1、第四節 直線與圓、圓與圓的位置關系內內 容容要要 求求A AB BC C直線與圓、圓與圓的位置關系直線與圓、圓與圓的位置關系三年三年3 3考考 高考指數高考指數: :1.1.直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系(1)(1)從方程的觀念判別直線與圓的位置關系：即把圓的方程與從方程的觀念判別直線與圓的位置關系：即把圓的方程與直線的方程聯立組成方程組，轉化成一元二次方程，利用判別直線的方程聯立組成方程組，轉化成一元二次方程，利用判別式式判別位置關系判別位置關系. .0 0直線與圓直線與圓_；0 0直線與圓直線與圓_；0 0直線與圓直線與圓_._.相交相交相切相切相離相離(2)(2)從幾何的觀念判別直

2、線與圓的位置關系：即利用圓心到直線從幾何的觀念判別直線與圓的位置關系：即利用圓心到直線的間隔的間隔d d與半徑與半徑r r比較大小來判別直線與圓的位置關系比較大小來判別直線與圓的位置關系. .d dr r直線與圓直線與圓_；d dr r直線與圓直線與圓_；d dr r直線與圓直線與圓_._.相交相交相切相切相離相離【即時運用】【即時運用】(1)“k=1(1)“k=1是是“直線直線x-y+k=0 x-y+k=0與圓與圓x2+y2=1x2+y2=1相交的相交的_條件條件. .(2)(2)知點知點M(x0,y0)M(x0,y0)是圓是圓x2+y2=r2(r0)x2+y2=r2(r0)內異于圓心的一點

3、，那么內異于圓心的一點，那么直線直線x0 x+y0y=r2x0 x+y0y=r2與此圓的位置關系是與此圓的位置關系是_._.【解析】【解析】(1)(1)當當k=1k=1時，圓心到直線的間隔時，圓心到直線的間隔d d 此時直線與圓相交；假設直線與圓相交，那么此時直線與圓相交；假設直線與圓相交，那么解得解得 所以，所以，“k=1k=1是是“直線直線x-y+k=0 x-y+k=0與圓與圓x2+y2=1x2+y2=1相交的充分不用要條件相交的充分不用要條件. .(2)(2)由于點由于點M(x0,y0)M(x0,y0)是圓是圓x2+y2=r2(r0)x2+y2=r2(r0)內的一點，所以內的一點，所以x

4、02+y02r2x02+y02r1+r2 無解無解 外切外切 d=r1+r2一組實數解一組實數解 相交相交 |r1-r2|dr1+r2兩組不同的實數解兩組不同的實數解 內切內切 d=|r1-r2|(r1r2)一組實數解一組實數解 內含內含 0d|r1-r2| (r1 r2)無解無解【即時運用】【即時運用】(1)(1)思索：假設兩圓相交時，公共弦所在的直線方程與兩圓的方思索：假設兩圓相交時，公共弦所在的直線方程與兩圓的方程有何關系？程有何關系？提示：兩圓的方程作差，消去二次項得到關于提示：兩圓的方程作差，消去二次項得到關于x x、y y的二元一次的二元一次方程，就是公共弦所在的直線方程方程，就是

5、公共弦所在的直線方程. .(2)(2)判別以下兩圓的位置關系判別以下兩圓的位置關系. .x2+y2-2x=0 x2+y2-2x=0與與x2+y2+4y=0 x2+y2+4y=0的位置關系是的位置關系是_._.x2+y2+2x+4y+1=0 x2+y2+2x+4y+1=0與與x2+y2-4x-4y-1=0 x2+y2-4x-4y-1=0的位置關系是的位置關系是_._.x2+y2-4x+2y-4=0 x2+y2-4x+2y-4=0與與x2+y2-4x-2y+4=0 x2+y2-4x-2y+4=0的位置關系是的位置關系是_._.【解析】由于兩圓的方程可化為：【解析】由于兩圓的方程可化為：(x-1)2

6、+y2=1(x-1)2+y2=1，x2+(y+2)2=4x2+(y+2)2=4，所以，兩圓圓心距所以，兩圓圓心距 又兩圓的半徑之又兩圓的半徑之和和r1+r2=1+2=3r1+r2=1+2=3，兩圓的半徑之差，兩圓的半徑之差r2-r1=2-1=1r2-r1=2-1=1，所以所以r2-r1|O1O2|r1+r2r2-r1|O1O2|- k- 時，直線時，直線l l與圓與圓C C相離；相離；當當 即即k=- k=- 時，直線時，直線l l與圓與圓C C相切；相切；當當 即即k- k- 時，直線時，直線l l與圓與圓C C相交相交. .222k05k5,k1k1 2k51,k11252k51,k12k

7、51,k1125125 與圓有關的弦長、中點問題與圓有關的弦長、中點問題【方法點睛】【方法點睛】直線被圓截得弦長的求法直線被圓截得弦長的求法(1)(1)代數法：將直線方程與圓的方程聯立，消元轉化為關于代數法：將直線方程與圓的方程聯立，消元轉化為關于x x的的一元二次方程，由根與系數的關系即可求得弦長一元二次方程，由根與系數的關系即可求得弦長 (2)(2)幾何法：設圓的半徑為幾何法：設圓的半徑為r r，弦心距為，弦心距為d d，弦長為，弦長為l l，那么有：，那么有：222121212AB1kxx1kxx4x x .222( )rd .2l【例【例2 2】(2021(2021淮安模擬淮安模擬)

8、)如下圖，如下圖，知圓知圓E E：x2+(y-1)2=4x2+(y-1)2=4交交x x軸分別于軸分別于A A，B B兩點，交兩點，交y y軸的負半軸于點軸的負半軸于點M M，過點，過點M M作圓作圓E E的弦的弦MN.MN.(1)(1)假設弦假設弦MNMN所在直線的斜率為所在直線的斜率為2 2，求弦，求弦MNMN的長；的長；(2)(2)假設弦假設弦MNMN的中點恰好落在的中點恰好落在x x軸上，求弦軸上，求弦MNMN所在直線的方程所在直線的方程; ;(3)(3)設弦設弦MNMN上一點上一點P(P(不含端點不含端點) )滿足滿足PAPA，POPO，PBPB成等比數列成等比數列( (其中其中O

9、O為坐標原點為坐標原點) )，試探求，試探求 的取值范圍的取值范圍. .PA PBuur uu rg【解題指南】【解題指南】(1)(1)求求M M點的坐標，求點的坐標，求MNMN所在直線的方程，計算圓所在直線的方程，計算圓心心E E到直線到直線MNMN的間隔的間隔d,d,得得 (2)(2)利用中點坐標公式及圓的方程求利用中點坐標公式及圓的方程求N N的坐標，由兩點式得弦的坐標，由兩點式得弦MNMN所在直線的方程所在直線的方程; ;(3)(3)由由PO2=PAPBPO2=PAPB建立動點建立動點P(x,y)P(x,y)的等量關系，結合點的等量關系，結合點P P在圓內求在圓內求 的取值范圍的取值范

10、圍. .22MN2 rd ;PA PBuur uu rg【規范解答】【規范解答】(1)(1)在圓在圓E E的方程中令的方程中令x=0,x=0,得得M(0,-1),M(0,-1),又又kMN=2,kMN=2,所以弦所以弦MNMN所在直線的方程為所在直線的方程為y+1=2x,y+1=2x,即即2x-y-1=0.2x-y-1=0.圓心到直線圓心到直線MNMN的間隔為的間隔為 且且r=2,r=2, (2)(2)由于由于yM+yN=0yM+yN=0，所以，所以yN=1yN=1，代入圓，代入圓E E的方程中得的方程中得N(N(2,1).2,1).由由M(0,-1),N(M(0,-1),N(2,1)2,1)

11、得直線得直線MNMN的方程為的方程為x-y-1=0 x-y-1=0或或x+y+1=0.x+y+1=0.2d,5228 5MN2 rd.5(3)(3)易得易得A(- A(- ，0)0)，B( B( ，0)0)，設，設P(x,y),P(x,y),那么由那么由PAPB=PO2PAPB=PO2，得，得 化簡得化簡得x2=y2+ x2=y2+ 由題意知點由題意知點P P在圓在圓E E內，所以內，所以x2+(y-1)2x2+(y-1)24 4，結合，得，結合，得4y2-4y-34y2-4y-30 0，解得，解得 從而從而33222222x3yx3yxy ,g3213y.22 22PA PBxy3uur u

12、u rg2332y,3).22 【反思【反思感悟】感悟】1.1.此題第此題第(1)(1)問求弦長，求解的關鍵是利用圓的問求弦長，求解的關鍵是利用圓的幾何性質，因此需求求圓心到弦的間隔幾何性質，因此需求求圓心到弦的間隔. .2.2.弦弦MNMN的中點恰好落在的中點恰好落在x x軸上，弦軸上，弦MNMN并不一定垂直于并不一定垂直于x x軸，而只軸，而只能運用中點坐標公式探尋能運用中點坐標公式探尋N N點的坐標點的坐標. .3.3.在求解在求解(3)(3)時，務必留意條件時，務必留意條件“弦弦MNMN上一點上一點P(P(不含端點不含端點) )，其隱含著點其隱含著點P P在圓內運動，可借助此來限定變量

13、在圓內運動，可借助此來限定變量x x、y y的范圍的范圍. .【變式訓練】知圓【變式訓練】知圓C C過點過點(1(1，0)0)，且圓心在，且圓心在x x軸的正半軸上，直軸的正半軸上，直線線l:y=x-1l:y=x-1被圓被圓C C所截得的弦長為所截得的弦長為 那么過圓心且與直線那么過圓心且與直線l l垂直的方垂直的方程為程為_._.【解析】設所求直線的方程為【解析】設所求直線的方程為x+y+m=0,x+y+m=0,圓心圓心(a,0)(a,0)，由題意知：，由題意知： 解得解得a=3a=3或或a=-1,a=-1,又由于圓心在又由于圓心在x x軸的正半軸軸的正半軸上，上，a=3,a=3,故圓心坐標

14、為故圓心坐標為(3(3，0)0)，而直線，而直線x+y+m=0 x+y+m=0過圓心過圓心(3(3，0)0)，3+0+m=03+0+m=0，即，即m=-3, m=-3, 故所求直線的方程為故所求直線的方程為x+y-3=0.x+y-3=0.答案：答案：x+y-3=0 x+y-3=02 2，22a1()2a1,2【變式備選】直線【變式備選】直線 截圓截圓x2+y2=4x2+y2=4得到的劣弧的弧長得到的劣弧的弧長為為_._.【解析】由于圓【解析】由于圓x2+y2=4x2+y2=4的圓心坐標為的圓心坐標為(0(0，0)0)，圓心到直線，圓心到直線 的間隔的間隔d d 而圓的半徑為而圓的半徑為2 2，

15、所以該直，所以該直線截圓所得弦長為線截圓所得弦長為 所以劣弧所對的圓心角為所以劣弧所對的圓心角為 , ,所以所以劣弧所對的弧長為劣弧所對的弧長為答案：答案：3xy2 303xy2 302 33,3 122 232 ，3234.23 23 圓與圓的位置關系圓與圓的位置關系【方法點睛】【方法點睛】1.1.兩圓公切線的條數兩圓公切線的條數位置關系位置關系內內 含含內內 切切相相 交交外外 切切外外 離離公切線條數公切線條數0 01 12 23 34 42.2.判別兩圓位置關系的方法判別兩圓位置關系的方法判別兩圓的位置關系，可根據圓心距與兩圓半徑的和與差的絕判別兩圓的位置關系，可根據圓心距與兩圓半徑的

16、和與差的絕對值之間的關系求解對值之間的關系求解. .【提示】利用兩圓所組成的方程組的解的個數，不能判別內切【提示】利用兩圓所組成的方程組的解的個數，不能判別內切與外切、相離與內含與外切、相離與內含. . 【例【例3 3】知兩圓】知兩圓x2+y2-2x-6y-1=0 x2+y2-2x-6y-1=0和和x2+y2-10 x-12y+m=0.x2+y2-10 x-12y+m=0.(1)m(1)m取何值時兩圓外切；取何值時兩圓外切；(2)m(2)m取何值時兩圓內切，此時公切線方程是什么？取何值時兩圓內切，此時公切線方程是什么？(3)(3)求求m=45m=45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長時兩

17、圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長. .【解題指南】【解題指南】(1)(1)兩圓外切那么有兩圓圓心距等于兩圓半徑之和；兩圓外切那么有兩圓圓心距等于兩圓半徑之和；(2)(2)兩圓內切那么有兩圓圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值，公兩圓內切那么有兩圓圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值，公切線為兩圓的方程之差所得的直線方程；切線為兩圓的方程之差所得的直線方程；(3)(3)兩圓公共弦所在直兩圓公共弦所在直線方程為兩圓的方程之差所得直線方程，弦長可用幾何法求解線方程為兩圓的方程之差所得直線方程，弦長可用幾何法求解. .【規范解答】兩圓的規范方程為：【規范解答】兩圓的規范方程為：(x-1)2+(y-3)2=11

18、(x-1)2+(y-3)2=11，(x-5)2+(y-6)2=61-m(x-5)2+(y-6)2=61-m，圓心分別為，圓心分別為M(1,3)M(1,3)、N(5,6)N(5,6)，半徑分，半徑分別為別為 (1)(1)當兩圓外切時，當兩圓外切時，解得：解得：m=25+10 .m=25+10 .(2)(2)當兩圓內切時，因定圓的半徑當兩圓內切時，因定圓的半徑 小于兩圓的圓心距小于兩圓的圓心距5 5，因此，有因此，有 解得：解得：m=25-10 m=25-10 ；1161m.、225 1631161 m，111161 m115 ，11由于由于 所以兩圓公切線的斜率一定為所以兩圓公切線的斜率一定為

19、，設切線，設切線方程為方程為 那么有那么有解得：解得：容易驗證當容易驗證當 時，直線與后一圓相交，故所求公切線時，直線與后一圓相交，故所求公切線方程為方程為即即4x+3y+5 -13=0.4x+3y+5 -13=0.MN633k5 14，434yxb3 ，241 3b3114( )13 ，135b11.33135b11334135yx11,333 11(3)(3)兩圓的公共弦所在直線的方程為：兩圓的公共弦所在直線的方程為：(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10 x-12y+45)=0,(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10 x-12y+45)=0,即即4x+3y-23=

20、0,4x+3y-23=0,所以公共弦長為：所以公共弦長為：222243 323211()2 7.43 【反思【反思感悟】感悟】1.1.處理此題主要是利用兩圓的不同位置關系所滿處理此題主要是利用兩圓的不同位置關系所滿足的圓心距與半徑的幾何關系求解足的圓心距與半徑的幾何關系求解. .2.2.當兩圓相交時，其公共弦方程可利用兩圓的普通方程相減得到當兩圓相交時，其公共弦方程可利用兩圓的普通方程相減得到. .【變式訓練】設圓【變式訓練】設圓C2C2經過點經過點A(4,-1)A(4,-1)且與圓且與圓C1C1：x2+y2+2x-6y+5=0 x2+y2+2x-6y+5=0切于點切于點B(1,2)B(1,2

21、)，求圓，求圓C2C2的方程的方程. .【解析】由平面幾何知識可知：【解析】由平面幾何知識可知：C1C1、B B、C2C2三點共線，又三點共線，又BC1BC1的的方程為：方程為：x+2y-5=0 x+2y-5=0，ABAB的垂直平分線方程為：的垂直平分線方程為：x-y-2=0 x-y-2=0，由，由 得得即即C2(3,1)C2(3,1)；又又|C2A|= |C2A|= 所以所以r=r=圓圓C2C2的方程為：的方程為：(x-3)2+(y-1)2=5.(x-3)2+(y-1)2=5.x2y50 xy20，x3y1，5,5,【創新探求】直線與圓的位置關系的創新命題【創新探求】直線與圓的位置關系的創新

22、命題【典例】【典例】(2021(2021江蘇高考江蘇高考) )集合集合A=(x,y)|A=(x,y)|x,yR, B=(x,y)|2mx+y2m+1,x,yR,x,yR, B=(x,y)|2mx+y2m+1,x,yR,假設假設AB,AB,那那么實數么實數m m的取值范圍是的取值范圍是_._.222mx2ym ,2【解題指南】此題調查的是直線與圓的位置關系，解題的關鍵【解題指南】此題調查的是直線與圓的位置關系，解題的關鍵是找出集合所代表的幾何意義，然后結合直線與圓的位置關系，是找出集合所代表的幾何意義，然后結合直線與圓的位置關系，求得實數求得實數m m的取值范圍的取值范圍【規范解答】【規范解答】

23、AB,A,m2AB,A,m2m m 或或m0.m0.顯然顯然B.B.要使要使AB,AB,只需圓只需圓(x-2)2+y2=m2(m0)(x-2)2+y2=m2(m0)與與x+y=2mx+y=2m或或x+y=2m+1x+y=2m+1有交點，即有交點，即 或或m,21222m|m|212mm ,2又又m m 或或m0,m0, m m當當m=0m=0時，時，(2(2，0)0)不在不在0 x+y10 x+y1內內. .綜上所述，滿足條件的綜上所述，滿足條件的m m的取值范圍為的取值范圍為答案：答案：22m22.2121222.1,22 .21,22 .2【閱卷人點撥】經過對此題的深化研討，我們可以得到以

24、下創【閱卷人點撥】經過對此題的深化研討，我們可以得到以下創新點撥和備考建議：新點撥和備考建議：創創新新點點撥撥本題有以下兩處創新點：本題有以下兩處創新點：(1)(1)考查形式的創新，以集合的形式給出了幾何圖形，且考查形式的創新，以集合的形式給出了幾何圖形，且兩幾何圖形常見但不落俗套；兩幾何圖形常見但不落俗套；(2)(2)考查內容的創新，本題摒棄以往考查直線與圓的位置考查內容的創新，本題摒棄以往考查直線與圓的位置關系的方式，而是借助于參數考查直線與圓、直線與圓環關系的方式，而是借助于參數考查直線與圓、直線與圓環的位置關系；同時還考查分類討論思想的應用的位置關系；同時還考查分類討論思想的應用. .

25、 備備考考建建議議 解決直線與圓的位置關系問題時，要注意以下幾點：解決直線與圓的位置關系問題時，要注意以下幾點：(1)(1)根據題設條件，合理選擇利用代數方法還是利用幾何根據題設條件，合理選擇利用代數方法還是利用幾何方法判斷其位置關系；方法判斷其位置關系；(2)(2)凡是涉及參數的問題，一定要注意參數的變化對位置凡是涉及參數的問題，一定要注意參數的變化對位置關系的影響，以便確定是否分類討論關系的影響，以便確定是否分類討論. .1.(20211.(2021泰州模擬泰州模擬) )假設直線假設直線ax+by=1ax+by=1過點過點A(b,a)A(b,a)，那么以坐標，那么以坐標原點原點O O為圓心，為圓心，OAOA長為半徑的圓的面積的最小值是長為半徑的圓的面積的最小值是_._.【解析】由題意可知【解析】由題意可知ab+ba=1,ab+ba=1,即即2ab=1,2ab=1,又又 故所求故所求圓的面積圓的面積S=(a2+b2),S2ab=.S=(a2+b2),S2ab=.答案：答案：22OAba ,2.(20212.