1、相似三角形模型分析大全、相似三角形判定的基本模型認識（二）8字型、反8字型（蝴蝶型）=AD，BD= AB 9 ADBC2 ="跖圖1母子型相似三角形例1 :如圖，梯形 ABCD中，AD / BC,對角線 AC、BD交于點O, BE/ CD交CA延長線于 E.2求證：OC2 OA OE -2FD FB FC .例2:已知：如圖， ABC中，點E在中線AD上， DEB ABC.求證：DB2 DE DA ；相關練習:1、如圖，已知 AD 為 ABC的角平分線，EF為AD的垂直平分線.求證:如囹。已卻AD為A ABC的角平會線EF為AD的垂直平分線一求證FOF日FC.解析 AF.再由ZkAC

2、F-LBAF,對應邊成比例即可求證悅考網證明連接AF.2、已知：AD是Rt ABC中Z A的平分線，/ 0=90° , EF是AD的垂直平分線交 AD于M 交于一點NN連AF.則DF二EF、BC的延長線求證：(1) AMEA NMD; (2)ND2 =NC NB深明，1、YEF垂直裕AD .ZMMA=ZNMD=90'.ZDNM 十 ZADC=90/ZACB=90/.ZCAD+ZADC=90.ZDNM=ZCAD.AMEsZkNMD CAA)LEF垂直平分AD/.NA=ND/.Znad-ndaLAD 平 ZBAC.ZBAD=ZCADZNAD= ZNAC4ZCAD, ZNDA=ZB

3、+ZBAD三角形A日明卜角.ZNAC=ZB；ZANC=ZBNA (公共角/.AANCABNA (AA).'.NA/NGNB/NA/.NANCkNB.-.D-NCxbJB3在 ABC中，AB=AC高A由B咬于H, EF BC ,垂足為F,延長A倒G,使DG=EF 觀AH勺中點。求證： GBM 90圈2分析：依題意知口偵仁BE1AC f因而有諸務的直角三角形，故應充分考慮母子相似形的應用欲證ZGBM =如.因 £D±GM只要證日= GD DM而BADE, GD=EF敵只要證。玲=EF* DM若將EF平移至晌并連ME,這時只要證甜敬闡iD戲是母子相似形，即只饕證口敬=9孔

4、也就是要證£】二4,而在直角三角形險矛皿中，D、峪別為斜邊職0的中點，所以容易得/1 = Z：3S 22 = 24，又易證匕3=匕4,至此，思路理順，命題可證(四)一線三等角型:(五)一線三直角型:一線三等角型相似三角形例1:如圖，等邊 ABC中，邊長為 6, D是BC上動點，Z EDF =60(1) 求證： BDEA CFDD(2) 當 BD=1, FC=3 時，求 BE例 2：已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, ADv BC,且 AD= 5, AB= DC= 2.(1)如圖8, P為AD上的一點，滿足/ BPC=Z A. 求證； ABPs DPC 求AP的長.(2)如果點

5、P在AD邊上移動(點 P與點A、D不重合)，且滿足/ BPE=Z A, PE交直線BC于 點E,同時交直線 DC于點Q,那么當點Q在線段DC的延長線上時，設 AP= x, CQ = y,求y關于x 的函數解析式，并寫出函數的定義域；解析；(1KEH1F 明：根據題有，容易知道此梯形是等舊震格形PC-A又 L 匕BPC4 APB + DPC-180° ,/. A9CAPB + DPC又=Z. AFiP+PnC/.ZA3P=DPCX -'A=U/. ABARCAPDCInin-斧CL< 餐番oadv$dvtoVYW 椒裕如波貿nh<i成基堪與NLLIdsN£

6、后降dIIz) 2/(dqlnlld<& QoQdnd<a<. ood<lsd<CD<l-0S(w)wx£0g)+x號T唐 a7xg+¥liv 竺 ¥xgTQ90?A-:w<CNAg/xx-g)-: Ns.&noa gx立我& QQO牛 d<£<.相關練習:1、如圖，已知在 ABC中， AB=AC=6, BC=5 , D是AB上一點，BD=2, E是BC上一動點，聯結 DE ,并作 DEF B，射線EF交線段AC于F.(1)求證： DBEs ECF ;(2)當F是線段AC中點時

7、，求線段 BE的長；(3)聯結 DF,如果 DEF與 DBE相似，求 FC的長.先證明ABDEACEF /ZB+ZDEB+ZBDE=1&a& ZDEB+Z DE B+Z FEC=16CD 又 VZDEF=/B .'.ZBDE=ZFEC'AB=AC AZB-ZC二BDSSCEF若DFEsZWEB,前面已經證得/.Z BDE=ZEDF,ZDFE=Z CFE 二點E是DE.EFR角平分線交點 連接AE,則AEZBAC的平分線 又，AB=ACAE又是底邊明中點-&E=CE=5/2ADEBAEFC；.6D：EC=BE：CF即土 (5/2)二(5/2) : FC二

8、FC 二祠 82、已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD V BC,且 BC =6, AB=DC=4,點 E 是 AB 的中點.(1) 如圖，P為BC上的一點，且 BP=2 .求證： BEPs CPD;(2) 如果點P在BC邊上移動(點 P與點B、C不重合)，且滿足/ EPF = / C, PF交直線CD于點F, 同時交直線 AD于點M,那么當點F在線段CD的延長線上時，設 BP=x , DF= y，求y關于x的 函數解析式，并寫出函數的定義域；(第25題圖)(備用圖)解答：根據題意梯形ABC盼等腰梯形通過角度計亶可拓ZPBE = ZPCDZEP6 = ZPFC所以三角形EPB和三角

9、形PFC相似(兩角對應相等，兩三角形相兩三角形的邊有如下關系BP7FC二 EBfFC即 x/(4+y)=2/6-X)整理可得舟C-1 /2)Xz2+3X-4根據題ft 0<X<6又要保 ffiy>0 也即=(-1/2)XA2+3x-4>0 可得 2<X<4綜上所述V關于K的函數關系式為自孌量X的職值范圍為2*4一線三直角型相似三角形例1、已知矩形 ABCD中，CD=2 , AD=3，點P是AD上的一個動點， 且和點 A,D不重合，過點 P作PE CP，交邊 AB于點E,設PD x,AE y ,求y關于x的函數關系式解:根據題意有三角形APE相似于三角形PDC

10、,則有PDJAE二CDJAP,即x/y二趴所以y關于橢解 析式為件-伉M的平方+3G【練習1】 在直角 ABC中，C 90°, AB 5, tan B -，點D是BC的中點，點E是AB邊上的動點，DF DE4ACD交射線AC于點F(1) 、求AC和BC的長(2) 、當EF/BC時，求BE的長。(3) 、連結EF,當 DEF和 ABC相似時，求BE的長。解：1) 'ZC=90% 則tanB=AC/BC=3M;又AB=A 設AC=3X .ACA2+BC2=A0A2,即 25+2=25,X=1ijAO3EC=42 尚 EFlIBCfl 寸廁 AAFEs2kAC B 一故 AF：FE

11、：EA=AC：C 巳 BQ= 3 ：4S i§FE=4mJSZCDF= ZCFE； ZC=ZFDE=90c可知：AFC>»AEDF, 貝ijDF/EF=CD/DF, DFA2=CD*EF=2EF=8lD.'DFA2-CDA2=C FA2,g18m-2A2=(3-3mr2/-m=(13-213y9(nn=13+由 13)/環言題羸 舍去)flijBE=A0-A E=5-5 m=55(1 »2、13y9= (1QW 3-2 09.3尚點E4C3的中垂線上即ED1CB、F與譴合時, AEDCAEDDco AACBo !?JBE/BA=BD/BC, BE/2

12、/4,則BE=2.5。向左轉 C向右轉一線三等角的變形一線三直角的變形（六）雙垂型:雙垂型1、如圖，在 ABC中，/ A=60° , BD CE分別是AG AB上的高求證：(1) ABtA ACE (2) ADEA ABC<1) -ZA=ZA* ZADB-ZAECW4*,AABDAACE,"/ABDAACE,/. AD/AB= AE/AC,ZA=ZA,Z.AADEcoAABC.2、如圖，已知銳角 ABC , AD、CE分別是BC、AB邊上的高， ABC和 BDE的面積分別是 27和3, DE=6 /2 ,求：點B到直線AC的距離。ABDC、相似三角形判定的變化模型旋轉型：由A字型旋轉得到廠： 8字型拓展共享性1、 ABC是等邊三角形,D、B C E在一條直線上，Z DAE=l20共享型相似三角形,已知BD=1, CE=3，求等邊三角形的邊長.BCE2、已知：如圖，在 Rt ABC 中，AB=AC, Z DAE =45°.求證：(1) ABEs X ACD