1、誤差理論與數據處理（第六版）習題及參考答案誤差理論與數據膜費業泰主編2012-07i第一章緒論1 -5測得某三角塊的三個角度之和為180°00' 02” ,試求測量的絕對誤差和相對誤差解：絕對誤差等于：180°00 02 -180° = 2相對誤差等于：2 *2 *2 打-=0.00000308641 ： 0.000031 %180180606064800 01-8在測量某一長度時，讀數值為2.31m，其最大絕對誤差為20 "m，試求其最大相對誤差。相對誤差max二絕對誤差咧100%測得值-6100%20 102.31-4=8.66 10 %1-

2、10檢定2.5級（即引用誤差為 2.5%）的全量程為100V的電壓表，發現50V刻度點的示值誤差 2V為最大誤差，問該電壓表是否合格？最大引用誤差某量程最大示值誤差測量范圍上限100%2100%=2% : 2.5%100該電壓表合格1- 12 用兩種方法分別測量L仁50mm L2=80mm 測得值各為50.004mm,80.006mmo試評定兩種方法測量精度的高低。相對誤差Li:50mm50 .0041-50100%二 0.008%1150L2：80mm80 .0061-80100%二 0.0075%I 280I, I2 所以L2=80mm方法測量精度高。1 13多級彈導火箭的射程為 1000

3、0km時，其射擊偏離預定點不超過0.1km ,優秀射手能在距離 50m遠處準確地射中直徑為 2cm的靶心，試評述哪一個射擊精度高?解：多級火箭的相對誤差為:0.10.00001 =0.001 %10000射手的相對誤差為：1 cm0.01 m0.0002 = 0.002 %50 m50 m多級火箭的射擊精度高。1- 14若用兩種測量方法測量某零件的長度L1=110mm其測量誤差分別為_11心和一9此；而用第三種測量方法測量另一零件的長度L2=150mm其測量誤差為-12心，試比較三種測量方法精度的高低。相對誤差11 .Lm1 1二 0.01%110 mm9 .Im-t-二 0.0 0 8 2

4、%2110 mm1 2m丄=0.0 0 8%31 5 0mmI3 ：丨2 ：li第三種方法的測量精度最高4第二章誤差的基本性質與處理2-6測量某電路電流共 5次，測得數據（單位為 mA為168.41 , 168.54 , 168.59，168.40，168.50。試求算術平均值及其標準差、 或然誤差和平均誤 差。-168.41-168.54- 168.59- 168.40168.50x =5= 168.488( mA)52 Jii 士二 0.082 (mA )cy-xa 0.082= 0.037( mA)或然誤差:R = 0.6745 ；- = 0.67450.037x= 0.025( mA)

5、平均誤差:T = 0.79790.79790.037x=0.030( mA)2-7在立式測長儀上測量某校對量具，重量測量5次，測得數據（單位為mm為 20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若測量值服從正態分 布，試以 99%的置信概率確定測量結果。-20.0015+20.0016+20.0018+20.0015+20.0011x =5= 20.0015( mm )= 0.000255 -1正態分布 p=99%時，t = 2.58t :lim xx0.00025= 2.58=0.0003( mm)測量結果：X = x + Qm &= (20.00

6、15 ±0.0003) mm2-9用某儀器測量工件尺寸，在排除系統誤差的條件下，其標準差廠_ 0.004 mm，若要求測量結果的置信限為_ 0.005 mm，當置信概率為99%寸，試求必要的測量次數。正態分布 p=99%時，t =2.586#2.580.0042.064aIn<0.00150.005n =4.26取 n =52 9用某儀器測量工件尺寸，已知該儀器的標準差0.001mm若要求測量的允許極限誤差為土 0.0015mm,而置信概率 P為0.95時，應測量多少次？ 解：根據極限誤差的意義，有根據題目給定得已知條件，有t0.00151 .5，n 0.001查教材附錄表3有

7、若n= 5,v = 4, a = 0.05 ,有 t = 2.78 ,t2.782.78A O A- n-一 1.24.52.236若n= 4,v = 3 , a = 0.05 ,有 t = 3.18 ,t3.183.181.59、n.42即要達題意要求，必須至少測量 5次。2-12某時某地由氣壓表得到的讀數 (單位為Pa)為102523.85 , 102391.30 , 102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36， 其權各為1，3，5，7，8，6，4，2，試求加權算術平均值及其標準差。8_ 瓦 Pi Xix 二=10

8、2028 .34 (Pa)Z Pii 土8送 PiVx x =8泌6.95 (Pa)"(8-1)送 PiIi 土2-13測量某角度共兩次，測得值為:'1 = 24 1 3 36 ， ? 2 = 24 13'24 ''，其標準差分別為 G二3.1“,；、"3.8 "，試求加權算術平均值及其標準差。1 1P! : p22: 產=190449611 - 21904416'' 9614''X =24 13'20 ''24 13'3519044961= 3.1''

9、1904419044961:3.0''2- 14 甲、乙兩測量者用正弦尺對一錐體的錐角各重復測量5次，測得值如下：:甲：7 2 20 ,7 3 0 ",7 2 35 ,7 2 2 0 ,7 2 15 ':乙：7 2 25 ,7 2 25 ,7 2 20 ,7 2 5 0 ,7 2 4 5試求其測量結果。20 " 60 " 35 " 20 " 15 "-甲：乂甲=:7 2 '7 2'30 "(-10" ) 20.014 m / s。另外30次測量具有平均值為9.802 m/s

10、，標準差為 ( 30" )2 +5" 2 ( -10" )2 ( -15")y4= 18.4 "89= 13.5 "匚乙_ 13.5 " 5.： 5= 6.04 "12CF-x乙8.23 2136486.04 2:6773乙：-©25"+25 " + 20 " + 50 " + 45 "©x乙=7 2'7 2 '33 "51(-8" )2 +( -8" )2 +( -13" )2 +( 17

11、" )2 +( 12")-p甲 x甲 + p 乙 x乙 3648 x 30 "+6773 況 33"。x7 2 ' = 7 2 '32 "p甲p 乙3648 6773P 甲“3648二：=；x 甲8.234.87(p 甲p 乙；3648 - 6773X =x _37 2'32''_15''x22- 16重力加速度的20次測量具有平均值為9.811m/s、標準差為20 .022 m/s o假設這兩組測量屬于同一正態總體。試求此50次測量的平均值和標準差。Pl : P22Xi2X210.014

12、 2.201兀=242 :1470.022.3010#24 29.811- 1479.8022a： 9.808 (m/s )242 - 1470.0142422 x0.0025 ( m/s )J 20 Y242 +1472- 19對某量進行10次測量，測得數據為14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，試判斷該測量列中是否存在系統誤差。X =14 .96按貝塞爾公式；= 0.263310送Vi按別捷爾斯法 二2 =1 .253-0.2642(10(101)#得 u =二-1 =0.0034=0.67所以測量列中無系差存在。#2-18對一

13、線圈電感測量10次，前4次是和一個標準線圈比較得到的，后6次是和另一個標準線圈比較得到的，測得結果如下（單位為mH：50.82，50.83，50.87，50.89 ；50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。試判斷前4次與后6次測量中是否存在系統誤差。使用秩和檢驗法: 排序:11序號12345第一組第二組50.7550.7850.7850.8150.82序號678910第一組50.8250.8350.8750.89第二組50.85T=5.5+7+9+10=31.5 查表 T _ = 14 T . = 30T T .所以兩組間存在系差2 - 21對某量進行兩組測量，

14、測得數據如下:Xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.301.341.391.411.57yi0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.591.601.601.841.95試用秩和檢驗法判斷兩組測量值之間是否有系統誤差。解：按照秩和檢驗法要求，將兩組數據混合排列成下表：T12345678910Xi0.620.861.131.131.161.181.20yi0.991.121.21T11121314151617181920Xi1.211.221.301.341.391.41yi1.251.311.311.38T212223

15、2425262728Xi1.57yi1.411.481.591.601.601.841.95現nx = 14, ny = 14,取x的數據計算T,得T= 154。由山")=203 ;m n2 (門丄 n21)-) = 474 求出:12T - a0.1現取概率2 '(t) =0.95，即、(t) = 0.475，查教材附表1有t 一= 1.96。由于ta，因此，可以認為兩組數據間沒有系統誤差。14第三章誤差的合成與分配3- 1相對測量時需用54.255mm的量塊組做標準件，量塊組由四塊量塊研合而成，它們的基本尺寸為h =40mm，l2 "2mm，3 ".2

16、5mm，l4 =1-005mm o經測量，它們的尺寸偏差及其測量極限誤差分別為也，= 0.7 Am 也l2 =P.54m 兇 3 =-0.3#m555.冷 4=0.1m,、伽 b h'0.35m,、伽丨2 二0.25m,iim I3=020m,Mm I4二一0.20 Jm。試求量塊組按基本尺寸使用時的修正值及給相對測量帶來的測量誤差。修正值=_(.« .譏*胡3 * .譏)=( -0.7 - 0.50.3 - 0.1)=0.4 (m)測量誤差：i：'l =二 、. lim I J lim l2 lim l3_ J lim l4=二；(0.35)2 - (0.25) 2

17、 - (0.20) 2 - (0.20 )2=_ 0.51( Jm)3- 2 為求長方體體積V ,直接測量其各邊長為a =161 .6mmb =44.5 mm , C 11 .2mm ,已知測量的系統誤差為 局=2mm厶b 二-0.8mm , .-：c =0.5mm，測量的極限誤差為 二-0.8mm-0.5mm，-:c = -0.5mm ,試求立方體的體積及其體積的極限誤差。16V = abcV 二 f (a,b,c)17#V0 =abc =161 .644.511 .23= 80541 .44 (mm )體積V系統誤差.：V為:.:V = be . ：a ac . ：b ab . ：c33二

18、 2745 .744 (mm ) : 2745 .74 (mm )立方體體積實際大小為：V二V0 AV = 77795 .70 (mm3)/ Cf2 2 舀2 22 2"im V 二()、；a()- () ：cV cacbcc=.(beI?J - (ac/ (abr、./二 3729 .11 (mm 3)測量體積最后結果表示為V 二 V。一 :V、limV= (77795 .70 士 3729 .11 ) mm3- 4測量某電路的電流I =22 .5mA，電壓U =12.6V，測量的標準差分 別為G "花說，二u "1V，求所耗功率P勿及其標準差二p。P =UI

19、=12.622.5 = 283.5(mw)P = f (U , I ) ； U、I 成線性關系 ;?ui 二 1:f 22；：f 22；：f汗二p f () -u ()G 2()()G;:Uj:U;:I；:f；:fU =l；u u=22.50.1 - 12 .60.5;:U;i=8.55 (mw )312 按公式V=n r2h求圓柱體體積，若已知r約為2cm, h約為20cm,要使體積的相對誤差等于1%,試問r和h測量時誤差應為多少？解：若不考慮測量誤差，圓柱體積為223V - ： r h =3.14220 =251 .2cm根據題意，體積測量的相對誤差為1%,即測定體積的相對誤差為：G1%V

20、即丁 一V 1% =251 .21% =2.51現按等作用原則分配誤差，可以求出測定r的誤差應為：cr 12.5110.007 cm、.2 :V / :r 1.41 2 二hr測定h的誤差應為:cr 12.511-h丁 = 0.142 cmV2引/衍 1.41兀了3-14對某一質量進行 4次重復測量，測得數據（單位g）為428.6 , 429.2 ,426.5 , 430.8。已知測量的已定系統誤差人=-2.6g,測量的各極限誤差分量及其相應的傳遞系數如下表所示。若各誤差均服從正態分布，試求該質量的最可信賴值及其極限誤差。序號極限誤差/g誤差傳遞系數隨機誤差未定系統誤差12.1一12一1.51

21、3一1.014一0.5154.5一16一2.21.471.0一2.28一1.81_428 .6 +429 .2 +426 .5 +430 .8x =4= 428 .775 (g) :- 428 .8(g )最可信賴值x = X -厶-428 .8 2.6 =431 .4(g)E22戲 2.2、：x 二 '( ) ei 亠()-'.iY y 欣4 i cXi:二4.9(g )測量結果表示為：x = x -厶、：x = (431 .4二4.9) g19第四章 測量不確定度4 1 某圓球的半徑為r,若重復10次測量得r ± d r =(3.132 ± 0.005)

22、cm ,試求該圓球最大截面的圓周和面積及圓球體積的測量不確定度，置信概率P=99%。解：求圓球的最大截面的圓周的測量不確定度已知圓球的最大截面的圓周為: 其標準不D = 2兀r確定度應為u1r=2 二':=.4 3.140.012C559=0.0314cm確定包含因子。查 t分布表to.01 ( 9)= 3.25，及K= 3.25 故圓球的最大截面的圓周的測量不確定度為：U= Ku= 3.25 X 0.0314 = 0.102求圓球的體積的測量不確定度43圓球體積為：Vr3u其標準不確定度應為：0.616/2,2：、”242=4 二 r cr = -163.141593.1320.00

23、5確定包含因子。查 t分布表t0.01 ( 9)= 3.25，及K= 3.25 最后確定的圓球的體積的測量不確定度為U= Ku= 3.25 X 0.616 = 2.0024- 4某校準證書說明，標稱值 10 1】的標準電阻器的電阻R在20 C時為10.000742 C ±129 4C ( P=99% ),求該電阻器的標準不確定度，并說明屬 于哪一類評定的不確定度。-由校準證書說明給定.屬于B類評定的不確定度R在10.000742門-129',10.000742門+129范圍內概率為99% 不為 100%.不屬于均勻分布，屬于正態分布a =129 當 p=99%時，K =2.5

24、8a 129.Ur50（山）Kp 2.58l2 =10 mm4- 5在光學計上用 52.5mm的量塊組作為標準件測量圓柱體直徑，量塊組由三塊量塊研合而成，其尺寸分別是：h = 40 mm 13 =2.5mm，量塊按“級”使用，經查手 冊得其研 合誤差分 別不超過_0.45、_0.30、_0.25（取置信概率 p=99.73%的正態分布）求該量塊組引起的測量不確定度。L = 52.5 m mh = 40 mm12 =10 mml3 = 2 . 5m m22#' p =99.73%Una 0.45 =0.15(m) Ui3kpa 0.300.10(3kp#Ui 二咚5 =0.08( Jm)

25、3 kp 3U lUl2 Ub0.15 20.10 20.08#= 0.20( Jm)#第五章線性參數的最小二乘法處理3x y =2.9I5- 1測量方程為 x _2y =0.9試求x、y的最小二乘法處理及其相應精度。I2x -3y =1.9y =2.9 -(3x y)誤差方程為 v2 = 0.9 _(x -2 y)v3 =1.9 (2x 3y)1 一23#列正規方程na,"i 4nnilX、i衛n'aizax :二：i 土naiiai2yaJi=1nai2ai2yai2hi 土代入數據得#'x =0.962y =0.01514 x -5y =13.4(解得-5x 亠

26、 14 y - -4.6V =2.9 (3 0.9620.015) - -0.001將x、y代入誤差方程式v2 =0.9 - (0.962 -2 0.015) - -0.032Iv3 =1.9 -(20.962 -3 0.015) = 0.021#測量數據的標準差為#求解不定乘數d 11_d21(14 d - 5d12 =1-5dn '14d!2 =0d2214 d21 5d22 =0I 5d 21 ' 14 d22 = 1解得 =d 22 - 0.082x、y 的精度分別為 匚x = ；丁 ： d 仆=0.01 二 y = d22 = 0.0124x 3y = 5.6, Pi

27、 =15- 7不等精度測量的方程組如下：Mx + y =8.1, p2=22x y =0.5, P3 = 3 試求x、y的最小二乘法處理及其相應精度。v = -5.6 - (x - 3 y), pi = 1 列誤差方程v2 =8.1 (4x亠y), p2 = 2V3 =0.5 -(2x -y), P3 =3L 333無 Piai1ai1x +£ Piai1ai2y =送 Piaii正規方程為：±i-i -I 3337 Piaizax 亠二 P；ai2ai2y 亠 Piai2i ±i 土i ±解得X =1 .434y =2.352代入數據得45 x -y =