1、第四章 三角函數、解三角形 4.7 解三角形的綜合應用教師用書 理 蘇教版1.仰角和俯角與目標線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方叫仰角，目標視線在水平視線下方叫俯角(如圖).2.方向角相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等.3.方位角指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為(如圖).【知識拓展】1.三角形的面積公式S (p)，Srp(R為三角形外接圓半徑，r為三角形內切圓半徑，p).2.坡度(又稱坡比)：坡面的垂直高度與水平長度之比.【思考辨析】判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1

2、)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關系為180°.(×)(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為0，.(×)(3)方位角與方向角其實質是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關系.()(4)方位角大小的范圍是0，2)，方向角大小的范圍一般是0，).()1.(教材改編)如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為_ m.答案50解析由正弦定理得，又B30°，AB50(m).2.輪船A和輪船B在中午1

3、2時同時離開海港C，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25 n mile/h，15 n mile/h，則下午2時兩船之間的距離是_n mile.答案70解析設兩船之間的距離為d，則d25023022×50×30×cos 120°4 900，d70，即兩船相距70 n mile.3.(教材改編)海面上有A，B，C三個燈塔，AB10 n mile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC_ n mile.答案5解析如圖，在ABC中，AB10，A60°，B75°，BC5.4.如

4、圖所示，D，C，B三點在地面的同一直線上，DCa，從C，D兩點測得A點的仰角分別為60°，30°，則A點離地面的高度AB_.答案a解析由已知得DAC30°，ADC為等腰三角形，ADa，又在RtADB中，ABADa.5.在一次抗洪搶險中，某救生艇發動機突然發生故障停止轉動，失去動力的救生艇在洪水中漂行，此時，風向是北偏東30°，風速是20 km/h；水的流向是正東，流速是20 km/h，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向為北偏東_，速度的大小為_ km/h.答案60°20解析如圖，AOB60°，由余弦定理知OC220220280

5、0cos 120°1 200，故OC20，COY30°30°60°. 題型一求距離、高度問題例1(1)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高AD是60 m，則河流的寬度BC_ m.(2)如圖，A，B是海平面上的兩個點，相距800 m，在A點測得山頂C的仰角為45°，BAD120°，又在B點測得ABD45°，其中D是點C到水平面的射影，則山高CD_ m.答案(1)120(1)(2)800(1)解析(1)如圖，在ACD中，CAD90°30°60

6、°，AD60 m，所以CDAD·tan 60°60(m).在ABD中，BAD90°75°15°，所以BDAD·tan 15°60(2)(m).所以BCCDBD6060(2)120(1) (m).(2)在ABD中，BDA180°45°120°15°.由，得AD800(1)(m).CD平面ABD，CAD45°，CDAD800(1) m.思維升華求距離、高度問題應注意(1)理解俯角、仰角的概念，它們都是視線與水平線的夾角；理解方向角的概念.(2)選定或確定要創建的三角形，

7、要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.(3)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理.(1)一船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東60°，行駛4 h后，船到達C處，看到這個燈塔在北偏東15°，這時船與燈塔的距離為_ km.(2)如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點分別測得樹尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點間的距離為60 m，則樹的高度為_m.答案(1)30(2)3030解析(1)如圖，由題意，BAC30

8、6;，ACB105°，B45°，AC60 km，由正弦定理，BC30 km.(2)在PAB中，PAB30°，APB15°，AB60，sin 15°sin(45°30°)sin 45°cos 30°cos 45°sin 30°××，由正弦定理得，PB30()，樹的高度為PB·sin 45°30()×(3030)(m).題型二求角度問題例2甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9海里的B處，并以20海里每小時的速度沿南偏

9、西15°方向行駛，若甲船沿南偏東的方向，并以28海里每小時的速度行駛，恰能在C處追上乙船.問用多少小時追上乙船，并求sin 的值.(結果保留根號，無需求近似值)解設用t小時，甲船追上乙船，且在C處相遇，那么在ABC中，AC28t，BC20t，AB9，ABC180°15°45°120°，由余弦定理，得(28t)281(20t)22×9×20t×()，128t260t270，解得t或t(舍去)，所以AC21(海里)，BC15(海里)，根據正弦定理，得sinBAC，cosBAC .又ABC120°，BAC為銳角

10、，所以45°BAC，sin sin(45°BAC)sin 45°cosBACcos 45°sinBAC.思維升華解決測量角度問題的注意事項(1)首先應明確方位角或方向角的含義；(2)分析題意，分清已知與所求，再根據題意畫出正確的示意圖，這是最關鍵、最重要的一步；(3)將實際問題轉化為可用數學方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯袂”使用.(1)(2016·蘇州模擬)如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現乙船

11、朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，則cos 的值為_.答案解析在ABC中，AB40，AC20，BAC120°，由余弦定理得BC2AB2AC22AB·AC·cos 120°2 800BC20.由正弦定理，得sinACB·sinBAC.由BAC120°，知ACB為銳角，則cosACB.由ACB30°，得cos cos(ACB30°)cosACBcos 30°sinACBsin 30°.題型三三角形與三角函數的綜合問題例3(2016·揚州調研)在斜三角形ABC中，tan Atan Bta

12、n Atan B1.(1)求C的值；(2)若A15°，AB，求ABC的周長.解(1)方法一因為tan Atan Btan Atan B1，即tan Atan B1tan Atan B，因為在斜三角形ABC中，1tan Atan B0，所以tan(AB)1，即tan(180°C)1，即tan C1，因為0°<C<180°，所以C135°.方法二由tan Atan Btan Atan B1，得1，化簡得sin Acos Bsin Bcos Asin Asin Bcos Acos B，即sin(AB)cos(AB)，所以sin Ccos

13、C，因為斜三角形ABC，所以C135°.(2)在ABC中，A15°，C135°，則B180°AC30°.由正弦定理得2，故BC2sin 15°2sin(45°30°)2(sin 45°cos 30°cos 45°sin 30°)，CA2sin 30°1.所以ABC的周長為ABBCCA1.思維升華三角形與三角函數的綜合問題，要借助三角函數性質的整體代換思想，數形結合思想，還要結合三角形中角的范圍，充分利用正弦定理、余弦定理解題.(2016·南京學情調研)在A

14、BC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acos Bbcos A.(1)求的值；(2)若sin A，求sin(C)的值.解(1)方法一由acos Bbcos A，結合正弦定理得sin Acos Bsin Bcos A，即sin(AB)0.因為A，B(0，)，所以AB(，)，所以AB0，即AB，所以ab，即1.方法二由acos Bbcos A，結合余弦定理得a·b·，即2a22b2，即1.(2) 因為sin A，由(1)知AB，因此A為銳角，所以cos A.所以sin Csin(2A)sin 2A2sin Acos A，cos Ccos(2A)cos 2A12sin2

15、A.所以sin(C)sin Ccos cos Csin ××.10.函數思想在解三角形中的應用典例(14分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇.(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？(2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理

16、由.思想方法指導已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可以設出第三邊，利用余弦定理列方程求解；對于三角形中的最值問題，可建立函數模型，轉化為函數最值問題解決.規范解答解(1)設相遇時小艇航行的距離為S海里，1分則S .3分故當t時，Smin10，v30.6分即小艇以30海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小.7分(2)設小艇與輪船在B處相遇. 則v2t2400900t22·20·30t·cos(90°30°)，故v2900.10分0<v30，900900，即0，解得t.又t時，v30，故v30時，t取得最小值，且最小值等于.此時，在

17、OAB中，有OAOBAB20.13分故可設計航行方案如下：航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/小時.14分1.(2017·蘇北四市聯考)一艘海輪從A處出發，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是_海里.答案10解析如圖所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30°，ACB45°，根據正弦定理得，解得BC10(海里).2.在高出海平面200 m的小島頂上A處，測

18、得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45°與30°，此時兩船間的距離為_ m.答案200(1)解析過點A作AHBC于點H，由圖易知BAH45°，CAH60°，AH200 m，則BHAH200 m，CHAH·tan 60°200 (m).故兩船距離BCBHCH200(1) (m).3.江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距_m.答案10解析如圖，OMAOtan 45°30 (m)

19、，ONAOtan 30°30×10 (m)，在MON中，由余弦定理得，MN 10 (m).4.(2016·南京模擬)如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m，50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為_.答案45°解析依題意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0°<CAD<180°，所以CAD45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.5.如圖所示，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平

20、面內的兩個測點C與D，測得BCD15°，BDC30°，CD30，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB_.答案15解析在BCD中，CBD180°15°30°135°.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB15×15.6.某校運動會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15°的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個水平面上.若國歌長度約為5

21、0秒，升旗手應以_(米/秒)的速度勻速升旗.答案0.6解析在BCD中，BDC45°，CBD30°，CD10(米).由正弦定理，得BC20(米).在RtABC中，ABBCsin 60°20×30(米).所以升旗速度v0.6(米/秒).7.如圖，CD是京九鐵路線上的一條穿山隧道，開鑿前，在CD所在水平面上的山體外取點A，B，并測得四邊形ABCD中，ABC，BAD，ABBC400米，AD250米，則應開鑿的隧道CD的長為_米.答案350解析在ABC中，ABBC400米，ABC，ACAB400米，BAC.CADBADBAC.在CAD中，由余弦定理，得CD2AC2

22、AD22AC·AD·cosCAD400225022·400·250·cos122 500.CD350米.8.如圖，一艘船上午930在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續沿正北方向勻速航行，上午1000到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距8 n mile.此船的航速是_ n mile/h. 答案32解析設航速為v n mile/h，在ABS中，ABv，BS8，BSA45°，由正弦定理得，v32.9.如圖，某住宅小區的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區的一個出入口

23、，且小區里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為_米. 答案50解析如圖，連結OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60°.由余弦定理得OC2100215022×100×150×cos 60°17 500，解得OC50.*10.在RtABC中，C90°，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足abcx，則實數x的取值范圍是_.答案(1，解析xsin Acos Asin.又A，sin sinsin ，即x(1，.11.要測量

24、電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的BCD120°，CD40 m，求電視塔的高度.解如圖，設電視塔AB高為x m，則在RtABC中，由ACB45°，得BCx.在RtADB中，ADB30°，則BDx.在BDC中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BC·CD·cos 120°，即(x)2x24022·x·40·cos 120°，解得x40，所以電視塔高為40 m.12.(2015·天津)在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知ABC的面積為3，bc2，cos A.(1)求a和sin C的值；(2)求cos的值.解(1)在ABC中，由cos A，可得sin A.由SABCbcsin A3，得bc24，又由bc2，解得b6，c4.由a2b2c22bccos A，可得a8.由，得sin C.(2)coscos 2A·cos sin 2A·sin(2cos2A1)×2sin A·cos A.*13.在海岸A處發現北偏東45°方向，距A處(1)海里