1、有限元考試試題及答案1、 簡答題（5道，共計25分）。1.有限單元位移法求解彈性力學問題的基本步驟有哪些？（5分）答：（1）選擇適當?shù)膯卧愋蛯椥泽w離散化；（2）建立單元體的位移插值函數(shù)；（3）推導單元剛度矩陣；（4）將單元剛度矩陣組裝成整體剛度矩陣；（5）代入邊界條件和求解。2. 在劃分網(wǎng)格數(shù)相同的情況下，為什么八節(jié)點四邊形等參數(shù)單元精度大于四邊形矩形單元？ （5分）答：在對于曲線邊界的邊界單元，其邊界為曲邊，八節(jié)點四邊形等參數(shù)單元邊上三個節(jié)點所確定的拋物線來代替原來的曲線，顯然擬合效果比四邊形矩形單元的直邊好。3.軸對稱單元與平面單元有哪些區(qū)別？ （5分） 答：軸對稱單元是三角形或四邊形

2、截面的空間的環(huán)形單元，平面單元是三角形或四邊形平面單元；軸對稱單元內任意一點有四個應變分量，平面單元內任意一點非零獨立應變分量有三個。4.有限元空間問題有哪些特征？ （5分）答：（1）單元為塊體形狀。常用單元：四面體單元、長方體單元、直邊六面體單元、曲邊六面體單元 、軸對稱單元。（2）結點位移3個分量。（3）基本方程比平面問題多。3個平衡方程，6個幾何方程，6個物理方程。5.簡述四節(jié)點四邊形等參數(shù)單元的平面問題分析過程。（5）分）答：（1）通過整體坐標系和局部坐標系的映射關系得到四節(jié)點四邊形等參單元的母單元，并選取單元的唯一模式； （2） 通過坐標變換和等參元確定平面四節(jié)點四邊形等參數(shù)單元的幾

3、何形狀和位移模式； （3）將四節(jié)點四邊形等參數(shù)單元的位移模式代入平面問題的幾何方程，得到單元應變分量的計算式，再將單元應變代入平面問題的物理方程，得到平面四節(jié)點等參 數(shù)單元的應力矩陣； （4）用虛功原理求得單元剛度矩陣，最后用高斯積分法計算完成。2、 論述題（3道,共計30分）。1. 簡述四節(jié)點四邊形等參數(shù)單元的平面問題分析過程。（10分）答：（1）通過整體坐標系和局部坐標系的映射關系得到四節(jié)點四邊形等參單元的母單元，并選取單元的唯一模式； （2） 通過坐標變換和等參元確定平面四節(jié)點四邊形等參數(shù)單元的幾何形狀和位移模式； （3）將四節(jié)點四邊形等參數(shù)單元的位移模式代入平面問題的幾何方程，得到單元

4、應變分量的計算式，再將單元應變代入平面問題的物理方程，得到平面四節(jié)點等參 數(shù)單元的應力矩陣； （4）用虛功原理求得單元剛度矩陣，最后用高斯積分法計算完成。2.軸對稱問題的簡單三角形單元是否是常應力，常應變？為什么？（10分） 答：不是常應力和常應變。 因為應變與位移分量的關系式為: ,這里除含有微分算符外，還包含了r的倒數(shù)項1/r ,則即使位移模式為線性的，但由于該項的存在，使得應變與坐標有關，即不會是常應變。應力應變的物理關系為 ，由于應變不是常應變，則所求得的應力也不會是常應力。3.在薄板彎曲理論中做了哪些假設？薄板單元和厚板單元的基本假設有什么不同？（10分）答：四種假設： 1）變形前的

5、中面法線在變形后仍為彈性曲面的法線。2）變形前后板的厚度不變。3）板變形時，中面無伸縮。4)板內各水平層間互不擠壓。不同點：薄板單元假設橫向纖維無擠壓，板的中面法線變形后仍保持為直線，該直線垂直于變形后的中面，但是厚板單元的假設考慮橫向變形的影響，板的中面法線變形后仍 基本保持為直線，但該直線不再垂直于變形后的中面，法線繞坐標軸的轉角不再是撓度的導數(shù)，而是獨立的變量。3、 計算題（3道，共計45分）。1.如圖所示等腰直角三角形單元，其厚度為，彈性模量為，泊松比；單元的邊長及結點編號見圖中所示。求(1) 形函數(shù)矩陣 (2) 應變矩陣和應力矩陣 (3) 單元剛度矩陣 （12分） 解：設圖

6、1所示的各點坐標為點1（a，0），點2（a，a），點3（0，0）于是，可得單元的面積為 ，及(1) 形函數(shù)矩陣為 ； (2) 應變矩陣和應力矩陣分別為，； ，；(3) 單元剛度矩陣2. 如圖所示的四結點矩形單元，求出節(jié)點3的位移。設厚度t1m，0，E為常量。（13分） 注：對于四節(jié)點矩形單元有：，解：對于四節(jié)點矩形單元有：，代入邊界條件1122440，將對應的行和列劃掉沒剩下的方程為：，又，且，a=1,b=1所以所以解得3.有一如圖3(a)所示的剪力墻，墻頂作用豎向荷載P。將該剪力墻劃分為兩個三結點三角形常應力單元，單元和結點編號如圖3(b)所示，并將荷載P分成兩個P/2作用在3、4結點。已知單元厚度為t，彈性模量為E，泊松比=1/3。求結點3和結點4的位移，以及單元的應變和應力。（20分）解：建立直角坐標系(注Y軸向下為正)，單元i,j,m對應的節(jié)點編號為3,1,4，單元對應的節(jié)點編號為2,4,1。對于單元：i(0,0),j(0,4),m(2,0) bi=yi-ym=4；bj=ym-yi=0；bm=yi-yj=-4 ci=xm-xj=2；cj=xi-xm=-2；cm=xj-xi=0 三角形面積A=1