1、1 頁 2015-2016 學年湖南省長沙一中高三（下）月考數學試卷（理科） 一、選擇題（本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合 題目要求的） 1 . （ 5 分）已知集合 U=R , A=x|0WxW 2 , B=y|y=2 , x R，則（?UA） AB=（ ） A . （-s, 0） B. （ 0, 1） C . （1 , 2 D . （2, +s） 2. （5 分）（m - 1） （a- 1） 0是 log am 0 的一個（ ） A .充分不必要條件 B .必要不充分條件 C.充要條件 D .既不充分也不必要條件 3. A. 4

2、. (七（5 分）若復數z 滿足Z2+2Z= 2 頁 5. C . D . 展開式中除常數項外的其余項的系數之和為（ 6. 5377 B . - 5377 C . 5375 D . - 5375 4 x 1 (5 分)已知函數 f (x) =x+ , g (x) =2 +a,若？ xi , 1, 2 ? X2 2, 3，使得 f (xi) g (X2), 則實數 a 的取值范圍是（ A . a1 7. （ 5 分）將函數 ） C. a 2 jr 9JT 向右平移 個單位，再將所得的函數圖象上的各點縱坐標不變, 橫坐標變為原來的 2倍，得到函數y=g （x）的圖象，則函數y=g （x）與 ，三，

3、x軸圍成的圖 形面積為（ A . B . (5 分) D - 3 頁 | x+y - 22 0 8 （5 分）已知不等式組 表示平面區域 Q,過區域Q中的任意一個點 P,作圓 x2+y2=1 的 ly I. 請考生在第(22)、(23) (24)三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時用 2B 鉛 筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑，把答案填在答題卡上. 【選修 4-1：幾何證明選講】 X 4 5 6 7 8 9 頻數 1 2 26 40 29 2 2 2 x - 1) +y =1 的圓心，過 20. ( 12 分)已知離心率為 5 頁 22. (10 分)如圖，O 為等腰三角

4、形 ABC 內一點，O O 與厶 ABC 的底邊 BC 交于 M，N 兩點，與底邊上的 高 AD 交于點 G，且與 AB，AC 分別相切于 E，F 兩點. (1)證明：EF/ BC ;6 頁 (2)若 AG 等于O O 的半徑，且 AE=MN=2 ，求四邊形 EBCF 的面積. (I)寫出O C 的直角坐標方程; (n) P為直線 I上一動點，當 P到圓心 C 的距離最小時，求 P的直角坐標. 【選修 4-5 :不等式選講】 24.若 a0, b0，且 + = . a b (I)求 a3+b3的最小值； (n)是否存在 a, b,使得 2a+3b=6?并說明理由.【選修 4-4 :坐標系與參數

5、方程】 23.在直角坐標系 軸建立極坐標系，O xOy 中，直線 I的參數方程為 (t為參數)，以原點為極點, x 軸正半軸為極 C 的極坐標方程為 p=2 sin 0. 7 頁 2015-2016 學年湖南省長沙一中高三（下）月考數學試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合 題目要求的） 1. （5 分）（2016 春？長沙校級月考）已知集合 U=R , A=x|0 x 2 , B= y| y=2x, x R,貝卩（?UA ） AB= （ ） A . （-s, 0） B . （ 0, 1） C

6、 . （1 , 2 D. （2, +s） 【分析】化簡集合 B,求出集合 A 的補集，再計算（?UA） AB 即可. 【解答】解：集合 U=R , A=x|0W x2= （- s, 0）U（ 2, +s）, 又 B=y|y=2 , x R=y|y 0 = （0 , +s）, （ ?UA） nB= （2 , +s）. 故選：D. 【點評】本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎題目. 2. （5 分）（2016 春？長沙校級月考） “（m- 1） （a- 1） 0”是 log am 0”的一個（ ） A .充分不必要條件 B .必要不充分條件 C.充要條件 D .既不充分也不必要條件 【分析】根據

7、對數函數的圖象和性質，解對數不等式，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷. 定成立, 故（m- 1） （a- 1） 0是 logam 0的一個必要不充分條件， 故選：B 【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據對數的性質是解決本題的關鍵，比較基礎. 3. (5 分)(2016 春？長沙校級月考)若復數 z 滿足 z2+2z= - 10，則| z| =( ) A. B .刃C. 3 D . 【分析】設 z=x+yi (x, y R)，代入 z2+2z= - 10,禾 U 用復數的運算法則、復數相等即可得出. 【解答】解：設 z=x+yi (x, y R), ( x+yi) 2+2 (x

8、+yi) +10=0, 2 2 x - y +2x+10+ (2xy+2y) i=0 , 2 2 x - y +2x+10=2xy +2y=0 , “ m - 1) (a- 1) 0時, k,此時 a 0”不 而當 bgam 0 ”時，則 “ m - 1) (a- 1) 0”成立, 【解 8 頁 |z；-= . 9 頁 【解答】解: 9展開式中的通項公式為: r r ?C9?2 9-r ?x 故選：D. 【點評】本題考查了復數運算法則、復數相等、模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題. 4. （5 分）（2015?湖南）執行如圖所示的程序框圖，如果輸入 n=3,則輸出的 S=（ 第

9、 1 次循環，S= , i=2 , 1X3 第 2 次循環，S= , i=3 , 1X3 3X5 第 3 次循環，S= , i=4, 1X3 3X5 5X7 此時，i n,滿足判斷框的條件，結束循環，輸出結果： 1X3 3X5 5乂7 2 3 W 5 巧 7 7 7 故選：B 【點評】本題考查循環框圖的應用，注意判斷框的條件的應用，考查計算能力 /覽s/ A. 7 【分析】 【解答】 B . C. D . 列出循環過程中 S 與i 解: 判斷前 i=1 , n=3, 4 9 的數值，滿足判斷框的條件即可結束循環. s=0, 5. （ 5 分）（2016 春？長沙校級月展開式中除常數項外的其余項

10、的系數之和為 A . 5377 B . - 5377 C . 5375 D . - 5375 【分析】 利用二項展開式中的通項公式， 求出展開式的常數項， 再令 求出展開式中除常數項外的其余項的系數和. x=1 可得展開式中各項系數和，由此 10 頁 令 _ =0,求得 r=3 , 2 所以展開式中常數項為(-1) 3?C93?26= - 5376, 令 x=1 可得展開式中各項系數之和為(2 - 1) 9=1, 所以展開式中除常數項外的其余項的系數之和為 1+5376=5377 . 故選：A. 【點評】本題主要考查二項式定理的應用問題， 解題時應利用展開式的通項公式求出常數項， 是基礎題目.

11、 6. (5 分)(2015?鄭州一模)已知函數 f (x) =x+ , g (x) =2X+a,若？ xi , 1 , ? X2 2, 3，使 x 2 得 f (X1) g (X2),則實數 a 的取值范圍是( ) A . a 1 C. a 2 2 【分析】由？ X1 - 1 , 2，都？ X2 1, 2，使得 f (X1) g (X2),可得 f (x) =x +1 在 X1 - 1, 2 的最小值不小于 g (x) =ax+2 在X2 1, 2的最小值，構造關于 a 的不等式組，可得結論. 令 f (x) 0,解得：x 2,令 f (x)v 0，解得：XV 2, f (x) 在 , 1單

12、調遞減， 2 f (1) =5 是函數的最小值， 當 X2 2, 3時，g (x) =2X+a 為增函數， g ( 2) =a+4 是函數的最小值， 又? X1 , 1，都？ X2 2, 3，使得 f (X1) g ( X2), 2 可得 f (x)在 X1 , 1的最小值不小于 g (x)在 X2 2, 3的最小值， 2 即 5 a+4,解得：a 1, 故選：A. 【點評】 本題考查的知識是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵. * 1 _ -：i:h - 向右平移 個單位，再將所得的函數圖象上的 -1 O 2 倍，得到函數 y=g (x)的圖象，貝 U 函數 y

13、=g (x)與： ，- , 2. 3 【解答】解：當 X1 , 1時，由 2 (x) =x+ 得, f (X) 7. ( 5 分)(2010?聊城二模)將函數 各點縱坐標不變，橫坐標變為原來的 11 頁 點縱坐標不變，橫坐標變為原來的 2 倍，得到函數 y=g (x)的圖象，利用積分求函數 y=g (x)與 ， 厶X 軸圍成的圖形面積為( A - B - 【分析】將函數：1 1呼 向右平移二個單位，推出函數解析式，再將所得的函數圖象上的各 C. D . 12 頁 【解答】解：將函數 向右平移丄個單位，得到函數 _：i 3 -：.-：；! .： : - 1 =sin （2x+n） = - sin

14、2x,再將所得的函數圖象上的各點縱坐標不變，橫坐標 變為原來的 2 倍，得到函數 y=g（ x）= - sinx 的圖象，則函數 y= - sinx 與.，- ，一 _，x軸圍成的圖 2 a 3 IT r 形面積：l：- 一 + 產（sinx） dx= - cosx +cosx | 一 “ = +1 = 2 2 故選 B 【點評】 本題是中檔題，考查三角函數圖象的平移伸縮變換，利用積分求面積，正確的變換是基礎，合理 利用積分求面積是近年高考必考內容. x+y- 2逅 & （5 分）（2015?天水校級模擬）已知不等式組 ，葢2近 表示平面區域 Q,過區域Q中的任意一個 .y I 在二上

15、的投影| cos B可求 【解答】解：設向量 的夾角為0 T | | =13, 1 1 =1 : 1= “ I 二二匸=1 1 二12 二. - T -: T I在上的投影 | | COS 0=COS 0 | ,亠，:., 故選 D 【點評】本題主要考查了向量的數量積的性質及投影的定義的簡單應用，解題的關鍵是弄清楚基本概念. 2 2 10. （ 5 分）（2014 秋？湖南校級期末）已知雙曲線 C 與橢圓 + =1 有相同的焦點 Fl、F2,點 P 為雙曲 線 C 與橢圓的一個交點，且滿足 |PF1| =2| PF2|，則雙曲線 C 的漸近線方程是（ ） A . y= M x B . y= C

16、 . y= x D . y= x 2 【分析】 通過橢圓、雙曲線的定義直接計算即可. 【解答】解：由橢圓定義可知：| PF1|+| PF2| =6, 又T | PRI =2| PF2| , 3| PF2| =6，即 | PF2| =2, 由雙曲線定義可知：| PF1| - | PF2| =2a, 又T | PF1| =2| PF2| , | PF2| =2a，即 a=1, 由已知，雙曲線的焦半距 c=2,則 b=, 雙曲線的漸近線方程為： y= V 次, 故選：A. 【點評】 本題考查求橢圓的離心率，注意解題方法的積累，屬于基礎題. 11. (5 分)(2016?永州模擬)已知函數 y=f (

17、x)是 R 上的可導函數，當 x豐0 時，有 丨 Li 則函數 F -一，:丄的零點個數是( ) x A . 0 B . 1 C. 2 D . 3 【分析】將函數- .J 丄=0,轉化為 xf (x)=-,然后利用函數和導數之間的關系研究函數 g (x) X X =xf (x)的單調性和取值范圍，利用數形結合即可得到結論. 【解答】解：由-、|-一 - I - =0，得 xf (x)=-, Q a * b _ a* b -_ u_ la | |b | 13 13 14 頁 X X 設 g (x) =xf (x), 則 g (x) =f (x) +xf ( x), XM 0 時，有 I . _丿

18、-Q K xM 0 時，土 X 即當 x 0 時，g (x) =f (x) +xf ( x) 0,此時函數 g (x)單調遞增， 此時 g (x) g ( 0) =0, 當 x v 0 時，g (x) =f (x) +xf (x )v 0，此時函數 g ( x)單調遞減， 此時 g (x) g ( 0) =0, 作出函數 g(x)和函數 y=-的圖象，(直線只代表單調性和取值范圍)，由圖象可知函數 丄 X X 的零點個數為 1 個. 【點評】本題主要考查方程根的個數的應用，禾 U 用方程和函數之間的關系，作出函數的圖象，禾 U 用數形結 合是解決本題的關鍵. 12. (5 分)(2016 春?

19、長沙校級月考)已知數列 an 是等差數列， 數列 bj 是等比數列， 公比為 q,數列 cn 中， Cn=anbn, Sn是數列 cn的前 n項和，若 Sm=7, S2m= - 201 (m 為正偶數)，貝 V S4m的值為( ) A. - 1601 B. - 1801 C. - 2001 D. - 2201 【分析】令 A=Sm, B=S2m- Sm, C=S3m- S2m,結合等差數列和等比數列的特征得到： B - q?A= ( am+1- a1) bm+1+ (a2m - am)b2m=md ( bm+1+b2m). 同理 C - qm?B=md ( b2m+1+-+b2m) =md (

20、 bm+1+-+b2m) ?qn,故 C-qm?B=qm ( B - qm?A )代值可得 11 (qm) 2+8qm - 208=0 ,求得 qm的值后，代入(S4m - S3m),從而求得 S4m的值. 【解答】 解：令 A=Sm, B=S2m Sm, C=S3m S2m, 貝V qm?A= (aibi+a2b2+ambm) qm=aibm+i+amb2m 故 B qm?A= (am+1 ai) bm+i+ + (a2m am) b2m=md (bm+i+b2m),其中，d 是數列an的公差，q 數列 bn的公比. 同理 C qm?B=md (b2m+i+b2m) =md ( bm+i+b

21、2m) ?qn, 故 C qm?B=qm ( B qm?A)代值可得 11 (qm) 2+8qm - 208=0, qm=4 或 qm=-亍(舍去，因 m 為正偶數)， 又 S4m S3m= ( aibl+a2b2+ambm) q3m+3md ( bm+l+b2m) =11 X 43+3 ( B qm?A) X 42, 3 3 =11 X 43 3X 12X 43, =1600. 故 S4m=S3m 1600= 1801 . 2m q 15 頁 故選：B. 【點評】 該題考查等差數列、等比數列的通項公式、前 n項和公式，考查學生的運算求解能力，熟記相關 公式是解題關鍵. 二、填空題：本大題共

22、4 小題，每小題 5 分，共 20 分，把答案填在答題卷的橫線上. 13. （ 5 分）（2016?商丘二模）5 個人排成一排，其中甲與乙不相鄰，而丙與丁必須相鄰，則不同的排法種 數為 24 . 【分析】由題設中的條件知，可以先把丙與丁必須相鄰，可先將兩者綁定，又甲與乙不相鄰，可把丙與丁 看作是一個人，與甲乙之外的一個人作一個全排列，由于此兩個元素隔開了三個空，再由插空法將甲乙兩 人插入三個空，由分析過程知，此題應分為三步完成，由計數原理計算出結果即可 【解答】解：由題意，第一步將丙與丁綁定，兩者的站法有 2 種，第二步將此兩人看作一個整體，與除甲 乙之外的一人看作兩個元素做一個全排列有 A2

23、2種站法，此時隔開了三個空，第三步將甲乙兩人插入三個 空，排法種數為 A32 則不同的排法種數為 2 X A22X A32=2 X 2X 6=24 故答案為：24. 【點評】本題考查排列、組合及簡單計數問題，解題的關鍵是掌握并理解計數原理，計數時的一些技巧在 解題時很有用，如本題中所用到的綁定，與插空，這些技巧都是針對某一類計數問題的，題后應注意總結 一下，不同的計數問題中所采用的技巧，將這些技巧與具體的背景結合起來，熟練掌握這些技巧. 14. （5 分）（2012?東莞二模）將一顆骰子擲兩次，觀察出現的點數，并記第一次出現的點數為 m， 第二次 出現的點數為 n,向量 p= （m, n）,孑

24、（3, 6）,貝U向量 1?與可共線的概率為 _寺_. 【分析】本題是一個古典概型， 試驗發生包含的事件是一顆骰子擲兩次， 共有 6 X 6 種結果，滿足條件事件 是向量共線， 根據向量共線的條件得到 6m 3n=0 即 n=2m，列舉出所有的結果數，得到概率. 【解答】 解：由題意知本題是一個古典概型， 試驗發生包含的事件是一顆骰子擲兩次，共有 6X 6=36 種結果， 滿足條件事件是向量i.= （ m， n）與=（3，6）共線， 即 6m 3n=0， / n=2m， 滿足這種條件的有（1，2） （2，4） （3，6），共有 3 種結果， 向量與共線的概率 P= ， 7 3G 1216 頁

25、故答案為： 12 【點評】 本題考查古典概型及其概率公式，考查向量共線的充要條件，考查利用列舉法得到所有的滿足條 件的事件數，本題是一個比較簡單的綜合題目. 15. （ 5 分）（2016 春？長沙校級月考）如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是 【分析】由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個底面為三角形的三棱柱，切去了一個三棱錐.該幾何體 的體積等于三棱柱體積減去三棱錐的體積. 【解答】 解： 由三視圖可知， 該幾何體是一個底面為三角形的三棱柱， 切去了一個三棱錐.該幾何體的體 積等于三棱柱體積減去三棱錐的體積.如圖 三棱柱體積 那么該幾何體的體積為： 【點評】 本題考查了對三視圖的認識

26、和理解，解決本題的關鍵是得到該幾何體的形狀是如何而來的，才能 解決此題屬于中檔題.一 _ 三棱錐的體積 故答案為： (2)由正弦定理得到 16. ( 5 分)(2016 春？長沙校級月考)數列 an中，已知 ai=5, a2=19, a3=41，當 n3 時，3 (an-an-1) =an+i an-2,貝V aio= 419 . 【分析】判斷數列an-an-1是等差數列，求出通項公式，然后求解 a10即可. 【解答】解：數列an中，已知 a1=5, a2=19, a3=41，當 n3 時，3 (an - an-1) =an+1 - an-2, 可得：2 ( an - an -1) = ( a

27、n+1 - an) + ( an- 1 - an -2), 所以數列an- an-1是等差數列，d=a3- a2- a2+a1=8, a2 - a1=14, a3 - a2=22, an+1 - an=8n+6, 累加可得 an=2n (2n+1) - 1, 又 a1o=419 . 故答案為：419. 【點評】 本題考查等差數列通項公式的應用，數列的遞推關系式的應用，考查轉化思想以及計算能力. 三、解答題：本大題共 5 小題，滿分 60 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17. (12 分)(2015?衡水四模)在厶 ABC 中，角 A , B, C 所對的邊分別為 a, b, c,

28、函數 f (x) =2cosxsin (x- A) +sinA (x R)在 x= 處取得最大值. 12 (1) 當：.匕匸.厶_時，求函數 f( X)的值域； 2 (2) 若 a=7 且 sinB+sinC=門；:，求 ABC 的面積. 14 (1)由于 A 為三角形內角，可得 A 的值，再由 x的范圍可得函數的值域; (2)由正弦定理求得 b+c=13，再由余弦定理求得 bc 的值，由 ABC 的面積等于I，-,算出即可. 2 【解答】解：T 函數 f (x) =2cosxsin (x - A) +sinA =2cosxs in xcosA 2cosxcosxsi nA+si nA =si

29、n2xcosA cos2xsinA=sin (2x A) R1T 又 T函數 f (x) =2cosxsin ( x - A) +sinA (x R)在 處取得最大值. 12 ，其中 k z, 即 ，其中 k z J1 (1)TA(0, n)A= = 2x - A【二 丁; ，貝 U sinB+sinC= sinA , sinA sinB+sinC a 13 頁【分析】禾 U 用三角函數的恒等變換化簡函數 f (x)的解析式為 sin (2x - A)，由于函數在 處取得最 大值.令 :十 一丁.丁、一=，其中 k 乙解得 A 的值, sin ，即函數f ( x)的值域為: 5兀 18 頁 即

30、 ， b+c=13 14 7 2 2 2 2 2 由余弦定理得到 a =b +c - 2bccosA= (b+c) - 2bc - 2bccosA 即 49=169 - 3bc,. bc=40 故 ABC 的面積為：S=J. 【點評】 本題主要考查三角函數的恒等變換，正、余弦定理的應用，正弦函數的值域，屬于中檔題. (1) 求 和；的值(用樣本書序期望、方差代替總數數學期望、方差) ; (2) 如果這個軍區有新兵 10000 名，試估計這個軍區新兵步槍射擊個人平均成績在區間 (7.9, 8.8上的人 數. 【分析】(1)由題意得隨機抽取的 100 個成績的分布列，由此求出 E (X), D (

31、 X),由此能求出 卩，軋. (2)由(1) 知 X N ( 7, 0.8),從而 P( 7.9V X 8.8)=丄P ( 5.2v X 8.8) - P( 6.1 X 7.9) =0.1359.由 2 此能求出這個軍區新兵 50m 步槍射擊個人平均成績在區間(7.9.8.8上的人數. 【解答】 解：(1)由題意得隨機抽取的 100 個成績的分布列為： X 4 5 6 7 8 9 頻率 0.01 0.02 0.26 0.40 0.29 0.02 E (X) =4 X 0.01+5X 0.02+6X 0.26+7 X 0.40+8X 0.29+9X 0.02=7. 2 2 2 2 2 D ( X

32、) = (4 - 7) X 0.01+ ( 5 - 7) X 0.02+ (6 - 7) X 0.26+ ( 7 - 7) X 0.40+ (8 - 7) X 0.29+ ( 9 - 7) 2 X 0.02=0.8. 樣本成績是隨機得到的， 由樣本估算總體得： 尸 E (X ) =7, 2=D (X ) =0.8 . (2)由(1) 知 X N ( 7, 0.8), 0.9,. 2=0.9, P ( 7.9X 8.8) = P ( 5.2 X 8.8)- P (6.1 X 7.9) 2 =J. . .：_ =0.1359. 這個軍區新兵 50m 步槍射擊個人平均成績在區間(7.9.8.8上的人

33、數約為： 10000 X 0.1359=1359. 【點評】 本題考查總體數學期望、方差的求法，考查概率的求法及應用，是中檔題，解題時要認真審題， 注意離散型隨機變量的分布列的性質的合理運用. 19. ( 12 分)(2015?山東)如圖，在三棱臺 DEF - ABC 中，AB=2DE , G, H 分別為 AC , BC 的中點. (I)求證：BD /平面 FGH ; (H)若 CF 丄平面 ABC , AB 丄 BC, CF=DE，/ BAC=45 求平面 FGH 與平面 ACFD 所成的角(銳角) X 4 5 6 7 8 9 P 頻數 V 1 2 26 40 29 2 18.( 12 分

34、)(2016 春？長沙校級月考)某軍區新兵 50m 步槍射擊個人平均成績 X (單位：環)服從正態分 布 N (卩，2),從這些個人平均成績中隨機抽取，得到如下頻率分布表： 19 頁 的大小.20 頁 D 【分析】（I）根據 AB=2DE 便可得到 BC=2EF，從而可以得出四邊形 EFHB 為平行四邊形，從而得到 BE / HF，便有 BE /平面 FGH，再證明 DE /平面 FGH，從而得到平面 BDE /平面 FGH，從而 BD /平面 FGH ; （H）連接HE,根據條件能夠說明 HC, HG, HE 三直線兩兩垂直，從而分別以這三直線為 x, y, z 軸， 建立空間直角坐標系，然

35、后求出一些點的坐標.連接 BG,可說明上：為平面 ACFD 的一條法向量，設平面 FGH 的法向量為；二（葢，y, z）,根據* 蘭一即可求出法向量7,設平面 FGH 與平面 ACFD 所成的角 tn-HG=O 為0,根據 cos9=|Cg|即可求出平面 FGH 與平面 ACFD 所成的角的大小. 【解答】 解：（I）證明：根據已知條件， DF / AC , EF / BC , DE / AB ; DEFABC，又 AB=2DE , BC=2EF=2BH , 四邊形 EFHB 為平行四邊形； BE / HF , HF?平面 FGH , BE?平面 FGH ; BE /平面 FGH ; 同樣，因

36、為 GH ABC 中位線， GH / AB ; 又 DE / AB DE / GH ; DE /平面 FGH , DE ABE=E; 平面 BDE /平面 FGH , BD?平面 BDE ; BD /平面 FGH ; （n）連接 HE ,貝 U HE / CF; / CF 丄平面 ABC ; HE丄平面 ABC , 并且 HG 丄 HC ; HC, HG , HE 三直線兩兩垂直， 分別以這三直線為 x, y, z 軸，建立如圖所示空間直角坐標系， 設 HC=1 , H ( 0, 0, 0), G ( 0 , 1 , 0), F (1 , 0 , 1), B (- 1 , 0 , 0); 連接

37、 BG,根據已知條件 BA=BC , G 為 AC 中點； BG 丄 AC; 又 CF 丄平面 ABC , BG?平面 ABC ;21 頁 BG 丄 CF, AC nCF=C ; BG 丄平面 ACFD ; 向量 門；： - J：為平面 ACFD 的法向量; 設平面 FGH 的法向量為弋,則: 設平面 FGH 和平面 ACFD 所成的銳二面角為 B,則：cos 9=| cos匕丨=一 ； V2*V2 2 平面 FGH 與平面 ACFD 所成的角為 60 【點評】考查棱臺的定義，平行四邊形的定義，線面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性質，線 面垂直的性質及線面垂直的判定定理，以及建立空間直

38、角坐標系，利用空間向量求二面角的方法，平面法 向量的概念及求法，向量垂直的充要條件，向量夾角余弦的坐標公式，平面和平面所成角的定義. 20. (12 分)(2016 春？長沙校級月考)已知離心率為丄一的橢圓 的右焦點 F 是圓(x 2 2 -1) +y =1 的圓心，過橢圓上的動點 P 作圓兩條切線分別交 y 軸于 M, N (與 P 點不重合)兩點. (1) 求橢圓方程； (2) 求線段 MN 長的最大值，并求此時點 P 的坐標. 【分析】(1)根據圓方程可求得圓心坐標，即橢圓的右焦點，根據橢圓的離心率進而求得 a,最后根據 a, b 和 c 的關系求得 b,則橢圓方程可得； (2) P (

39、xo, yo), M (0, m) , N (0 , n),把橢圓方程與圓方程聯立求得交點的橫坐標，進而可推斷 X0 的范圍，把直線 PM 的方程化簡，根據點到直線的距離公式表示出圓心到直線 PM 和 PN 的距離.求得 X0 和 y0的關系式，進而求得 m+n和 mn的表達式，進而求得| MN | .把點 P 代入橢圓方程根據弦長公式求得 MN | .記 f (x) =2 - ，根據函數的導函數判斷函數的單調性，進而確定函數 f (x)的值域，進 (X _ 2 ) 而求得當 勺=-l：l,時，| MN |取得最大值，進而求得 yo,則 P 點坐標可得. 2 2 【解答】 解：由圓(x - 1

40、) +y =1 的圓心坐標為：(1, 0), c=1, 由 e=丄一，即 a= , a 2 ,2 2 2 b =a - c =1, 亍色二出丸，取 z=i , n HG=y=O 則: - n _：； 22 頁 橢圓方程 ； (2)設 P (xo , y0) , M (0 , m), N (0 , n),23 頁 記 f (x) =2 - : ，貝y f (x)=- 仗-2) 2 (x - 2) 3 x(- , o)時， f ( x )v o ; x ( o, 2- )時， f ( x )v o, f ( x )在(- , o )上單調遞減，在( o, 2- )內也是單調遞減, 顯然，由 f (

41、x)的單調性可知：f (x) max=2 , /I MN 丨 max=2*jj 此時 xo= - J 故P點坐標為(-“；,o),為橢圓左頂點. 【點評】本題考查橢圓的標準方程， 考查直線與橢圓的位置關系， 考查了橢圓的標準方程、 簡單幾何性質、 一元二次方程根與系數的關系和利用導數研究函數的單調性等知識，屬于中檔題. 2 21. (12 分)(2oi6 春？長沙校級月考)已知函數 f (x) =e2 (In x+a- 1) (e=2.71828為自然對數的底數在 定義域上單調遞增. (1) 求實數 a 的取值范圍； - 9 由* 2十丫 1 ，解得：x=2-近，x=2+逅(舍去)， &

42、; - 1 )5/二 1 xo= (- , o)U( o, 2- ), yn _ m 直線 PM 的方程為：y- m= x，即(yo- m) x - xoy+mxo=o, XO 7o ( XO_ 2) m +2yom - xo=O 2 (xo- 2) n +2yon m 和 n 是方程： ( xo- 2) t -xo=O, 2 +2yot - xo=O 的兩個根, m+n= 2y0 mn= x0 /I MN 丨=丨 m - n 24 頁 (2) 當實數 a 取最小值時，設 ，證明： ex 343 343 25 頁 【分析】(1)先求導函數，再構造函數 Inx+a- 1+ ，則 ymin0，再求

43、導，根據導數和函數最值的關系即 可求出； (2)先求導，再構造函數 h (x) =ex (ex - 2) +ex2，根據導數和函數單調性的關系得到故存在唯一 0,使 h (X。)=0，再求出端點值，即可證明， 令 F (x) =lnx + , G (x) =e %，根據導數和函數單調性的關系得到 lnx+ - ex ei 利用放縮法即可證明 【解答】解：(1 )T f (x) =e2 (Inx+a- 1), f (x) =e2 (Inx+a- 1+ ) 0，對 x0 恒成立， In x+a- 1+ 0,對 x 0 恒成立, 令 y=lnx +a- 1+丄，貝 U ymin 0, ，當 Ov x

44、v 1 時，yv 0, 又 h( )= ( - 2+ )= 故 g (x) mi ny|y=g (x )，x 寺，罰X0 XF( )- G()， 當 x 1 時, y 0,故 (2)由 (1)可知, ymin=a 0, 9 g (x) =lnx + ex -x “ e - 1, _1 _ 2 =- z ex x / - +e x ，_ 2 丫 - -八、 ,x0, 2 K e x已 =ex (ex - 2) +ex2, =ex ( ex+e - 2) +2ex 0, +R)上單調遞增， 又 h (0) = - 2, h ()=, e e 故存在唯一 X00,使 h (X。)=0, 故 g (x

45、)在(0, X0)上遞減，在(X0, +s)上遞增, h (x) h (x) 二 h ( x)在(0, 3 + )， / ex 1+x, _ 1 _J_ - = ? 4 4 (1-)=， 3 .4e 2+16 4E + L6 * 13 7 49 7 19 14 343 26 頁 F (乂)在(0,)上遞減，又 v三 3 7 e 故 F (x)在,上遞減，又 G (x)在,上也遞減，故當 x ,時, 2 7 2 7 2 7 1 -x - lnx+ - e F () -G (丄 =ln_+ - e = -e -ln , ex 7 2 7 2e 2e 4 / In =ln7 - ln4= dx ,

46、4 又當 x 丄，時，W - 2 7 x 28 dx v - 1 - - dx= 4工 4 28 56 故-e - In - -= 2e 4 56 2e Ve 56 56 49X 14X L 7- 9X 2. 72 o 12 - = - 0, 14e 14e 再由可知 g (x) +1 對一切正數 x 成立 56 【點評】本題考查了導數和函數單調性和最值的關系，以及恒成立的問題，采用放縮法和構造法是關鍵, 計算量很大，屬于難題. 請考生在第(22)、(23) (24)三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時用 2B 鉛 筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑，把答案填在答題卡上. 【選修 4-1:幾何證明選講】 22. ( 10 分)(2015?新課標 II)如圖，O 為等腰三角形 ABC 內一點，O O 與厶 ABC 的底邊 BC 交于 M , N 兩點，與底邊上的高 AD 交于點 G,且與 AB , AC 分別相切于 E, F 兩