1、一、從1、2、3、1998、1999這些自然數中，最多可以取多少個數，才能使其中每兩個數的差不等于4？ 抽屜原理 把這組數據先劃分成四組公差為4的等差數列，則差是4的數都在同一個數列之中，由此即可進行推理解答 解：把1，2，31998，1999這1999個數分成四組公差是4的等差的數列，1，5，9，131993，1997-共500個數；2，6，10，141994，1998-共500個數；3，7，11，151995，1999-共500個數；4，8，12，161992，1996-共499個數；我們發現：1四行中每一行中任意相鄰兩數相差為4，不相鄰兩數相差不可能是4；2而分屬不同兩行的任意兩個數相差

2、不可能為4，因為如果相差為4的話，兩數將被歸為一行，這顯然與事實矛盾；故我們用這樣的方法來選符合規定的數：前三行每隔一個數選一個，每行最多可選250個數；第四行先選4，再隔一個數字選一個，可選出250個，最終得到250×4=1000個數答：最多可以取1000個數，才能使其中每兩個數的差不等于4 二、一個正方體形狀的木塊，棱長為1米，沿著水平方向將它鋸成3片，每片又按任意尺寸鋸成4條，每條又按任意尺寸鋸成5小塊，共得到大大小小的長方體60塊。問這60塊長方體表面積的總和是多少平方米。解答一：得到大大小小長方體共60塊,這60塊把長方體內部分成：水平方向:4個1平方米的面縱向：8個1平方

3、米的面橫向：6個1平方米的面再加上原正方體：6個1平方米的面共計：24平方米解答二、原來表面積=1*1*6=6平方米每切一次多出1*1*2平方米共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9次表面積的和=6+2*9=24平方米解答三、如圖，一個正方體形狀的木塊，棱長l米，沿水平方向將它鋸成3片，每片又鋸成4長條，每條又鋸成5小塊，共得到大大小小的長方體60塊那么，這60塊長方體表面積的和是24平方米 簡單的立方體切拼問題；長方體和正方體的表面積 根據題干分析可得：每切一刀，就增加2個正方體的面的面積，由此只要求出一共切了幾刀，即可求出一共增加了幾個正方體的面的面積，再加上原來正方體的表面積，就是

4、這60塊長方體的表面積之和沿水平方向將它鋸成3片，是切割了2刀，同理，每片又鋸成4長條，是切了3刀，每條又鋸成5小塊，是切了4刀，所以一共切了2+3+4=9刀，所以表面積一共增加了9×2=18個正方體的面，由此即可解答問題解答：解：沿水平方向將它鋸成3片，是切割了2刀，同理，每片又鋸成4長條，是切了3刀，每條又鋸成5小塊，是切了4刀，所以一共切了2+3+4=9刀，所以這60個小長方體的表面積之和是：1×1×6+9×2×1×1，=6+18，=24（平方米），答：這60塊長方體表面積的和是24平方米故答案為：24點評：抓住正方體的切割特點

5、，得出每切1刀增加的表面積規律，是解決此類問題的關鍵三、在大于1000的整數中，找出所有被34除后商與余數相等的數，那么這些數的和是多少？解答一、1155/34=33.331120/34=32.321085/34=31.311050/34=30.301015/34=29.291155+1120+1085+1050+1015=5425等于5425。解答二：因為34×2828=35×28=9801000，所以只有以下幾個數： 34×2929=35×29 34×3030=35×30 34×3131=35×31 34

6、15;3232=35×32 34×3333=35×33 以上數的和為35×（2930313233）=5425 解答三、考點：帶余除法分析：根據余數的基本性質，余數小于除數，因此，在此題中除數是34，商和余數相等，再根據被除數=商×除數+余數，求出符合條件的數，然后再求出這些數的和，即可得解解答：解：因為34×28+28=35×28=9801000，所以只有以下幾個數：34×29+29=35×29； 34×30+30=35×30； 34×31+31=35×31； 34

7、×32+32=35×32； 34×33+33=35×33 以上數的和為35×（29+30+31+32+33）=5425 答：這些數的和是5425點評：此題考查了帶余除法，本題的關鍵是得到被34除后商與余數相等且大于1000的整數，本題可以運用運算律簡便計算四、一時鐘一晝夜走慢1分40秒，若于今日正午校準，到明日上午六時，這只鐘指在什么時刻？考點：時間與鐘面專題：傳統應用題專題分析：24小時慢了1分40秒，即100秒，由此求出每個小時慢了多少秒；從今日中午12時到明天上午6時一共是18個小時，求出這個18個小時一共慢了多少秒，再從上午6時向前推算

8、即可解答：解：1分40秒=100秒；24小時慢了100秒，從今日中午12時到明天上午6時一共是18個小時；100÷24×18=75（秒）；75秒=1分15秒；6時整向前推算1分15秒是5時58分45秒答：這只鐘指在5時58分45的時刻點評：先求出每小時慢的時間，進而求出一共慢的時間，然后從后來的時刻向前推算即可五、有甲、乙、丙三個時鐘，上午5點鐘核準無誤差，甲鐘報上午6點時，乙鐘比甲慢1分；乙鐘報上午6點是，丙鐘比乙慢4分。問甲報12點時，丙報幾時幾分？答：甲報12點時，丙報11點25分，理由是：丙比乙每小時慢4分，7小時比乙慢28分，但在7小時里，乙比甲慢了7分，二者相加

9、一共慢了35分，所以報11點25分。六、甲、乙兩時鐘都不準確，甲鐘每走24小時，恰好快1分鐘；乙鐘每走24小時，恰好慢1分鐘假定今天下午三點鐘的時候，將甲、乙兩鐘都調好，指在準確的時間上，任其不停地走下去，問下一次這兩只鐘都同樣指在三點時，要隔多少天考點：鐘面上的追及問題分析：由題意可知，快鐘比慢鐘每天快1+1=2分鐘要想快鐘與慢鐘再次同時指向3時，就是要快鐘比慢鐘一共快12小時解答：解：12×60÷（1+1），=720÷2，=360（天）答：下一次這兩只鐘都同樣指在三點時，要隔360天故答案為：360點評：考查了鐘面上的追及問題，解題的關鍵是求出甲鐘比標準鐘多轉

10、一圈所需天數、標準時鐘比乙鐘多走一圈所需天數七、有甲乙兩個鐘,甲每天比標準時間慢5分鐘,而乙每天必標準時間快5分鐘,在3月15日零點零分的時候兩鐘正好對準.若已知在某一時刻,乙鐘和甲鐘都分別時針與分針重合,且在從3月15日開始到這個時候,乙鐘時鐘與分鐘重合的次數比甲鐘多10次,那么這個時候的標準時間是多少？答：標準時鐘從0時0分起每經12/11小時時針與分針重合1次， 甲鐘的時針與分針重合x次需 12/11*289/288*x小時， 乙鐘的時針與分針重合（x+10）次需 12/11*287/288*（x+10）小時，依題意 12/11*289/288*x=12/11*287/288*（x+10

11、）， 289x=287(x+10), 2x=2870, x=1435. 12/11*289/288*1435=1570+705/792(小時） 1570=24*65+10， 3月15日零點零分至5月15日零點零分，剛好61天。乙鐘時鐘與分鐘重合的次數比甲鐘多10次的標準時間是5月19日 上午（10+705/792）時（約10時53分24.5秒）。 八、昨日中午，有人把甲乙丙三只電子鐘都撥到12點整，今天中午一看，甲鐘正好12點，乙鐘是11:58，丙鐘12:02，在過多長時間，三只鐘又同時指向12點也就是說，甲的表是一直準的每過12小時，乙慢了2分鐘，丙快了2分鐘。12 h 對應 2min的誤差

12、。現在，要讓三只鐘都再次指向12點，只能讓乙比甲慢12小時，丙比甲快12小時。根據比例列示：12 h / 2min = ? / 12h? = 12h x 12h / 2min= 12h x 12h / (1/30)h= 4320 h= 180 天所以，再過 180天，三只鐘的時間都指向12點。九、一個四位數各個數位上數字都不相同，并且各個數位上的數字之和為14，能寫出幾個這樣的數？阿拉伯數字為0、1、2、3、4、5、6、7、8、9首先要確定四個不同的阿拉伯數字相加為14的組合。0、1、4、9；0、1、5、8；0、1、6、7；0、2、3、9；0、2、4、8；0、2、5、7；0、3、4、7；0、3

13、、5、6；當選擇的阿拉伯數字有0時，千位能選3種數字(不能選0）、百位能選3種數字，十位2種，個位1種，即3X3X2X1=18種。以上8個組合共18X8=144種；1、2、3、8；1、2、4、7；1、2、5、6；1、3、4、6；2、3、4、5；以上5個組合，千位能選4種數字，百位能選3種，十位2種，各位1種，即4X3X2X1=24種。這5種組合共24X5=120種。合計144+120=264種十、一個四位數的數字和是10，而且各位數字都不為零，那么有多少個這樣的四位數？1-9的數字中，不重復的數字之和=10的數字只有1234 即1+2+3+4=10有4×3×2×1

14、24種這是一個排列組合題，具體解釋為：先排千位，4個數可以任選一個，即千位有四中選擇；再排百位，此時只剩下3個數，三個數可以任選一個排在百位，即百位有三中選擇；以此類推，十位兩種選擇，最后個位一種選擇。即所得的四位數情況有4×3×2×124種十一、甲乙兩地相距60千米，小王騎車以每小時行10千米的速度上午8點鐘從甲地出發去乙地。過了一會兒，小李騎車以每小時15千米的速度也從甲地去乙地。小李在途中M地追上小王，通知小王立即返回甲地，小李繼續騎車去乙地。各自分別到達甲、乙兩地后都馬上返回，兩人再次見面時，恰好還在M地。問：小李是在什么時刻出發的？因為王和李第一次在M點

15、相遇，分別到乙地，甲地后，返回時又在M點相遇，說明他們在這期間用時相等，距離為兩個甲乙的距離那么他們的用時為：2*60/（10+15）=4.8小時甲地距M點距離為：4.8*10/2=24千米小王從甲地到M點用時為：24/10=2.4小李從甲地到M點用時為：24/15=1.62.4-1.6=0.80.8*60=48分鐘小李8點48分出發。十二、馬路上有一輛身長15米的公共汽車由東向西行駛，車速為每小時18公里，馬路一旁的人行道上有甲、乙兩名年輕人正在練長跑，甲由東向西跑，乙由西向東跑，某一時刻，汽車追上了甲，6秒鐘后汽車離開了甲；半分鐘之后，汽車遇到了迎面跑來的乙；又過了兩秒鐘，汽車離開了乙，問

16、;再過多少秒以后甲、乙兩人相遇？答：汽車速度是18千米每小時=5米每秒；汽車經過甲身邊時用了6秒，由方向關系求得甲的速度是5-15/6=2.5米每秒；同樣，求得乙的速度為15/2-5=2.5米每秒；汽車經過甲乙的時間相差半分鐘，距離是30*5=150米，這半分鐘內甲跑了2.5*30=75米，所以再經過75/(2.5+2.5)=15秒，甲乙相遇13、 兩人同時從甲地出發到乙地,一人用勻速3小時走完全程,另一人用勻速4小時走完全程,經過多少小時其中一人所剩路程的長是另一人所剩路程長的2倍? 設經過X小時其中一人所剩路程的長是另一人所剩路程長的2倍設總路程為12（1-1/3X）=1-1/4X解得：X

17、=12/5十三、哥哥和弟弟同時從甲地前往乙地.當哥哥走了三分之一的路程時,弟弟才走9千米;當弟弟走了三分之一的路程時,哥哥已走了16千米.問哥哥走完全程時,弟弟還有多少路程要走?設三分之一的路程為s km哥速=a 單位省弟速=bsb/a=9as/b=16兩式相乘得s=12路程共3s哥走完弟走3sb/a=27剩3s-27=914、 某個貨場有1997輛車排隊等待裝貨,要求第一輛車必須裝9箱貨物,每相鄰的4輛車裝貨總數為34箱.為滿足上述要求,至少應該有貨物的箱數是多少?其實這個數字已經定了,只是能不能實現的問題了,第一輛車9箱 后面的1996輛車分為1996/4=499組,由于要求是每相鄰的4輛

18、車裝貨總數為34箱 那么必然有每組裝貨的數量都是34箱 一共裝貨就是499*34+9=16975箱,這個數字是一定的,并沒有至少的問題下面考慮這種裝貨法是否可以實現 實際上 只要按照下面方式裝貨就可以實現從第一輛車開始 依次裝9 10 10 5 9 10 10 5 .這樣每相鄰4個車裝貨數都是9+10+10+5=34箱(只是一種方式,還可以有其它的)十五、一天，師徒二人接到一項加工零件的任務，先由師傅單獨做6小時，剩下的任務由徒弟單獨做，4小時完成，第二天，他們又接到一項加工任務，工作量是第一天接受任務的2倍，這項任務先由師徒二人合作10小時，剩下的全部由徒弟做完，已知徒弟的工作效率是師傅的4

19、/5，師傅第二天比徒弟多做32個零件，問 （1）第二天徒弟一共做了多少小時？（2)師徒二人兩天共加工零件多少個？設師傅一小時加工x個零件，徒弟一小時加工4/5x個零件。2（6x+4* 4/5x）-（10（x+ 4/5x）+10*4/5x=10x-32x=20所以徒弟每小時加工16個零件。第一項任務共有：6*20+16*4=184個零件第二項任務共有：184*2=368個零件。師徒合作10小時后剩下：368-10*（16+20）=8個徒弟做了8÷16=0.5小時。徒弟第二天做了0.5+10=10.5小時。答：徒弟第二天做了10.5小時。368+184=552個零件。答：師徒二人兩天共做

20、552個零件。16、 甲、乙、丙三人同乘火車去某地，因他們每人的行李都超過了免費的重量，需另加行李費。甲支付了3元，乙支付了5元，丙支付了7元。三人的行李共重90千克，如果這些行李一人攜帶，需付行李費35元，丙帶的行李重多少千克？解：3人的行李總重量超過了一人免費重量35元的重量，而分3人，超出重量的錢數=3+5+7=15（元）所以1個人免費重量如果算成超重重量，所需的錢數=(35-15)/2=10（元）所以3人的行李重量之比=(10+3)：(10+5)：(10+7)=13:15:17，所以甲的行李重量=26千克乙的行李重量=30千克丙的行李重量=34千克十七、某公共汽車線路中間有15個站，車

21、有快車及慢車兩種，快車車速是慢車車速的1.2倍，慢車每站都停，快車只停靠中間一個站，每站停留時間都是3分鐘。當某次慢車發出50分鐘后，快車從同一始發站開出，兩車恰好同時到達終點，快車從起點到終點共用多少時間？快車從起點到終點共用x分鐘由于快車車速是慢車車速的1.2倍，所以走完相同的距離所用時間慢車是快車1.2倍1.2（x-3)=x+50-3*150.2x=8.6x=43快車從起點到終點共用43分鐘十八、馬路上有一輛身長15米的公共汽車由東向西行駛，車速為每小時18公里，馬路一旁的人行道上有甲、乙兩名年輕人正在練長跑，甲由東向西跑，乙由西向東跑，某一時刻，汽車追上了甲，6秒鐘后汽車離開了甲；半分

22、鐘之后，汽車遇到了迎面跑來的乙；又過了兩秒鐘，汽車離開了乙，問;再過多少秒以后甲、乙兩人相遇？汽車速度是18千米每小時=5米每秒；汽車經過甲身邊時用了6秒，由方向關系求得甲的速度是5-15/6=2.5米每秒；同樣，求得乙的速度為15/2-5=2.5米每秒；汽車經過甲乙的時間相差半分鐘，距離是30*5=150米，這半分鐘內甲跑了2.5*30=75米，所以再經過75/(2.5+2.5)=15秒，甲乙相遇十九、10點鐘在過多久，時針與分針將第一次在一條直線上？時針和分針成一條直線有兩種情況：第一種情況：重合分析：在8點整的時候，分針落后時針8×540（格），分針1分鐘走1格，時針1分鐘走5

23、÷601/12（格），問題轉化成了一個追擊問題。所以分針1分鐘可以追時針1（1/12）11/12（格），那么追上時針40格需要40÷（11/12）480/11（分）43又7/11分。解：（8×5）÷1-（1/12）480/11（分）43又7/11分答：8點43又7/11分，時針與分針成一條直線。第二種情況：在同一條直線上，但不重合分析：這種情況又分兩個小情況：（1）分針超前時針180°時鐘上，每一個小格是6°。180°即30格，分針本來落后40格，還要超前30格，若時針不動，都需要70分，更何況時針還在向前運動，所以這種情況

24、不在8點到9點之間。（2）分針落后時針180°180°即30格，那么分針在8點整本來落后40格，這種情況需要它落后30格，所以分針需要追擊時針403010（格），追擊10格一共需要10÷（11/12）120/11分11又10/11分解：分針落后時針分2種情況：（1）分針超前時針180°（180÷6）40÷1-（1/12）=70÷（11/12）840/11>60（不合題意，舍去）（2）分針落后時針180°40（180÷6）÷1-（1/12）=10÷（11/12）120/1111又1

25、0/11分答：8點10又10/11分，分針和時針成一條直線。二十、盒子里放有編號為1至10的十個球,小明先后三次從盒中共取出九個球。如果從第二次開始，每次取出的球的編號之和都是前一次的2倍，那么未取出的球的編號是幾設第1次拿出編號總和為X，第2次就2X，第3次就4X所以x+2x+4x<（1+10）*10/2 x<7.8又因為x+2x+4x>55-11 x>6.2所以X只能是7所以55-7-2*7-4*7=6咯小學好象還沒學不等式，不過應該還可以理解拉.第1次拿出編號的是3，4，所以第一次總和是7第2次拿出的編號是2，5，7，所以第二次總和是14第3次拿出的是1，8，9，

26、10，所以總和是2828是14的2倍，14是7的倍，符合每次取出的球的編號之和都是前一次的2倍所以未取出的是6二十一、小鵬的手表比家里的掛鐘每小時慢30秒鐘，而這個掛鐘比標準時間每小時快30秒鐘，這塊手表一晝夜與標準時間相差多少秒鐘每小時,手表:掛鐘=59.5:60=119:120每小時,掛鐘:標準時間=60.5:60=121:120每小時,手表:掛鐘:標準時間=(119×121):(120×120)手表每小時快:1-(119×121)/(120×120)=1/120×120小時一晝夜=24小時(1/120×120 )×24

27、×60×60=6秒二十二、【數論問題】1難度：在紙上畫5條直線，最多可有_ 個交點。 2.難度：用20厘米長的銅絲彎成邊長是整數的長方形，這樣的長方形不只一種。其中，面積最小的，長_ 厘米，寬_ 厘米；面積最大的長_ 厘米，寬_ 厘米。 1.【解】兩條直線最多1個交點；再畫第3條直線時最多與前兩條直線兩個交點，所以3條直線最多1+2=3 個交點；再畫第4條直線時，最多與前面3條直線有3個交點，所以4條直線最多1+2+3=6個交點；同理5條直線最多1+2+3+4=10個交點。2.【解】長（綠色圃中小學教育網 http:/WWW.Lspjy.cOm 原文地址所以面積最小的長為9

28、厘米,寬為1厘米；面積最大的長為5厘米，寬為5厘米。兩數和一定時，兩數越接近，它們的積越大。 二十三、十進制下，44444444的各位數字之和等于A，A的各位數字之和等于B，B的各位數字之和等于C，求C答：令44444444X1。因為X=Sn*10n + S(n-1)*10(n-1) + S(n-2)*10(n-2) +.S110 + S0 所以X-A=Sn*9n + S(n-1)*9(n-1) + S(n-2)*9(n-2) +.S19 + S0 所以X mod 9與A (B C 也一樣)同余 2。判斷A B C 的長度 由于X的各位數字之和不可能超過首位數相同但其余各位都是9的數（位數也相

29、同）所以可以估計出 A B C的大小 先算 44444444 < 1020000，所以A<20000*9最多是6位數，B<6*9=54，然后知道C<18。再求44444444除以9的余數，為7，C=16不可能(此時B=79,88,97)7的n次方除以9的余數依次為7、4、1循環。到4444次方余7所以C7二十四、在一條紙帶上寫著1至9九個數字，如下圖： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 將它剪成三段，每段上數字聯在一起算一個數（每個數的位數不一定相等），把這三個數相加，使和能被77整除，那么中間一段的數是_。這是1997年小學數學奧林匹克決賽中的一道整除的問題。 這道

30、題的難度，主要涉及數的整除，確定三個數的位數。 現在，我把這道題的完整解答過程書寫在此，請家長帶著孩子一起閱讀和思考。 備注：下面文字分析較多，但思路很簡單，主要是我們找到了這道題存在的很多特點，縮小范圍，討論起來就簡單多了。不信你仔細，耐心的往下看。 1）這個數既然能被77整除，那一定要滿足被7和11整除，而11整除的特征很明確，即，奇數位的數字和與偶數位的數字之和的差要被11整除。7整除的特征不明顯，也不太常用，這里只需要用來驗證答案即可； 2）9個數字，剪成三段，不管怎么排，奇數位的數字個數最少5位，最多6位，而偶數位的數字之和最少3位，最多4位。而且數字9一定在奇數位。這一點你只要在紙

31、上寫一下就能判斷出來； 3）分析第二條的目的是， “基本”可以判定偶數位的數字和要比奇數位的數字和小。這里我說“基本上”，是因為一個自然數必須先出現奇數位，再出現偶數位，而奇數位上的這個數字一定要比它前面的偶數位的數字要大。更何況，偶數位前面還有可能出現奇數位，這一句請仔細體會； 4）利用這個結論，結合11整除的特征，再根據所有數字之和為45，是奇數，就有兩種情況： a）數字之差為11 ，偶數位的數字之和為（45-11）÷2=17,奇數位的數字之和為17+11=18； b）數字之差為33，偶數位的數字之和為（45-33）÷2=6 這是不可能的。原因參考第五條。 5）根據分段

32、出的三個自然數可知，相鄰的2個數字不可能同時出現在偶數位（奇數位），并且至少有三個偶數，所以17只有兩種情況： a）17=8+6+3 分成的三個自然數只能是1+234+56789 驗證和并不能被7整除。 b）17=8+5+3+1 分成的三個自然數只能是1234+56+789 驗證和能被7整除。所以，答案為56. 以下分析方法來自網上其他老師的解答（可對比參考）： 由于77=7×11，（7、11）=1，所以能被77整除的數，必能分別被7和11整除。 先考慮能被11整除。一個數若能被11整除，其奇位數字之和與偶位數字之和的差必能被11整除。對于這一性質，可以得到這樣的推論：如果幾個加數的

33、和能被11整除，那么這幾個加數所有奇位數字之和與偶位數字之和的差必能被11整除。 對于這條紙帶上的九個數字，不管怎樣剪，奇位數字和總大于偶位數字和。由于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，45=39+6=28+17，39-6=11×3，28-17=11，所以奇數、偶數的所有數字和分別是39和6或28和17。（一）當奇位數字之和是39，偶位數字之和是6時，因為6=1+2+3=5+1=4+2，只剪兩刀，使另外的6個或7個數字都在奇位上，這顯然是辦不到的。（二）當奇位數字之和是28，偶位數字之和是17時，因為（1）如果9、8、7、3、1在奇位上，無法使相鄰的三個數字4、5、6都在偶位

34、上。（2）如果9、8、6、3、2在奇位上，無法使相鄰的兩個數字4、5都在偶位上。（3）如果9、8、6、4、1在奇位上，無法使相鄰的兩個（4）如果9、8、5、4、2在奇位上，無法使相鄰的兩個數字6、7都在偶位上。（5）如果9、7、6、5、1在奇位上，無法使相鄰的三個數字2、3、4都在偶位上。（6）如果9、7、6、4、2在奇位上，相鄰的兩個數字6、7都在奇位上，因此必在6、7之間剪一刀，另一刀的剪法有三種：第一種剪法得到的三個數的和：12+3456+789=4257，4257÷7=6081第二種剪法得到的三個數的和：1234+56+789=2079，2079÷7=297，由此可

35、知，剪后中間一段的數是56。第三種剪法得到的三個數的和：123456+7+89=123552，123552÷7=176502。（7）如果9、7、5、4、3在奇位上，無法使相鄰的兩個數字1、2都在偶位上。綜上所述，本題只有一種剪法，中間一段的數是56二十五、十二個六位的連續自然數，首位小于6。這十二個數分別能被1、2、3、。12整除。其中第九個數是13的倍數，問：這個數是多少？設這十二個數字依次是a+1、a+2、a+3、，a+12。因為個數能分別被1、2、312整除，所以數a能同時被1、2、3、12整除。而1、2、3、12的最小公倍數是27720（1*2*3*3*4*5*7*11），所

36、以六位數中，能同時被1、2、3、12整除的最小自然數是27720×4=110880，（27720×3=83160只有五位）現在考慮第九個數被13整除問題。因為110880÷13，余數是12；27720÷13，余數是4。也就是在110889的基礎上，再加上n個27720之后的和，能被13整除的數，就是所求的數。即必須滿足12+4n，是13的倍數。顯然，當n=10時，12+4n是13的倍數。所以，第9個數字是：110889+27720×10=388089。二十六、數論整除（中等難度）(1)含有數字0的三位數共有多少個?(2)各位數字乘積能被10整除

37、的三位數共有多少個?【答案解析】（1）十位上的數字是0的三位數有9×10=90個，各位上的數字是0的三位數也有9×10=90個，十位和個位上的數字都是0的三位數有9個。90+90-9=171，所以含有數字0的三位數共有171個。（2）各位數字乘積能被10整除，說明這個三位數含有數字0或者含有數字2的倍數和5。由(1)可知，含有數字0的三位數共有171個。然后計算含有數字2的倍數和5，但是不含0的三位數的個數。百位數字是5時，這樣的三位數有4×9×2-4×4=56個。同理十位數字和個位數字是5時，這樣的三位數也有56個。而其中有兩個數字都是5時，

38、這樣的三位數有4×3=12個。所以，這樣的三位數一共有56×3-12=156個。171+156=327，所以各位數字乘積能被10整除的三位數共有327個。【小結】此題是綜合考察排列組合問題與容斥原理問題的題目。需要同學有良好的分類討論的習慣。二十七、數論問題】1難度：一個房間中有100盞燈，用自然數1，2，100編號，每盞燈各有一個開關。開始時，所有的燈都不亮。有100個人依次進入房間，第1個人進入房間后，將編號為1的倍數的燈的開關按一下，然后離開；第2個人進入房間后，將編號為2的（綠色圃中小學教育網 http:/WWW.Lspjy.cOm 原文地址 2.難度：，a，b均為

39、自然數。a有種不同的取值。1.【解析】對于任何一盞燈，由于它原來不亮，那么，當它的開關被按奇數次時，燈是開著的；當它的開關被按偶數次時，燈是關著的；根據題意可知，當第100個人離開房間后，一盞燈的開關被按的次數，恰等于這盞燈的編號的因數的個數；要求哪些燈還亮著，就是問哪些燈的編號的因數有奇數個。顯然完全平方數有奇數個因數。所以平方數編號的燈是亮著的。而內的完全平方數有，所（綠色圃中小學教育網 http:/WWW.Lspjy.cOm 原文地址 2.【解析】由題意可知，ab=2011-9=2002。a是2002的因數而且a>9，求a有多少種取值，則求2002的所有因數中大于9的有多少個，2002=2×7×11×13，共有因數2×2×2×2=16個，其中1，2和7不能取，所以共有13種取法。二十七、任給個連續自然數，用它們的乘積除以它們的最小公倍數，得到的商最大可能是多少? 解：首先我們來看看怎么求最小公倍數 A=23×52 B=23×54× 7 C=2×73×11這三個數的最小公倍數是23×54×73×11最小