1、.工程數(shù)學(xué)試題B一、單項選擇題（每小題3 分，本題共 21 分）1.設(shè) A , B 為 n 階矩陣，則下列等式成立的是（）(A)ABBA(B)(AB )TATBT(C)(AB) TA TB T(D)(AB )TAB12342.設(shè) A1234，則 r ( A)（）12341234(A)0(B)1(C)3(D)43.設(shè) A , B 為 n 階矩陣，既是 A 又是 B 的特征值， x 既是 A 又是 B 的特征向量，則結(jié)論（）成立(A)是 AB 的特征值(B)是 AB 的特征值(C)x 是 AB 的特征向量(D)是 AB 的特征值4.設(shè) A, B 為隨機(jī)事件，下列等式成立的是（）(A)P( AB)

2、P(A)P(B)(B)P( AB)P( A)P(B)(C)P( AB) P(A)P(B )(D)P( AB)P( A)P( AB)5. 隨機(jī)事件 A , B 相互獨(dú)立的充分必要條件是（）(A)P(AB)P( A)P( B)(B)P(AB)P(A)(C)P( AB)0(D)P( AB) P( A) P( B) P( AB)6. 設(shè) f ( x) 和 F (x) 分別是隨機(jī)變量 X 的分布密度函數(shù)和分布函數(shù)，則對任意a b，有 P( aX b) （）(A)b(B)bF (x)dxf (x) dxaa(C)f (b)f (a)(D)F (a) F (b)7. 對來自正態(tài)總體 X N ( ,2 ) （

3、未知）的一個樣本 X1 , X2 , X3，;.13）不是統(tǒng)計量XX i ，則下列各式中（3 i1(A)X(B)3X ii 1(C)1 3( X i) 2(D)1 3( X i X ) 23 i13 i 1二、填空題（每小題3 分，共 15 分）1.設(shè) A, B均為 3階矩陣， A 2， B 3，則 3ATB 12.線性無關(guān)的向量組的部分組一定3.已知 P( A) 0.3, P( B A) 0.5，則 P(A B)4.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)是 f ( x) ，則 E( X )5.若參數(shù) 的估計量 ?滿足 E( ?)，則稱 ?為 的估計三、計算題（每小題10 分，共 60 分）121設(shè)

4、矩陣 A，求 A 的特征值與特征向量0 32. 線性方程組的增廣矩陣為112111231361求此線性方程組的全部解3. 用配方法將二次型f (x1 , x2 , x3 )7x123x225x326x2 x3 化為標(biāo)準(zhǔn)型，并求出所作的滿秩變換4. 兩臺車床加工同樣的零件，第一臺廢品率是 1，第二臺廢品率是 2，加工出來的零件放在一起。已知第一臺加工的零件是第二臺加工的零件的 3 倍, 求任意取出的零件是合格品的概率5. 袋中有 10 個球，其中三白七黑，有放回地依次抽取，每次取一個，共取4次求：取到白球不少于3 次的概率；沒有全部取到白球的概率6. 某廠生產(chǎn)一種型號的滾珠，其直徑 X N (

5、, 0.09) ，今從這批滾珠中隨機(jī)地抽取了 16 個，測得直徑（單位： mm）的樣本平均值為 4.35 ，求滾珠直徑 的;.置信度為 0.95 的置信區(qū)間 (雙側(cè)臨界值1.96) 四、證明題（本題4 分）設(shè) A為正交矩陣，試證：A 等于 1或1;.參考答案一、單項選擇題（每小題3 分，本題共 21 分）1.C2.B3.C4.D5.A6.B7.C二、填空題（每小題3 分，共 15 分）1.182. 線性無關(guān)3. 0.8 4.xf (x)dx5. 無偏三、計算題（每小題10 分，共 60 分）1. 解：解特征方程EA12( 1)( 3) 0,得03特征值： 11, 23 。當(dāng)1時，解方程組 (

6、E A) X 0 ，系數(shù)矩陣0201E A20，00解得對應(yīng)的特征向量為： X11。0當(dāng)3時，解方程組 ( E A) X 0 ，系數(shù)矩陣3EA2211000，0解得對應(yīng)的特征向量為： X 21。1因此，特征值1, 23 。與 1 對應(yīng)的全部特征值為 kX1 k11, k 0 ；0與 3 對應(yīng)的全部特征值為 kX 2k10。, k12. 解：增廣矩陣112111211121112302420121，136102420000方程組等價于：x1x22x31。取自由未知量 x31得對應(yīng)齊次方程的基礎(chǔ)x22x31;.02解系：12；令 x30，得特解： X 01。10X21 0 Tk 02 1 T（其中

7、 k 為任意常數(shù)）3. 解：配方如下：f (x1 , x2 , x3 ) 7x123x225x326x2 x37 x123( x222x2 x3 ) 5x3223( x2x3 ) 225x327 x13x37 x123( x2x3 ) 22x32 .y1x1x1y1令 y2x2x3 ，即所求滿秩線性變換為 x2y2 y3 ，此時可將原二次型y3x3x3y3化為標(biāo)準(zhǔn)型： 7 y123y222y32。x1100y1f ( x1 , x2 , x3 ) 7 y123 y222 y32 ， x2011y2x3001y34. 解：設(shè) Ai = 取出的是第 i 臺機(jī)床生產(chǎn)的零件 ，i=1 ， 2；B=取出的合格品 。則：P(B)P(B | A1)P( A1)P(B | A2)P(A2 )99398110041004395400.0.987533134037475. 解：（ 1）所求概率為： C41010C410100.0837 ，40（2）所求概率為： 1-437C4 100.9919 .106. 解：選則統(tǒng)計量：;.X. N(0,1) .n由題設(shè)：