1、第一章 集合與函數(shù)概念課時一：集合有關概念1. 集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東 西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。2. 一般的研究對象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。3. 集合的中元素的三個特性：1元素確實定性： 集合確定， 那么一元素是否屬于這個集合是確定的： 屬于或不屬于 例：世界上最高的山、中國古代四大美女、教室里面所有的人2元素的互異性：一個給定集合中的元素是唯一的，不可重復的。例：由 HAPPY 的字母組成的集合 H,A,P,Y3元素的無序性 :集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合例：a,b,c和a,c,

2、b是表示同一個集合3、集合的表示：女口： 我校的籃球隊員, 太平洋，大西洋印度洋,北冰洋1用大寫字母表示集合： A= 我校的籃球隊員 ,B=1,2,3,4,52集合的表示方法：列舉法與描述法。1列舉法：將集合中的元素一一列舉出來a,b,c2 描述法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合。x R| x-3>2 ,x| x-3>2 語言描述法：例：不是直角三角形的三角形 Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。4、集合的分類 ：1 有限集：含有有限個元素的集合2無限集：含有無限個元素的集合3空集：不含任何元素的集合例：x|x2= 55、元素與集合的關系： 1

3、元素在集合里，那么元素屬于集合，即： a A 2元素不在集合里，那么元素不屬于集合，即：a A注意：常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集即自然數(shù)集 記作： N正整數(shù)集 N* 或 N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R課時二、集合間的根本關系1“包含關系一子集1 定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有 包含關系，稱集合A是集合B的子集。記作：A B 或B A注意：A B有兩種可能1 A是B的一局部，；2A與B是同一集合。反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A2 .“相等關系：A=B 5 >5，且 5 W5，那么 5=5實例：設 A=x|x 2-仁0

4、 B二-1,1“元素相同那么兩集合相等即:任何一個集合是它本身的子集。A A 真子集:如果A B,且A B那就說集合A是集合B的真子集，記作丘B(yǎng)或BA或假設集合A B,存在x B且x A，那么稱集合A是集合B的真子集。 如果A B, B C ,那么A C 如果A B 同時B A那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集課時三、集合的運算運算類型交集并集補集定義由所有屬于A且屬于B 的元素所組成的集合，叫 做A,B的交集.記作 A B (讀作 A交B'), 即 A B= x|x

5、 A，且 x B.由所有屬于集合A或屬 于集合B的元素所組成 的集合，叫做A,B的并 集.記作：A B (讀作A并B'),即卩A B =x|x A，或 x B).全集：一般，假設一個集合漢語我 們所研究問題中這幾道的所有 元素，我們就稱這個集合為全 集，記作：U設S是一個集合，A是S的一個 子集，由S中所有不屬于A的元 素組成的集合，叫做S中子集A 的補集(或余集)記作CsA，CsA=x|x S,且x A韋恩圖示圖1Cd圖2性質A n A=Aa n o=A n B=B AA n BAAn B BALA=AAU =AAUB=BUAAUB AALB B(CuA) n (CuB)= C u(

6、AUB)(CuA) U (CuB)= C u(A n B)AU(CuA)=UA n (CuA)=.課時四：函數(shù)的有關概念1. 函數(shù)的概念：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f,使 對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應， 那么就稱f: A - B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作： y=f(x) , x A .(1) 其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；(2) 與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| x A 叫做 函數(shù)的值域.2. 函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應法那么3. 函數(shù)的表示方法：(1)解析法：明確函數(shù)的定

7、義域(2) 圖想像：確定函數(shù)圖像是否連線，函數(shù)的圖像可以是連續(xù)的曲線、直線、折線、離散的點等等。(3) 列表法：選取的自變量要有代表性，可以反響定義域的特征。4、函數(shù)圖象知識歸納(1) 定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù)y=f(x) , (x A)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x, y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x A)的圖象.C上每一點的坐標(x, y)均滿足函數(shù)關系y=f(x)，反過來，以滿 足y=f(x)的每一組有序實數(shù)對x、y為坐標的點(x, y)，均在C上.(2) 畫法A、描點法：B、圖象變換法：平移變換；伸縮變換；對稱變換。3)函數(shù)圖像變換的特點：1) 函數(shù) y=f

8、(x)關于 X 軸對稱 y=-f(x)2) 函數(shù) y=f(x)關于 Y 軸對稱 y=f(-x)3) 函數(shù) y=f(x)關于原點對稱 y=-f(-x)課時五：函數(shù)的解析表達式，及函數(shù)定義域的求法1 、函數(shù)解析式子的求法( 1 )、函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關系 時，一是要求出它們之間的對應法那么，二是要求出函數(shù)的定義域 .(2)、求函數(shù)的解析式的主要方法有：1 )代入法：2) 待定系數(shù)法：3) 換元法：4) 拼湊法：2. 定義域 ：能使函數(shù)式有意義的實數(shù) x 的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根

9、的被開方數(shù)不小于零；(3) 對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4) 指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5) 如果函數(shù)是由一些根本函數(shù)通過四那么運算結合而成的.那么，它的定義域是 使各局部都有意義的x的值組成的集合.(6) 指數(shù)為零底不可以等于零，(7) 實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義3、相同函數(shù)的判斷方法： 表達式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關)；定義域一致(兩點必須同時具備)4、區(qū)間的概念：(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間(2 )無窮區(qū)間(3 )區(qū)間的數(shù)軸表示課時六：1 .值域:先考慮其定義域(1 )觀察法：直接觀察函數(shù)的圖像或函數(shù)的解析式來求函數(shù)的值域；(

10、2)反表示法：針對分式的類型，把 Y關于X的函數(shù)關系式化成 X關于Y的函數(shù)關系式，由X的范圍類似求Y的范圍。(3) 配方法：針對二次函數(shù)的類型，根據二次函數(shù)圖像的性質來確定函數(shù)的值域，注意定義域的范圍。(4) 代換法(換元法)：作變量代換，針對根式的題型，轉化成二次函數(shù)的類型。課時七1. 分段函數(shù)(1)在定義域的不同局部上有不同的解析表達式的函數(shù)。(2 )各局部的自變量的取值情況.(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.補充：復合函數(shù)如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A),那么 y=fg(x)=F(x)(x A) 稱為 f、g的復合函數(shù)。(4 )常用的分段

11、函數(shù)1) 取整函數(shù)：2) 符號函數(shù)：3) 含絕對值的函數(shù):2 .映射一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法那么f，使對于集合A中的任意一個元素X，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應， 那么就稱對應f: A B為從集合A到集合B的一個映射。記作“ f (對應關系)： A (原象) B (象)對于映射f: A - B來說，那么應滿足：(1) 集合A中的每一個元素，在集合 B中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合A中不同的元素，在集合 B中對應的象可以是同一個；(3) 不要求集合B中的每一個元素在集合 A中都有原象。注意：映射是針對自然界中的所有事物而言的，而函數(shù)僅僅是針對數(shù)

12、字來說的。所以函數(shù)是映射，而映射不一定的函數(shù)課時八函數(shù)的單調性(局部性質)及最值1、增減函數(shù)(1)設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任 意兩個自變量X1 , X2，當X1<X2時，都有f(X1)<f(X 2)，那么就說f(x)在 區(qū)間D上是增函數(shù)區(qū)間D稱為y=f(X)的單調增區(qū)間.(2 )如果對于區(qū)間 D上的任意兩個自變量的值 X1 , X2，當X1<X2時，都有 f(X1) >f(X2)，那么就說f(X)在這個區(qū)間上是減函數(shù)區(qū)間D稱為y=f(x)的 單調減區(qū)間.注意：函數(shù)的單調性是函數(shù)的局部性質；函數(shù)的單調性還有單調不增，和單調 不減兩

13、種2 、 圖象的特點如果函數(shù) y=f(x) 在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)， 那么說函數(shù) y=f(x) 在這一區(qū)間 上具有 (嚴格的 )單調性，在單調區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù) 的圖象從左到右是下降的 .3、函數(shù)單調區(qū)間與單調性的判定方法(A) 定義法：O 任取 X1 , X2 D，且 X1<X2；作差 f(Xl) f(X2)；變形(通常是因式分解和配方)；©定號(即判斷差f(xi) f(X2)的正負)；®下結論(指出函數(shù)f(X)在給定的區(qū)間D上的單調性).(B) 圖象法(從圖象上看升降)(C) 復合函數(shù)的單調性復合函數(shù)fg(x)的單調性與構成它的函數(shù)u=

14、g(x) , y=f(u)的單調性密切相關，其規(guī)律：“同增異減注意：函數(shù)的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集課時九：函數(shù)的奇偶性(整體性質)(1 )、偶函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個 x，都有f( - x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)(2) 、奇函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個 x，都有f( -x)= f(x)，那么 f(x) 就叫做奇函數(shù)(3) 、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關于 y 軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱 利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：(1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；假

15、設是不對稱，那么是非奇非偶的函數(shù)；假設對稱，那么進行下面判斷；1確定f( - x)與f(x)的關系；13作出相應結論：假設 f(- x) = f(x) 或 f(- x)-f(x) = 0 ，那么 f(x) 是偶函數(shù)；假設 f(- x) = - f(x) 或 f(- x)f(x) = 0 ，那么 f(x) 是奇函數(shù)(4) 利用奇偶函數(shù)的四那么運算以及復合函數(shù)的奇偶性1) 在公共定義域內，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)； 奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)； 偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)； 一奇一偶的乘積是奇函數(shù)；2) 復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇。注意：函數(shù)定義域

16、關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件首先看函數(shù)的 定義域是否關于原點對稱，假設不對稱那么函數(shù)是非奇非偶函數(shù).假設對稱，( 1)再根據定義判定 ;(2) 由 f(-x) ±f(x)= 0 或 f(x) f(-x)= ±1來判定 ;(3) 利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.課時十、函數(shù)最值及性質的應用1、函數(shù)的最值O利用二次函數(shù)的性質(配方法)求函數(shù)的最大(小)值利用圖象求函數(shù)的最大(小)值®利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大(小)值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調遞增，在區(qū)間b , c上單調遞減那么函數(shù)y=f(x) 在 x=b 處有最大值 f(b) ；如果函數(shù)y

17、=f(x)在區(qū)間a，b上單調遞減，在區(qū)間b , c上單調遞增那么函數(shù)y=f(x) 在 x=b 處有最小值 f(b) ；2、函數(shù)的奇偶性與單調性奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調性； 偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調性。3、 判斷模糊單調性時也可以用作商法，過程與作差法類似， 區(qū)別在于作差法是與 0 作比擬，作商法是與 1 作比擬。4、絕對值函數(shù)求最值，先分段，再通過各段的單調性，或圖像求最值。5、 在判斷函數(shù)的奇偶性時候，假設是奇函數(shù)可以直接用f(0)=0 ，但是 f(0)=0 并 不一定可以判斷函數(shù)為奇函數(shù)。(高一階段可以利用奇函數(shù) f(0)=0 )。課時十四1、 指數(shù)與指數(shù)冪

18、的運算：復習初中整數(shù)指數(shù)冪的運算性質:m*an=am+n(am)n=amn(a*b) n=a nbn2、根式的概念：般地，右X a ,那么x叫做a的n次方根，其中n >1 ,且n N .當n是奇數(shù)時，正數(shù)的 此時，a的n次方根用符號當n為偶數(shù)時，正數(shù)的 的正的n次方根用符號n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的 n次方根是一個負數(shù)。 表示。n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)。此時正數(shù)a表示，負的n的次方根用符號表示。正的n次(a>0 )。方根與負的n次方根可以合并成注意：負數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作no a，當n是偶數(shù)時，nan |a| aa當n是奇數(shù)時，nan0。(a 0)(

19、a 0)式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)。3、分數(shù)指數(shù)冪正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的mmanVam (aO,m,n N *, n 1), a n =(a 0, m, n N*, n 1)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0 , 0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義4、有理數(shù)指數(shù)米的運算性質(1 )rrr sa a a(a0,r,sR)；(2)r srs(a ) a(a0,r,sR)；(3)rr(ab) a a(a0,r,sR).5、無理數(shù)指數(shù)冪一般的，無理數(shù)指數(shù)冪 aa (a>0,a是無理數(shù))是一個確定的實數(shù)。有理數(shù)指數(shù) 冪的運算性質同樣使用于無理數(shù)指數(shù)冪。課時十五：指數(shù)函數(shù)的性質及其特點(1)1、指數(shù)函數(shù)的

20、概念：一般地，函數(shù)y ax(a 0,且a 1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中X是自變量,函數(shù)的定義域為R.注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和1 .為什么？2、在同以坐標平面內畫出以下函數(shù)的圖像：(1) (2)(3)(4)(5)圖像特征圖像特征a>1a>10<a<1a>1向X、Y軸正負方向無限延伸函數(shù)的疋義域為R圖像關于原點和丫軸不對稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖像都在X軸的上方函數(shù)的值域為R+函數(shù)圖象都過定點(0, 1 )a0=1自左向右看圖像逐漸 上升。自左向右看圖像逐漸 上升。增函數(shù)減函數(shù)在第一象限內圖像縱 坐標都大于1。在第一象限內圖像縱 坐標都大于1。x>

21、;0 , ax>1x>0 , ax <1在第二象限內圖像縱 坐標都小于1。在第二象限內圖像縱 坐標都大于1。x<0， ax <1x<0 ， ax>1圖像上升的趨勢愈來 愈陡。圖像上升的趨勢愈來 愈陡。函數(shù)值開始增加較慢， 到了某一值后增長速 度極快。函數(shù)值開始減小極快， 到了某一值后減小速 度較慢。課時十六：指數(shù)函數(shù)的性質及其特點(1) 指數(shù)函數(shù)的圖象和性質a>10<a<15'.L -211定義域R定義域R值域y > 0值域y>0在R上單調遞增在R上單調遞減非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定點(0, 1)函數(shù)圖

22、象都過定點(0 , 1)注意：禾I用函數(shù)的單調性，結合圖象還可以看出：(1 )在a, b上，值域是f(a),f(b)或f(b),f(a);(2) 假設x 0，那么f (x)1 ; f (x)取遍所有正數(shù)當且僅當x R ;(3) 對于指數(shù)函數(shù)f(x) ax(a 0且a 1)，總有f(1) a ;(4 )當 a>1 時，假設 X1VX2，那么有 f(X1)vf(X2)。二、對數(shù)函數(shù)(一) 對數(shù)1.對數(shù)的概念：一般地，如果ax N (a 0,a 1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù), 記作：x log a N ( a 底數(shù)，N 真數(shù)，log a N 對數(shù)式)說明：0注意底數(shù)的限制a 0，且a 1 ；2Q ax N loga N x ；,lOga NO注意對數(shù)的書寫格式.兩個重要對數(shù)：O