1、數學實驗報告實驗名稱 MATLAB在研究物體振動方面的應用 學 院 專業班級       姓  名  學  號   2015年 1月14一、 【實驗目的】 物體振動這樣一個看似簡單但又包含著很多復雜計算的運動中，在人為的計算時是很難精確的實現，而通過MATLAB可以處理諸多科學中的許多問題，利用它來研究物理學中的機械振動，不僅特別方便還非常有效。二、 【實驗任務】本列舉振動的一些實例，用matlab語言編制計算機程序進行仿真以達到研究簡諧振動以及振動的合成

2、，振動的計算以及受迫振動。三、 【實驗程序】（一）簡諧振動介紹    最簡單和最基本的振動是簡諧振動任何復雜的振動，都可以看成為許多簡諧振動的合成    1特點質點作簡諧振動的條件是：在任何時候所受到的力與質點離開平衡位置的位移成正比，其指向與位移相反，始終指向平衡位置所受的力與位移的關系表示為             （1）式中  為正的常數對于彈簧振子， 

3、; 就是彈簧勁度系數    2運動的微分方程及其解    根據牛頓第二定律，作簡諧振動的質點的微分方程寫成    即                  （2）式中  。如下面的（3）和（4）所示，  是簡諧振動的圓頻率。  微分方

4、程（2）的解是                     （3）或            （4）式（7.3）也可以表為復數形式            &

5、#160;   （5）但要約定取其實數部分    利用三角公式，很容易導出A ，  和B，C之間的關系    即         （6）3速度和加速度    作簡諧振動的質點，它的速度和加速度很容易得到只要將（7.3）對時間分別求導一次和求導兩次即可，      

6、60;    （7）         （8）    式（1）、（2）、（3）、（4）、（5）都是判別一個系統是否作簡道振動的依椐    4圓頻率  、周期  和頻率  之間的關系     ，  ，     &#

7、160; （9） ，  ，  三者不是獨立的，只要知道其中一個，就可以由（7.9）求出其余兩個。它們是由振動系統的固有性質決定，常稱為固有圓頻率，固有周期和固有頻率    5振幅  和初周相 （3）中  和  是兩個積分常數，可由初始條件決定將初始條件：“  ，  ， ”代入（3）和（7），得       &

8、#160;          （10）解得           （11）    求解質點作簡諧振動的具體運動情況，也就是要確定（7.3）中的  ，  ，  三個值其中  和  由初始條件決定，因此一般來說，首先必須確定初始值  和

9、  ，而根據（7.10）或（7.11）求出  和  值至于  （或  或  ），它是由系統固有性質決定的，與初始情況無關例如對于彈簧振子，  ，完全由彈簧勁度系數  和物體質量  所決定彈簧的  大（即所謂硬的彈簧），振動的圓頻率  也就大。而物體的質量m大，  就小6簡諧振動系統的能量作簡諧振動的質點動能為    &

10、#160;  （12）振動系統彈性勢能為        （13）因此系統總機械能為           （14）    系統的動能和勢能各隨時間作周期性變化，在振動過程中動能和勢能互相轉換，而總機械能保持不變這是簡諧振動的一個特性總機械能E與振動的振幅平方A 2，振動的圓頻率平方  成正比  

11、60; 動能和勢能在一個周期內對時間的平均值分別是      （15）注意  和  在一周期內對時間的平均值均等于12這樣，                         （16）7.振動的合成   

12、0;一個質點同時參與兩個振動方向相同、頻率相同的簡諧振動，合振動仍為簡諧振動        （17）利用振幅矢量圖示法容易求得     （18）     二個振動方向相同、頻率略有差異的簡諧振動，其合振動不為簡諧振動，產生“拍”現象拍頻為 （  ，  為兩分振動頻率）    （19）二個振動方向互相垂直的簡諧振動合成：（1）若二

13、振動頻率相同，合振動軌跡一般為一橢圓.（2）若二振動頻率成整數比，合振動軌跡為規則的穩定的閉合曲線，稱利薩如圖但若不成整數比，軌跡為不閉合的復雜曲線.（二）實際運用例1.關于物體振動的計算的應用質量為1kg的物體，以振動1x10-4m作簡諧運動，其最大加速度為4.0m/s.求：（1）震動的周期；（2）通過平衡位置時的動能；（3）總能量；（4）物體在何處其動能和勢能相等； 通過平衡位置時的速度最大，所以得： 當時，可得x的位置即： 程序如下：m=1; %m為物體的質量amax=4.0; %amax為最大加速度A=1.0*10-4; %A為振幅W=sqrt(amax/A); %求角速度T=2*pi

14、/W; %求周期Ekmax=1/2*m*W*W*A*A; %求最大動能E=Ekmax; %求總能量Ep=1/2*E; %求勢能x=sqrt(2*Ep/m/W/W); %求動能和勢能相等時的位移例2 振動圖以質量為0.01kg的物體作簡諧運動，其振幅為0.08m，周期為4s，起始時刻物體在x=0.04m處，向OX軸負方向運動，試求：畫出此時刻的0到8的振動圖形。 解: A=0.08m T=4s T=0時，x=0.04； 得 0.04=0.08cosy 程序： t=0:pi/200:8*pi;x=0.08*cos(pi/2*t+pi/3);plot(t,x,'rp')legend(

15、'x=0.08*cos(pi/2*t+pi/3')結果如下圖： 例3：阻尼振動有一單擺在空氣（室溫為20）中來回擺動，其擺線長s=1.0m，擺錘是一半徑r=的鉛球，求：（1）擺動周期；（2）振幅減小10%所需的時間；（已知鉛球密度為，20時空氣的粘滯阻力） 解：粘滯阻力為： 得:C=6rn 阻尼系數 有阻尼的情況下，單擺的振幅： （ 得： 程序如下：g=input('輸入g的值'); %g為重力加速度其值為l=input('輸入l的值'); %l為擺線長p=input('輸入p的值'); %p為鉛球密度n=input('輸

16、入n的值'); %20時空氣的粘滯阻力r=input('輸入r的值'); %r為小球的半徑W=sqrt(g/l); %求角速度C=6*pi*r*n; %由粘滯阻力Fr=-6 rnv=-Crm=4/3*pi*r3*p; %求小球的質量k=C/2/m; %求阻尼系數T=2*pi/W; %求單擺周期t1=log(1/0.9)/k; %振幅減小10%所需的時間Tt1輸入g的值0.98輸入l的值1.0輸入p的值2.65*10-3輸入n的值1.78*10-5輸入r的值5.0*10-3例4：相互垂直的簡諧振動的合成 程序：t=1:0.001:15a1=input('振幅1=&

17、#39;);w1=input('頻率1=');phi1=input('初相位1=');a2=input('振幅2=');w2=input('頻率2=');phi2=input('初相位2=');x=a1*cos(w1*t+phi1);y=a2*cos(w2*t+phi2);subplot(2,2,1),plot(t,x),title('x軸上諧振1')subplot(2,2,4),plot(y,t),title('y軸上諧振2')subplot(2,2,3),comet(x,y),y

18、label('y'),xlabel('x'),title('李薩如圖形') 振幅1=10頻率1=2初相位1=pi振幅2=10頻率2=4相位2=10 例5：關于平面簡諧波和簡諧振動一余弦波在弦上傳播，其波函數為式中和的單位為，t的單位為1、試求其振幅、波長、頻率、周期和波速。2、分別畫出對應和倆時刻弦上的波形圖。解：由已知的波函數求波動的特征量，我們一般采用比較系數法，由 上式說明此簡諧波向正方向傳播，將它與波函數的標準形式相比較得：,程序：x=-0.25:0.001:0.25; %設定x的取值范圍for i=0:2 %用循環語句令i分別取0,1,

19、2 t=0.0025*i;y=0.002*cos(pi*5*x-200*pi*t); %此為時刻t的波函數 if i=0; %用選擇語句分別用不同的顏色線型畫不同時刻的波形圖plot(x,y,'k-') %用黑色實線畫t=0時刻的波形圖 hold on %保存圖形的命令，否則后一幅圖會覆蓋前一幅 grid on %繪制網格else if i=1;plot(x,y,'r-') %用紅色虛線畫t=0.0025時刻的波形圖else if i=2;plot(x,y,'b-.') %用藍色虛點線畫t=0.005時刻的波形圖 end %結束if語句 end endend %結束for語句四【實驗結果】1.物體振動計算2.振動圖3.阻尼振動4.李薩如圖像5.平面簡諧波和簡諧振動五【實驗總結】 振動是物體的一種很普通的運動形式，機械振動是物體在一定位置附近所作的周期性往復運動。例如，心臟的跳動、鐘擺的擺動、活塞的往復運動、固體原子的振動等等。這種運動都是在某一數值附近作往