1、1高階導(dǎo)數(shù)的定義高階導(dǎo)數(shù)的定義萊布尼茨萊布尼茨(Leibniz)公式公式小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)第三節(jié)第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分幾個(gè)基本初等函數(shù)的幾個(gè)基本初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) 2問題問題: :變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度.),(tss 設(shè)設(shè))()(tstv 則瞬時(shí)速度為則瞬時(shí)速度為是是加加速速度度a )(ta定義定義)()(xfxf 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)xxfxxfxfx )()(lim)(0高階導(dǎo)數(shù)也是由實(shí)高階導(dǎo)數(shù)也是由實(shí)際需要而引入的際需要而引入的.這就是二階導(dǎo)數(shù)的物理意義這就是二階導(dǎo)數(shù)的物理意義)(tv )(ts 的變化率的

2、變化率對時(shí)間對時(shí)間速度速度tv一、高階導(dǎo)數(shù)的定義一、高階導(dǎo)數(shù)的定義高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)處的處的在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱xxfxf)() )( 存在存在,二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù). .)( 即即處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn),x記作記作),(xf 22ddxy.d)(d22xxf或或,y 3階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的的函數(shù)函數(shù)1)( nxf.d)(ddd,),()()(nnnnnnxxfxyyxf或或三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為;)(,稱為零階導(dǎo)數(shù)稱為零階導(dǎo)數(shù)相應(yīng)地相應(yīng)地xf.dd,),(33xyyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為.dd

3、,),(44)4()4(xyyxf高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù).)(稱稱為為一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xf 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的的函數(shù)函數(shù))(xf三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù), ,四階導(dǎo)數(shù)四階導(dǎo)數(shù), , n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), , 記作記作一般地一般地,4例例解解211xy )11(2 xy22)1(2xx 22)1(2xxy322)1()13(2xx ; 0 . 2 由高階導(dǎo)數(shù)的定義由高階導(dǎo)數(shù)的定義,欲求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)欲求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù),只需按求導(dǎo)法則和基本公式一階階的算下去只需按求導(dǎo)法則和基本公式一階階的算下去,而不需要新的方法而不需要新的方法.高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù).,arctan00 xxyyxy求求設(shè)設(shè)0220)1(2 xxxxy

4、03220)1()13(2 xxxxy5例例.),()(nyRxy求求設(shè)設(shè) 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn ,n為為自自然然數(shù)數(shù)若若 )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)二、幾個(gè)基本初等函數(shù)的二、幾個(gè)基本初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) 則則6高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)例例.,)(nxyey求求設(shè)設(shè) 解解,xey ,xey ,xey .)()(xnxee 例例.),1( )1ln()(nyxxy求求設(shè)設(shè) 解解xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1

5、()1()!1()1(1)( nxnynnn7例例.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得即即)2sin()(sin)( nxxn高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)8求求n階導(dǎo)數(shù)時(shí)階導(dǎo)數(shù)時(shí), 關(guān)鍵要尋找規(guī)律關(guān)鍵要尋找規(guī)律, 注注另外在另外在的規(guī)律性的規(guī)律性,寫出寫出n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)便可看出規(guī)律便可看出規(guī)律;一般求至三階一般求至三階,求導(dǎo)過程中不要急于合并求導(dǎo)過程中不要急于合并, 分析結(jié)果分析結(jié)果9例例.

6、,231)(2nyxxy求求 解解2312 xxy 331)2)(1(2)2)(1( xxy22221111( 1)( 1)(2)(1)(2)(1)yxxxx 3232)1(21)1()2(21)1( xx11)()1(!)1()2(!)1( nnnnnxnxny 11)1(1)2(1!)1(nnnxxn1121 xx高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)10 求求n階導(dǎo)數(shù)需要運(yùn)用技巧階導(dǎo)數(shù)需要運(yùn)用技巧幾個(gè)常用高階導(dǎo)數(shù)公式幾個(gè)常用高階導(dǎo)數(shù)公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkx

7、kkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(1)(!)1(1 nnnxnx函數(shù)的函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式階導(dǎo)數(shù)公式,使問題簡化使問題簡化.盡可能化為求某些熟知盡可能化為求某些熟知高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) (通過四則運(yùn)算通過四則運(yùn)算, 變量代換變量代換,恒等變形恒等變形)11例例.,cossin)(44nyxxy求求 解解若直接求導(dǎo)若直接求導(dǎo),將是很復(fù)雜的將是很復(fù)雜的,且不易找出規(guī)律且不易找出規(guī)律,所以將式子恒等變形所以將式子恒等變形.xxy44cossin x2sin2112 xxxx22222cossin2)cos(sin 24cos1211xx4cos4143 24cos44

8、1)( nxynn)2cos()(cos)( nxxn高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)12高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)例例.,)43()32)(2()6(32yxxxy求求設(shè)設(shè) 解解 分析分析此函數(shù)是此函數(shù)是6次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式, 故不需將函數(shù)因式全乘出來故不需將函數(shù)因式全乘出來.因?yàn)橐驗(yàn)?()3()2(532xpxxxy )(10856xpx )(5xp其中其中為為x的的5次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式, 故故!.6108)6( y又是求又是求6階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù),13)()()()()1(nnnvuvu )()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()2(nkknnnnnuvvukknnnvunnvnuvuvu 萊布尼茲公

9、式萊布尼茲公式用此公式可以簡便地求用此公式可以簡便地求出出乘積乘積的高階導(dǎo)數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可類比著牛頓二項(xiàng)公式可類比著牛頓二項(xiàng)公式加強(qiáng)記憶加強(qiáng)記憶高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù))()(0kknnkknvuC ,階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有具有和和設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)nvu則則萊布尼茲萊布尼茲(Leibniz,16461727)德國數(shù)學(xué)家德國數(shù)學(xué)家.二、二、萊布尼茲公式萊布尼茲公式14例例.,sin)100(2yxxy求求設(shè)設(shè) 解解)()(sin100)(sin2)99(2)100()100( xxxxy 299sin2002100sin2 xxxx)()(sin! 2991002)98( xxxxxxxsin9900cos200s

10、in2 298sin99100 x)()(0)()(kknnkknnvuCvu 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)則由萊布尼茲公式知?jiǎng)t由萊布尼茲公式知設(shè)設(shè)2sin ,ux vx15.11111ln32階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的的、求下列函數(shù)求下列函數(shù)nxxyxyxxy 提示提示1lnln(1)ln(1)1xyxxx 211xy xx111121xxy 13xxx 1112經(jīng)上面這樣變形后再求經(jīng)上面這樣變形后再求n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù),就方便多了就方便多了.高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù))1)(1(1xx 16高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義;萊布尼茲公式萊布尼茲公式.高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)三、小結(jié)三、小結(jié)幾個(gè)常用的基本初等函數(shù)的幾個(gè)常用的基本初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式階導(dǎo)數(shù)公式( (希熟記希熟記) ); 17解答解答)(xg可導(dǎo)可導(dǎo))()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在,)(af 求求)(af axafxfax )()(lim0 axxfax )(lim)()