘法求得：所示。由圖乘法求得：12MM、31122312214=2437=486lEIlEI然后代入式然后代入式(4-8)，得：，得：31111232111215()486()486mlmEImlmEI從而求得兩個自振圓頻率：從而求得兩個自振圓頻率：123312115.69,22EIEImlml最后求主振型。由式（最后求主振型。由式（4-9a、b）,得得1112212211,11YYYY第一主振型對稱第二主振型反對稱3. 主振型的正交性主振型的正交性現以圖現以圖

16、10-37所示體系的兩個主振型為例來說明。所示體系的兩個主振型為例來說明。圖圖10-37a為第一主振型，頻為第一主振型，頻率為率為 ，振幅為，振幅為 ，其，其值正好等于相應慣性力值正好等于相應慣性力 所產生的靜位移。所產生的靜位移。 11121()YY、2211 111221()mYm Y、圖圖10-37b為第二主振型，頻為第二主振型，頻率為率為 ，振幅為，振幅為 ，其，其值正好等于相應慣性力值正好等于相應慣性力 所產生的靜位移。所產生的靜位移。 21222()YY、2221 112222()mYm Y、上述兩種靜力平衡用功的互等定理，可得：上述兩種靜力平衡用功的互等定理，可得：222211

17、111212212221 1211222221()()()()mYYm YYmYYm YY22121 11 12221 22()()0mY Ym Y Y121 11 12221 220mY Ym Y Y兩主振型關于質量的正交關系4-2 兩個自由度體系在簡諧兩個自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動荷載下的強迫振動1.1.剛度法剛度法圖圖10-3810-38所示兩個自由度體系為例，在在動荷載下的振動方程：所示兩個自由度體系為例，在在動荷載下的振動方程：111111221222112222( )( )( )( )( )( )( )( )ppm y tk y tk y tFtm y tk y tk y t

18、Ft(4-10)1111112222211222( )( )( )0( )( )( )0m y tk y tk y tm y tk y tk y t(4-1)如果荷載是簡諧荷載，即：如果荷載是簡諧荷載，即：1122( )sin( )sinppppFtFtFtFt(a) 則在平穩振動階段，各質點也則在平穩振動階段，各質點也作簡諧震動：作簡諧震動：1122( )sin( )siny tYty tYt(b)將式將式(a)(a)和和(b)(b)代入（代入（4-104-10），消去公因子），消去公因子 后，得：后，得：(4-11)(4-12)將式將式(4-11)(4-11)的位移幅值代回到式的位移幅值代

19、回到式(b)(b)，即得任意時刻，即得任意時刻t t的位移。的位移。sin t211111221221 122222()()ppkm Yk YFk Ykm YF121200,DDYYDD位移幅值2201112221221212221122222111112()()()()ppppDkmkmk kDkm Fk FDk Fkm F 例例4-3 4-3 設例設例10-410-4中的圖中的圖10-32a10-32a所示剛架在底層橫梁上作用簡諧所示剛架在底層橫梁上作用簡諧荷載荷載 （圖（圖10-3910-39）. .試畫出第一、二層橫梁的振試畫出第一、二層橫梁的振幅幅 與荷載頻率與荷載頻率之間的關系曲線

20、。設之間的關系曲線。設11( )sinppFtFt12YY、1212,mmm kkk解：剛度系數為解：剛度系數為荷載幅值為：荷載幅值為：(c)代入式（代入式（4-124-12）和式）和式（4-11），得），得111212212222,kkk kkk kk 12,0pppFF F21020()PPkm FYDkFYD其中，其中，222012122()()Dkkmkmk(d)將式（將式（d d）和例）和例4-14-1中的特征方程相比，可知：中的特征方程相比，可知：2422222220123()()Dmkmkm其中兩個頻率其中兩個頻率 和和 已由例已由例4-14-1求出：求出：因此式（因此式（c)c

21、)可寫成：可寫成：(e)圖圖10-4010-40所示為振幅參數所示為振幅參數 與荷載頻率參數與荷載頻率參數 之間的關系曲線。之間的關系曲線。 122212(35)(35),22kkmm212222122222212(1)(1)(1)1(1)(1)PPmFkYkFYk12PPFFYYkk、kmY1趨于無窮大Y2趨于無窮大2.2.柔度法柔度法 圖圖10-42a10-42a所示兩個自由度體系，受簡諧荷載作用，在任一時所示兩個自由度體系，受簡諧荷載作用，在任一時刻刻t t，質點，質點1 1、2 2的位移的位移y y1 1和和y y2 2，可以由體系慣性力，可以由體系慣性力 和動力荷載共同作用下的位移，

22、通過疊加寫出（和動力荷載共同作用下的位移，通過疊加寫出（10-42b10-42b） 1122m ym y、11111221212112122222()()sin()()sinppym ym ytym ym yt (4-13)設平穩振動階段的解為：設平穩振動階段的解為： 1122( )sin( )siny tYty tYt(a)將式（將式（a a）代入式（）代入式（4-13),4-13),消去公因子消去公因子 后，得：后，得： (4-14)由此可解得位移的幅值為：由此可解得位移的幅值為： sin t2211112122122121 122222(1)0(1)0ppmYmYmYmY 121200,

23、DDYYDD(4-15)式中：式中： 221112120221212222121212222221111221212(1)(1)()()(1)(1)()()ppppmmDmmmDmmDm (4-16)在求得位移幅值在求得位移幅值Y1、Y2后，可得到各質點的位移和慣性力。后，可得到各質點的位移和慣性力。位移：位移： 1122( )sin( )siny tYty tYt慣性力：慣性力： 2111122222sinsinm ymYtm ymYt 因為因為位移、慣性力和動力荷載同時到幅值，動內力也在振幅位位移、慣性力和動力荷載同時到幅值，動內力也在振幅位置達到幅值置達到幅值。動內力幅值可以在各質點的慣

24、性力幅值和動力荷。動內力幅值可以在各質點的慣性力幅值和動力荷載幅值共同作用下按靜力分析方法求得。如任一截面的彎矩幅載幅值共同作用下按靜力分析方法求得。如任一截面的彎矩幅值，可由下式求出：值，可由下式求出： max1 12 2( )PM tM IM IM121212=1=1PIIM MIIM、 分別為質點1、2慣性力幅值；、 分別為單位慣性力、作用時，任一截面的彎矩值；為動力荷載幅值靜力作用下同一截面的彎矩值。例例4-4 試求圖試求圖10-42a所示體系的動位移和動彎矩的幅值圖。所示體系的動位移和動彎矩的幅值圖。已知：已知：m1=m2=m, EI=常數，常數，=0.61 1解：解：（1 1）例）例4-24-2中